Potenziale elettrostatico e differenza di potenziale
Salve ragazzi. Oggi mi sono imbattuto nella definizione di differenza di potenziale sul mio libro :
$V(b) - V(a) = $ $-\int_a^bEdx$
Mi servirebbe capire bene il significato di questa formula dato che concettualmente non mi è molto chiara.
Di conseguenza vorrei capire bene il perchè $E = - $ $\gradV$ , e come si puo' intendere il gradiente stesso.
ringrazio tutti in anticipo
$V(b) - V(a) = $ $-\int_a^bEdx$
Mi servirebbe capire bene il significato di questa formula dato che concettualmente non mi è molto chiara.
Di conseguenza vorrei capire bene il perchè $E = - $ $\gradV$ , e come si puo' intendere il gradiente stesso.
ringrazio tutti in anticipo
Risposte
Ti rispondo in ordine inverso a come hai posto le domande.
Il fatto che che $vecE=-nabla V$ discende dal fatto che il campo elettrostatico è un campo conservativo. E non c'è un perchè.. boh la natura ce l'ha dato così. Se vuoi puoi vederlo come "dato empirico". E se un campo è conservativo allora può essere sempre scritto sotto forma di gradiente di una funzione scalare a cui si da il nome di "potenziale". Quel gradiente lo devi intendere esattamente come un gradiente. Esso è un operatore che agisce su funzioni scalari (nel nostro caso il potenziale è una funzione scalare $ RR ^3rarr RR $ e ne restituisce una funzione vettoriale (infatti il campo elettrico è una funzione vettoriale $RR^3rarr RR^3$) la cui componente n-esima sarà la derivata parziale rispetto alla n-esima variabile indipendente della funzione su cui agisce. Esempio: se tu hai un campo elettrostatico $vecE$, di sicuro esiste una certa funzione scalare $V(x,y,z)$ tale che $vecE = (-(delV)/(delx), -(delV)/(dely), -(delV)/(delz))$. Supponi ora che per qualche motivo, vuoi fare l'integrale di linea del tuo campo vettoriale $vecE$ su una cuva che ha per estremi i punti A (di coordinate $x_A, y_A, z_A$)e B (di coordinate $x_B, y_B, z_B$). Si dimostra con alcune storie matematiche, che se il campo è conservativo (e abbiamo detto che il campo elettrico lo è) e di conseguenza esiste la famosa funzione scalare detta potenziale ($V$), il valore di quell'integrale di linea di $vecE$ è INDIPENDENTE dal percorso che scegli ma dipende solo dalla differenza del potenziale egli estremi, e quindi dal valore $V(x_B,y_B,z_B) - V(x_A,y_A,z_A)$ che, siccome $V$ è una funzione scalare, sarà un numero.
Il fatto che che $vecE=-nabla V$ discende dal fatto che il campo elettrostatico è un campo conservativo. E non c'è un perchè.. boh la natura ce l'ha dato così. Se vuoi puoi vederlo come "dato empirico". E se un campo è conservativo allora può essere sempre scritto sotto forma di gradiente di una funzione scalare a cui si da il nome di "potenziale". Quel gradiente lo devi intendere esattamente come un gradiente. Esso è un operatore che agisce su funzioni scalari (nel nostro caso il potenziale è una funzione scalare $ RR ^3rarr RR $ e ne restituisce una funzione vettoriale (infatti il campo elettrico è una funzione vettoriale $RR^3rarr RR^3$) la cui componente n-esima sarà la derivata parziale rispetto alla n-esima variabile indipendente della funzione su cui agisce. Esempio: se tu hai un campo elettrostatico $vecE$, di sicuro esiste una certa funzione scalare $V(x,y,z)$ tale che $vecE = (-(delV)/(delx), -(delV)/(dely), -(delV)/(delz))$. Supponi ora che per qualche motivo, vuoi fare l'integrale di linea del tuo campo vettoriale $vecE$ su una cuva che ha per estremi i punti A (di coordinate $x_A, y_A, z_A$)e B (di coordinate $x_B, y_B, z_B$). Si dimostra con alcune storie matematiche, che se il campo è conservativo (e abbiamo detto che il campo elettrico lo è) e di conseguenza esiste la famosa funzione scalare detta potenziale ($V$), il valore di quell'integrale di linea di $vecE$ è INDIPENDENTE dal percorso che scegli ma dipende solo dalla differenza del potenziale egli estremi, e quindi dal valore $V(x_B,y_B,z_B) - V(x_A,y_A,z_A)$ che, siccome $V$ è una funzione scalare, sarà un numero.
okok ma quindi il gradiente come lo dovrei intendere in quanto vettore?? Cioè se il campo ,in quanto vettore, di una carica positiva ad esempio lo intendo come l'influenza che questa stessa ha in uno spazio generico ( in un determinato punto di tale spazio ) ed è maggiore come intensita' nelle vicinanze della carica stessa ... il gradiente cosa è? concettualmente parlando non mi sono chiari i vari segni $ - $ ..
Il campo elettrotatico è esattamente come hai detto tu.. una perturbazione (di carattere vettoriale) che una certa distribuzione di cariche genera nello spazio circostante. Per come la natura ci ha dato questo campo, esso è conservativo ok? cm ti ho detto, questa è una cosa empirica. E siccome vale ciò, allora sicuramente esso può essere scritto come gradiente di una funzione scalare detta potenziale. Non c'è un grande modo di intendere il gradiente.. è proprio quello che è, un gradiente. Del resto, come ti ho detto, il gradiente di una funzione scalare ad n variabili è un campo vettoriale n-dimensionale, e tutto torna.
Se poi non sai matematicamente cos'è un gradiente, perchè non l'hai mai studiato, è un altro discorso.
Se poi non sai matematicamente cos'è un gradiente, perchè non l'hai mai studiato, è un altro discorso.
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