Potenziale elettrico sfera cava non conduttrice

[dragonspirit1]

Ho il seguente problema: ho una distribuzioni uniforme di carica a simmetria sferica compresa tra un raggio interno $ r_i $ e raggio esterno $ r_e $ con carica totale Q, devo clcolare il potenziale nella regine compresa tra $ r_i
per definizione $ V= -int_(+oo)^r E *dr $ ma nelle regioni di spazio comprese tra infinito e la superficie della sfera il campo elettrico ha andamento $ E_(r>r_e)= Q/(4piepsir^2)$ da cui segue: $V= -int_(+oo)^r E *dr= -int_(+oo)^(r_e) Q/(4piepsir^2) *dr -int_(r_e)^(r) E_("interno")dr $
il campo elettrico interno posso calcolarmelo come segue:
dal teorema di gauss so che $ E= q_("int")/(epsi*4pir^2 $
la densità di carica all'nterno della sfera è data da $ delta =Q/(4/3pi(r_e^3-r_i^3) $
da cui mi ricavo $ E("interno")= q_("int")/(epsi*4pir^2 )= delta*"volume(r)" /(epsi*4pir^2)= delta*4/3pi(r^3-r_i^3) /(epsi*4pir^2)= delta/(3epsi)(r-r_i^3/r^2)= Q/(4pi(r_e^3-r_i^3))(r-r_i^3/r^2) $
sostituendo all'equazione del potenziale trovo:
$ V= - int_(+oo)^(r_e) Q/(4piepsir^2) *dr -int_(r_e)^(r) Q/(4pi(r_e^3-r_i^3))(r-r_i^3/r^2) dr $
$ V= Q/(4piepsir_e) -Q/(4pi(r_e^3-r_i^3))int_(r_e)^(r) (r-r_i^3/r^2) dr $
$ V= (Q/(4piepsi))(1/r_e +1/(r_e^3-r_i^3)int_(r)^(r_e) (r-r_i^3/r^2) dr) $
$ V= (Q/(4piepsi))(1/r_e +1/(r_e^3-r_i^3)(int_(r)^(r_e) r *dr+int_(r)^(r_e)-r_i^3/r^2) dr) $
$ V= (Q/(4piepsi))(1/r_e +1/(r_e^3-r_i^3)((r_e^2-r^2)/2+(r_i^3(1/r_e-1/r))) $
$ V= (Q/(4piepsi))(1/r_e +((r_e^2-r^2)/2+(r_i^3(1/r_e-1/r)))/(r_e^3-r_i^3) ) $


il libro invece mi indica come soluzione $ V= (Q/(4piepsi))(1/r +((r_e^2-r^2)/2+(r_e^3(1/r_e-1/r)))/(r_e^3-r_i^3) ) $
non riesco a capire

[Palliit]

Ciao. Io mi ritrovo col tuo risultato, il che non è ovviamente una garanzia assoluta. Il testo ha frequenti errori?

[dragonspirit1]

non ho notato errori frequenti......cmq il ragionamento è giusto? dividere i due campi elettrici e considerare il volume interno per la carica? quello che mi preme principalemte è il ragionamento logico che sta dietro

[Palliit]

"dragonspirit":cmq il ragionamento è giusto?

Direi di sì. In realtà io mi sono limitato a integrare il campo elettrico per $r_i

Cita

Segnala

[dragonspirit1]

sarà un errore del libro.....