Potenziale elettrico data la distanza

[acc1]

Si abbia un piano verticale con densita superficiale di carica –σ immerso nel vuoto.Un elettrone
di massa m e carica –e viene sparato perpendicolarmente al piano lungo l’asse x con velocita’
iniziale trascurabile attraverso un forellino nel piano di carica. Si trascuri la forza peso.
1)Risolvere il moto dell’elettrone [Dare cioe’ le leggi orarie del moto: x(t),y(t),z(t)]
Quandol’elettrone si trova a distanza L dal piano, calcolare:
2)La velocita’ in modulo dell’elettrone
3)L’energia potenziale dell’elettrone
SOLUZIONI:(1)x(t)=1/4(e/m)(σ/ε0)t2
(2) v(L)=sqrt(L*e/m*σ/ε0 );
(3)U(L)=-1/2*e*σ/ε0 * L

Come si risolve il punto 3? gli altri due li ho svolti

[quantunquemente]

penso che sarebbe più corretto dire :" calcolare la variazione di energia potenziale dell'elettrone" visto che l'energia potenziale è definita a meno di una costante additiva
questa variazione è uguale all'opposto del lavoro fatto dal campo elettrico
infatti,$L=U_A-U_B$

[acc1]

E come posso risolverlo? sono alle prime armi con l'elettrodinamica. a $Ua$-$Ub so cosa sostituire ma ad L?

[acc1]

Ho risolto a giorni posto la soluzione

[acc1]

I risultati corrispondono se trovate errori o altri metodi risolutivi commentate

a) $X(t)=x0+v0t+1/2at^2$ $Y(T)=0$ $Z(t)=0$

La forza è data da $F=q*E$ dove q è l'elettrone quindi $F=e* σ/(2ε)$
Ma la forza è anche uguale a $F=m*a$
Euguagliando le due formule e risolvendo rispetto ad $a$ otteniamo $a=e*(sigma)/(2ε*m)$
Sostituendo $a$ alla legge oraria e ponendo x0=0 e vo=0 otteniamo il primo risultato

b) si fa un sistema con $L=1/2at^2$ e la derivata prima, $x'(t)$ ,del nostro risultato in a.

c) $DeltaU=DeltaK=1/2*m*[x'(t)]^2$ dove x't è la derivata della legge oraria