Potenziale elettrico al centro di una sfera carica positiva

[Mito125]

Mi sono imbattuto in un esercizio in cui ho trovato la seguente formula:

$ V = 3/2 k Q_+/R$

Dove V indica il potenziale elettrico, k è la costante di Coulomb, $Q_+$ la carica della sfera ed R il raggio della sfera stessa... Però non ho trovato nessun altro libro che contenesse questa formula, quindi non riesco a spiegarmi come ci si arrivi... Ho cercato sull'Halliday ma non ho trovato nulla a proposito...

[Palliit]

Ciao.
Posso sbagliare ma mi sembra ci si possa arrivare così: il potenziale sulla superficie della sfera (assumendolo nullo a distanza infinita) vale [tex]V(R)=K\frac{Q}{R}[/tex]__(1).

Se la sfera è carica omogeneamente anche all'interno, il campo elettrico per $r
[tex]V(R)-V(0)=-\int_{0}^{R}E(r)\mathrm{d}r=-K\frac{Q}{R^3}\int_{0}^{R}r\mathrm{d}r=-K\frac{Q}{R^3}\frac{1}{2}R^2=-K\frac{Q}{2R}[/tex]__$\Rightarrow$__[tex]V(R)-V(0)=-K\frac{Q}{2R}[/tex];

sostituendo la (1) trovi: [tex]K\frac{Q}{R}-V(0)=-K\frac{Q}{2R}[/tex]__$\Rightarrow$__[tex]V(0)=K\frac{3Q}{2R}[/tex].

[chiaraotta1]

Se si fanno le ipotesi che la sfera sia isolante e uniformemente carica con densità di carica
$rho=Q/text(Volume sfera)=Q/(4/3*pi*R^3)=(3*Q)/(4*pi*R^3)$, mi sembra che si potrebbe ragionare così .....

Il potenziale al centro si può calcolare come integrale su tutta la sfera del potenziale $dV$ creato nel suo centro da un guscio che ha una carica $dq$, raggio $r$ e spessore $dr$.

Allora
$dV=k*(dq)/r$.

Ma la carica nel guscio è
$dq=rho*text(Volume guscio)=rho*(4*pi*r^2*dr)$.

Quindi
$dV=k*(dq)/r=k*(rho*(4*pi*r^2*dr))/r=4*pi*k*rho*r*dr$
e
$V=int dV = int_0^R 4*pi*k*rho*r*dr=4*pi*k*rho*int_0^R r*dr=4*pi*k*rho*1/2*R^2=2*pi*k*rho*R^2$.

Sostituendo l'espressione della densità di carica si ottiene
$V=2*pi*k*rho*R^2=2*pi*k*(3*Q)/(4*pi*R^3)*R^2=3/2*k*Q/R$.

[Mito125]

Grazie... Entrambe le risposte sono corrette anche se forse l'ultima è più indicata per l'utilizzo di $dV$...