Potenziale elettrico
Ciao a tutti ragazzi!
rieccomi di nuovo qua con un dubbio amletico....in questo esercizio:
"Una barretta sottile di materiale isolante è sagomata a forma di cerchio con raggio $R=0.3 m$. Su tale barretta è distribuita una carica con legge $\lambda(\theta)=Ae^{\frac{\theta}{\pi}}$, dove $\theta$ è l'angolo formato con l'asse x e $A=7 (\mu C)/m$.
Calcolare il potenziale elettrostatico a distanza $z_0=0.5 m$ dal centro, sull'asse $z$ passante dal centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa.
Ora io so che il potenziale in un generico punto è dato dalla formula $V(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ e la mia domanda è:
Perchè non posso calcolarlo integrando il campo elettrico?
se $dl$ è l'elementino infinitesimo dell'anello ho che $dq=\lambda dl$ e in funzione di $\theta$ ho $dl=Rd\theta$ dunque $dq=\lambdaRd\theta$
Se $E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}u_r$ so che $u_r=cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}$ dunque
$dE(z)=\frac{RAe^{\frac{\theta}{\pi}}}{4\pi\epsilon_0z^2+R^2} \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}d\theta$
$E(z)=\frac{RAz}{4\pi\epsilon_0\sqrt{z^2+R^2}}\int_0^{2\pi}e^{\frac{\theta}{\pi}}d\theta=\frac{RAze^2}{4\epsilon_0\sqrt{z^2+R^2}}$
Però l'espressione che trovo integrandola nuovamente non è l'espressione corretta del potenziale!
Grazie a tutti
rieccomi di nuovo qua con un dubbio amletico....in questo esercizio:
"Una barretta sottile di materiale isolante è sagomata a forma di cerchio con raggio $R=0.3 m$. Su tale barretta è distribuita una carica con legge $\lambda(\theta)=Ae^{\frac{\theta}{\pi}}$, dove $\theta$ è l'angolo formato con l'asse x e $A=7 (\mu C)/m$.
Calcolare il potenziale elettrostatico a distanza $z_0=0.5 m$ dal centro, sull'asse $z$ passante dal centro della circonferenza e perpendicolare alla stessa.
Ora io so che il potenziale in un generico punto è dato dalla formula $V(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}$ e la mia domanda è:
Perchè non posso calcolarlo integrando il campo elettrico?
se $dl$ è l'elementino infinitesimo dell'anello ho che $dq=\lambda dl$ e in funzione di $\theta$ ho $dl=Rd\theta$ dunque $dq=\lambdaRd\theta$
Se $E(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0r}u_r$ so che $u_r=cos\alpha=\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}$ dunque
$dE(z)=\frac{RAe^{\frac{\theta}{\pi}}}{4\pi\epsilon_0z^2+R^2} \frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}d\theta$
$E(z)=\frac{RAz}{4\pi\epsilon_0\sqrt{z^2+R^2}}\int_0^{2\pi}e^{\frac{\theta}{\pi}}d\theta=\frac{RAze^2}{4\epsilon_0\sqrt{z^2+R^2}}$
Però l'espressione che trovo integrandola nuovamente non è l'espressione corretta del potenziale!
Grazie a tutti
Risposte
ciao
penso che per risolvere l'esercizio nel modo più veloce e con meno calcoli sia meglio partire direttamente dalla formula per il potenziale elettrostatico $phi$:
$phi(vecr)= 1/(4pi epsilon_0) int_V (rho(vecr))/|vecr| dV$
sopra ho scritto la formula generale ma nel nostro caso sappiamo che $rho(vecr)$ è una densità lineare che dipende solo da $theta$ e che $|vecr|=(R^2+z^2)^(1/2)$ e posso scrivere $dl=R d theta$ e integrare fra 0 e $2pi$
quindi risolvendo l'integrale dovremmo ottenere:
$phi(z)=1/(4pi epsilon_0)(piRA(e^2-1))/(R^2+z^2)^(1/2)$
spero di non aver fatto qualche errore perchè ho scritto un po velocemente
(a.....solo una pignoleria...sarebbe più corretto scrivere $lambda(theta)=Ae^(theta/pi) mod2pi$
penso che per risolvere l'esercizio nel modo più veloce e con meno calcoli sia meglio partire direttamente dalla formula per il potenziale elettrostatico $phi$:
$phi(vecr)= 1/(4pi epsilon_0) int_V (rho(vecr))/|vecr| dV$
sopra ho scritto la formula generale ma nel nostro caso sappiamo che $rho(vecr)$ è una densità lineare che dipende solo da $theta$ e che $|vecr|=(R^2+z^2)^(1/2)$ e posso scrivere $dl=R d theta$ e integrare fra 0 e $2pi$
quindi risolvendo l'integrale dovremmo ottenere:
$phi(z)=1/(4pi epsilon_0)(piRA(e^2-1))/(R^2+z^2)^(1/2)$
spero di non aver fatto qualche errore perchè ho scritto un po velocemente
(a.....solo una pignoleria...sarebbe più corretto scrivere $lambda(theta)=Ae^(theta/pi) mod2pi$
Si si esatto....infatti il risultato corretto lo si raggiunge col procedimento che mi hai indicato....ma quello che mi "tormenta" è il fatto che non capisco perchè non risulta anche integrando il campo elettrico!boh.....grazie mille comunque!
la densità era data in quella maniera li....
la densità era data in quella maniera li....
La componente $E_z$ calcolata secondo il tuo procedimento dovrebbe venire $E_z= \frac{RA(e^2-1)}{4\epsilon_0} \frac{z}{(z^2+R^2)^{"3/2"}}$. Nei passaggi hai perso un fattore $(z^2+R^2)$ a denominatore ed il valore dell'esponenziale in $\theta=0$. Prova ad integrare questa (che è equivalente a calcolare il lavoro per unità di carica compiuto lungo l'asse $z$).
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