Potenziale elettrico

[cucinolu951]

Salve a tutti, avrei bisogno di un chiarimento sul potenziale elettrico.

Ho un sistema costituito da una sfera di raggio R1, carica, all'interno di un guscio sferico di raggi R2 ed r3 con r2 Mi si chiede di calcolare il potenziale in funzione della distanza r.

Non capisco come scrive il potenziale per r2 $ q/(4pivarepsilonr)-q/(pi4varepsilon r) +q/(4pivarepsilonR3 $

io so che il potenziale all'interno di un conduttore è uguale per qualsiasi valore di r compreso tra raggio interno ed esterno. e so che il potenziale, dato da un sistema di cariche, in un punto è uguale a $ V=1/(4pivarepsilon)Sigma(qi)/(ri $ ... ma non capisco perchè per i due primi termini scrive un raggio r generale

Grazie anticipatamente

[mgrau]

La carica q si dispone sulle tre superfici sferiche di raggi R1,2,3, con segni +,-,+.
Credo di poter interpretare quella formula in questo modo:
per i raggi compresi fra 2 e 3, considera i potenziali generati dalle due superfici interne, R1 e R2, che hanno appunto la forma $ q/(4pivarepsilonr)-q/(pi4varepsilon r)$, per un r qualsiasi compreso fra 2 e 3.
A questo (che è zero) aggiunge il potenziale della carica q sulla superficie R3, che è $q/(4pivarepsilonR_3 $

[cucinolu951]

Grazie sempre per la risposta, mgrau. Ma non capisco allora perchè R3 la considera come misura fissa, se anche dal raggio r3 la distanza varia

[mgrau]

Quella formula va bene per raggi compresi fra 2 e 3, non per quelli maggiori di 3. Per questi, certo, non c'è più R3, ma un generico r > R3

[cucinolu951]

D'accordo, credo di averlo capito. Grazie di nuovo

[cucinolu951]

Scusa mgrau. stavo rivedendo l'argomento per vedere se avessi capito bene una volta per tutte, ma purtroppo non è così perchè mi sono imbattuto in un esercizio nel quale ci sono 3 gusci di spessore trascurabile, concentrici, e tra il secondo e il terzo c'è un dielettrico e mi chiede di calcolare il potenziale V1 (suppongo sia quello a raggio R1) trova V1 come $ V1=DeltaV12+DeltaV23+V3 $ .. perchè non scrive semplicemente, come avevo capito si facesse, $ V1=Q/(4pivarepsilonR1)-Q/(4pivarepsilonR2)+Q/(4pivarepsilonR3) $

[mgrau]

La carica sta su R1?

[cucinolu951]

Sisi

[mgrau]

Perdona, sono un po' confuso... aspettiamo qualche altro intervento...

[cucinolu951]

Magari ho riportato io troppi pochi dati, l'esercizio è il primo tra quelli che trovi in questo link:
http://mcvirgo.roma1.infn.it/~ricci/ele ... 012_v7.pdf

[mgrau]

No no, sono io che sono arrugginito.
Vediamo, il primo punto è facile: Se i gusci esterni sono neutri, depositando Q su quello interno si formano cariche indotte alternate sulle altre superfici, per cui alla fine si ha Q sull'esterno del guscio esterno.
Dato che $V = 1/(4piepsi_0)Q/R$, e abbiamo sia V, 300V, che R, 1 metro, troviamo Q.
Per gli altri punti ci devo pensare... a meno che qualcun altro ci dia una mano...

[cucinolu951]

Sisi, l'unico punto che non capisco è l'ultimo. speriamo che qualche curioso apra il post

[mgrau]

Vuoi dire che hai risolto il punto b)? Sai trovare $epsi_r$? Mi spieghi come?

[cucinolu951]

Scusami, mentre ricopiavo i passaggi mi sono accorto di aver sbagliato. Non so risolvere nemmeno io il punto b

Comunque in fondo a quel link che ti ho mandato c'è la soluzione, solo che io non la capisco, magari tu ci riesci

[mgrau]

Sì, direi che si capisce (è parecchio macchinosa...) Che cosa non ti è chiaro?

[cucinolu951]

il motivo per cui scrive il potenziale V1 in quel modo e non come l'ho scritto io nel primo post, almeno credevo di aver capito si facesse così.
Per il punto b) invece si tratta solamente di passaggi lunghi? dopo aver fatto la considerazione sulla variazione di energia che dipende dall'introduzione del dielettrico

[mgrau]

Ma all'inizio non trova V1, trova V3. Siccome sui tre gusci ci sono le tre cariche +Q, -Q, +Q, ai fini di V3 considera solo la terza, (le altre due si elidono al di là di R2) e conoscendo il potenziale V3 ricava Q1.
Gli altri passaggi sono lunghetti, ma se mi dici cosa esattamente non ti torna, posso provare a spiegare...

[cucinolu951]

Allora, ho difficoltà nel capire come calcolare il potenziale in un punto in un sistema come questo (simile sfere concentriche). Mi sembra di capire che il potenziale V1 (che scrive per determinare così R1, dato che V1 è gia noto) lo scriva come somma di differenza di potenziale tra 1 e 2, più differenza di potenziale tra 2 e 3, più il potenziale di 3. Io invece il potenziale in V1 lo calcolerei, come da formula per calcolare il potenziale in un punto dovuto a un sistema di cariche , come somma dei potenziali in ogni punto quindi:
$ V1=Q/(4πɛR1)−Q/(4πɛR2)+Q/(4πɛR3 $

Perchè scrivere V1 in questo modo è sbagliato?

[Casio98]

Allora, ricorda che il potenziale elettrico in P è definito come il lavoro su unità di carica per portare quest'ultima dall'infinito a P. In questo caso è equivalente, cioè $V_1$ è il lavoro su carica per portarla dall'infinito alla superficie più interna. Tale lavoro sarà uguale alla somma del lavoro da infinito a $R_3$, da $R_3$ a $R_2$ e da $R_2$ a $R_1$, perciò uguale a $V_3+\DeltaV_(32)+\DeltaV_(21)$. Equivalentemente puoi usare $V(P)=-int_infty^P\vec E*d\vec r$. Quindi se ti torna più comodo è una questione di campi elettrici.

[cucinolu951]

Grazie mille Casio98, ho fatto i calcoli e sono arrivato alla soluzione esatta per il potenziale V1 finalmente (seguendo la via del potenziale ottenuto attraverso l'integrale).

[Casio98]

Al mio professore piacevano tanto gli esercizi così