Potenziale efficacie

[dRic]

Salve a tutti,
come da titolo, qualcuno potrebbe spiegarmi cos'è e a cosa serve il potenziale efficace. Sono andato su Wikipedia, ma non ho ben capito come si arriva alla formula proposta. In effetti non ho proprio ben capito come fa a saltare furi.

Grazie in anticipo.

PS: se mi consigliate un testo/paragrafo di un libro di fisica va benissimo lo stesso.

[donald_zeka]

La pagina di wikipedia mi sembra molto chiara. Il potenziale efficace è un termine che dipende solo da $r$, il problema orbitale è in 2 variabili, $theta$ e $r$, data la conservazione del momento angolare $L=mr^2dottheta$, la variabile $theta$ può essere eliminata, inoltre essendo anche l'energia totale $E$ costante, il problema si riduce a un problema in una sola variabile $r$:

$1/2mdotr^2=E-V_(eff)(r)$

[dRic]

Sarà una mia carenza, ma non riesco a capire perché, nel caso di un corpo che si muove attorno ad un altro, nell'energia totale somma l'energia cinetica e l'energia associata alla rotazione.... non sono la stessa cosa? Da una derivo l'altro o sbaglio?

[donald_zeka]

L'energia cinetica è una sola, ed è $K=1/2mv^2=1/2m(dotr^2+r^2dottheta^2)$

[dRic]

ma non sono uguali le due cose che hai scritto per un corpo che orbita attorno ad un altro?

Ps: io mi sto immaginando un sistema "fermo" che non trasla

[donald_zeka]

Un punto materiale di massa m orbita attorno a un altro di massa M a causa della forza gravitazionale, la posizione di m è individuata da $r$ e da $theta$, l'energia meccanica di m è:

$E=1/2mv^2-GMm/r=1/2m(dotr^2+r^2dottheta^2)-GMm/r$ ed è costante.

Il momento angolare di m è $L=mr^2dottheta$

risulta quindi:

$L^2=m^2r^4dottheta^2$ e quindi:

$L^2/(2mr^2)=1/2mr^2dottheta^2$

Questa ultima relazione ci dice che la componente "rotazionale" dell'energia cinetica (che dipende sia da $theta$ e da $r$) si può esprimere solo in funzione di $r$, quindi dalla prima equazione di E si può scrivere:

$E=1/2mdotr^2+L^2/(2mr^2)-GMm/r$

Questa relazione dipende solo da $r$, se chiamiamo:

$V_(eff)(r)=L^2/(2mr^2)-GMm/r$

detto "potenziale efficace", risulta:

$1/2mdotr^2=E-V_(eff)(r)$

Se è nota $E$, questa ultima equaziona è una equazione differenziale in una sola variabile $r$, che permette di ricondurre il problema orbitale in due variabili in un problema in una sola variabile.

p.s. forse il tuo dubbio è dovuto a $v^2=dotr^2+r^2dottheta^2$, questa è una formula arcinota nel caso di coordinate polari, infatti la velocità di m è dovuta a una velocità di traslazione lungo r, data da $dotr^2$ e una di rotazione data da $rdottheta$

[dRic]

Grazie per la risposta molto dettagliata.

"Vulplasir":
p.s. forse il tuo dubbio è dovuto a v2=r.2+r2θ.2, questa è una formula arcinota nel caso di coordinate polari, infatti la velocità di m è dovuta a una velocità di traslazione lungo r, data da r.2 e una di rotazione data da rθ.

eh già, non l'ho mai vista, o magari non me la ricordo...

Comunque nel caso (ad esempio) terra-sole, approssimando l'orbita ad una circonferenza, $\dotr = 0$, mentre se considero l'orbita ellittica allora $\dotr != 0$ in quanto $r$ varia nel tempo, giusto? Se così fosse allora tutto ok, perché nella mia mente prendevo il caso della circonferenza e non capivo da dove saltasse fuori $\dotr$

[donald_zeka]

Si esatto, solo nel caso della circonferenza è $dotr=0$, mentre nel caso di un corpo che si muovesse in linea retta vale $dottheta=0$

[dRic]

"Vulplasir":
mentre nel caso di un corpo che si muovesse in linea retta vale θ.=0

perfect

Mi dispiace averti fatto perdere tempo solamente perché io pensavo solo a una circonferenza e quindi non mi tornava il primo passaggio (nel senso che sarebbe stato ridondante). Da lì in poi tutto chiaro.

Approfitto però per una curiosità. (chiamo la componente del potenziale dovuta al momento angolare "potenziale centrifugo").
Ho letto da qualche parte (ma non sono sicuro della fonte) che, per rimanere confinato nell'orbita, la particella m deve avere energia compresa tra il potenziale attrattivo (che va con $1/r$) e quello centrifugo (che va con $1/r^2$). E' sensata questa affermazione?

Scusa, ma oggi sono abbastanza stanco e non riesco proprio a venire a capo... Secondo me è vera come affermazione, ma non mi fido del ragionamento fatto nelle mie attuali condizioni

[donald_zeka]

Non trovo la logica di quella affermazione...1/r e 1/r^2 sono cose "variabili" e dipendono da r, l'energia invece è costante e dipnde solo dalle condizioni iniziali del moto. Il problema orbitale ha soluzione esatta, e risulta che l'orbita è chiusa solo se $E<0$

[dRic]

No boh sinceramente non so bene neanche io cosa voglia dire... è che stavo cercando di dare un senso ha un grafico ed an paio di appunti di un mio amico, che però proprio non riesco a decifrare. Domani manderò un disegno.

[dRic]

Scusa il ritardo.



comunque credo di aver capito.

In ogni caso l'affermazione dell'altra volta che non ha senso forse diventa sensata se considero il fatto che, perché l'orbita sia chiusa, dire che $E<0$ è la stessa cosa che dire che $E$ sia maggiore del potenziale attrattivo minimo e minore del potenziale centrifugo minimo, o dico una cavota?
Perché infatti $E$ è una costante del moto, il potenziale attrattivo minimo è $-\infty$, mentre il potenziale centrifugo minimo è $0$. Quindi ritorna $E<0$ come condizione perché l'orbita sia chiusa.

So che è un ragionamento un po' contorno...

[donald_zeka]

No, continuo a non trovarci un senso. Il potenziale efficace alla fine si puó trattare come un normale potenziale, quindi nel tuo grafico il potenziale risultante è quella curva tratteggiata che presenta una conca, se E=0 allora ci so allontana indefinitamente con velocita all'infinito pari a zero (infatti il potenziale all'infinito è zero, quindi l'energia cinetica deve essere zero), se E>0 allora ci si allontana indefinitamente con velocita all'infinito diversa da zero, se $V_(min)

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[dRic]

Ups... Stavo facendo una cavolata assurda quando pensavo il minimo del potenziale

Scusa se ti ho fatto perdere tempo, era una scemenza mia...