Potenziale e distribuzione di carica

[zio_mangrovia]

Per lo svolgimento di questo esercizio pensavo di fare in questo modo:

$dq=\lambda\ dx$

$dV=K(dq)/x$

Questo è il potenziale rispetto al punto O della distribuzione di carica sulle due linee rette di lunghezza $2R$
$2\int_0^(2R) K(\lambda\ dx)/(x+R)$

Adesso viene il bello rispetto alla distribuzione della semicirconferenza:

$dq=\lambda\ R\ d\theta$

sbaglio qualcosa come impostazione dei due integrali?

$\int_0^pi K(\lambda\ R\ d\theta)/R$

[mgrau]

l primo dovrebbe essere $2\int_R^(2R) K(\lambda\ dx)/(x+R)$
Il secondo è più semplicemente la metà del potenziale di una circonferenza intera;
$1/2Q/R=1/2((2piRlambda)/R)=pilambda$

[zio_mangrovia]

"mgrau":l primo dovrebbe essere $2\int_R^(2R) K(\lambda\ dx)/(x+R)$
Il secondo è più semplicemente la metà del potenziale di una circonferenza intera;
$1/2Q/R=1/2((2piRlambda)/R)=pilambda$

Trovi sempre una via facile per concludere, ti invidio! Complimenti!

Ma non capisco due cose:
il primo intervallo di integrazione è definito come $\int_R^(2R)$ ma significa che la larghezza dell'intervallo è $2R-R$ cioè $R$, io credevo dovessimo calcolare la distribuzione di carica nell'intervallo di lunghezza pari a $2R$ (cioè $x$ dovrebbe avere valori compresi in questo intervallo) al quale sommare la distanza $R$ cioè il raggio.

Nel secondo caso invece, giusto per complicarmi la vita e capire anche un metodo alternativo, avrei potuto risolverlo utilizzando l'angolo $\theta$ come variabile di integrazione? Nel caso il mio integrale sarebbe stato sbagliato?

Grazie

[mgrau]

Nel primo integrale ho sbagliato io, gli estremi sono $R$ e $3R$ (lunghezza $2R$ dell'asta).
Il secondo, l'integrale su $theta$ va bene, ma dà ovviamente $pi$ quindi...

[zio_mangrovia]

grazie

[giulielele]

Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe spiegare perché integriamo tra R e 3R, invece che tra 0 e 3R.

[mgrau]

"gigix":Ciao a tutti, qualcuno mi potrebbe spiegare perché integriamo tra R e 3R, invece che tra 0 e 3R.

Perchè fra $0$ e $R$ non c'è niente

[giulielele]

Ciao mgrau, grazie per la risposta. Potresti essere un po' più preciso. Non riesco proprio a capire
Tra 0 e R non dovrebbe esserci il contributo dato dal filo piatto (lunghezza 2R) di sinistra?
Grazie anticipatamente

[mgrau]

"gigix":
Tra 0 e R non dovrebbe esserci il contributo dato dal filo piatto (lunghezza 2R) di sinistra?

Certo. Infatti davanti all'integrale c'è un $2$.
Più dettagliatamente. Il problema ha una simmetria destra-sinistra, quindi basta risolverne metà, e poi moltiplicare per 2. Se guardi la metà destra, vedi che da 0 a R non c'è niente, e da R a 3R c'è qualcosa, quindi si calcola il contributo di questo.

[giulielele]

Tutto chiaro adesso, ancora grazie