Potenziale e campo elettrico di una sfera esercizio
Un sistema è costituito da un conduttore sferico di raggio
R=12 cm, inserito all'interno di un guscio sferico
conduttore di raggio interno Ri=18 cm e raggio esterno
Re=20 cm. Il conduttore interno è collegato di terra,
mentre il conduttore esterno è mantenuto a potenziale
V0=10 V.
Nell'ipotesi che il potenziale all'infinito possa essere
considerato nullo, determinare il potenziale elettrostatico
ed il campo elettrostatico (modulo direzione e verso) per
r=16 cm e r=25cm. Si determini inoltre il valore (con
segno) della densità superficiale di carica presente sulla
superficie del conduttore interno e sulla superficie
interna ed esterna del guscio sferico conduttore.
ma questo esercizio per svolgerlo non è indispensabile sapere la carica sul secondo conduttore? sto usando tutti i teoremi ma non riesco proprio a sbloccarlo
R=12 cm, inserito all'interno di un guscio sferico
conduttore di raggio interno Ri=18 cm e raggio esterno
Re=20 cm. Il conduttore interno è collegato di terra,
mentre il conduttore esterno è mantenuto a potenziale
V0=10 V.
Nell'ipotesi che il potenziale all'infinito possa essere
considerato nullo, determinare il potenziale elettrostatico
ed il campo elettrostatico (modulo direzione e verso) per
r=16 cm e r=25cm. Si determini inoltre il valore (con
segno) della densità superficiale di carica presente sulla
superficie del conduttore interno e sulla superficie
interna ed esterna del guscio sferico conduttore.
ma questo esercizio per svolgerlo non è indispensabile sapere la carica sul secondo conduttore? sto usando tutti i teoremi ma non riesco proprio a sbloccarlo
Risposte
"oblion94":
... ma questo esercizio per svolgerlo non è indispensabile sapere la carica sul secondo conduttore?
Direi proprio di no, hai tutto quello che ti serve per rispondere alle richieste del problema.
Ti faccio osservare che quelle due sfere conduttrici, una interna all'altra, costituiscono un condensatore sferico ma, senza andare a ricordare relazioni particolari (capacità), potresti ricavarti la carica Q presente sulle due armature di detto condensatore andando ad usare il campo elettrico presente nell'intercapedine, ovvero ricordando la relazione integrale fra campo e tensione (o differenza di potenziale) fra sfera interna e guscio esterno, fornita nei dati; se ti va di provarci poi andiamo avanti.
BTW giusto una domanda: non è che disponi di un qualche software che ti permetta di ritagliare la sola parte utile dell'immagine postata?
Hmmm usando la relazione tra E e V , $ V=-intEdr $ quindi dai dati del problema posso ricavarmi Q facendo $ V=-KQ/(Ri $
e quindi $ 10=9*10^9Q/(0,18 $ ,da cui mi ricavo Q giusto?
Cmq mi è venuto un dubbio, se la sfera è collegata con la terra la carica e il potenziale sono sempre nulli ?
se questo è vero il potenziale e il campo elettrico nel di r=0,16 cm è pari a 0
(ps immagine modificata
)
e quindi $ 10=9*10^9Q/(0,18 $ ,da cui mi ricavo Q giusto?
Cmq mi è venuto un dubbio, se la sfera è collegata con la terra la carica e il potenziale sono sempre nulli ?
se questo è vero il potenziale e il campo elettrico nel di r=0,16 cm è pari a 0
(ps immagine modificata
)
"oblion94":
... usando la relazione tra E e V , $ V=-intEdr $ quindi dai dati del problema posso ricavarmi Q
facendo $ V=-KQ/(Ri $
Si, la relazione è quella, ma devi integrare sul percorso fra raggio R e raggio Ri.
"oblion94":
... mi è venuto un dubbio, se la sfera è collegata con la terra la carica e il potenziale sono sempre nulli ?
Il potenziale si, la carica no; la carica sarà uguale a quella presente sulla superficie interna del guscio sferico esterno, non credi? ... E' pur sempre un condensatore e pure di quelli "veri", ovvero a induzione completa.
"oblion94":
...(ps immagine modificata
Ok ho integrato tra R ed Ri $ Q=V/K*(1/(Ri)-1/R)^(-1 $ ed é uscito che $ Q=4*10^-10 $ ( un risultato più che accettabile direi) quindi ora continuando il problema so Q quindi posso calcolarmi il potenziale e il campo elettrico sia su R1 che su R2: applico gauss per trovare E nel caso di R1 $ E=Q/(epsio4piR1^2)=20 [N/C] $ mentre per R2 non trovandosi all'interno del condensatore per il teorema di gauss la sommatoria di Q=0, quindi E di R2=0.Per il potenziale di R1 applico l'espressione precedente.. sei d'accordo ? =)
"oblion94":
... ho integrato tra R ed Ri $ Q=V/K*(1/(Ri)-1/R)^(-1 $
Ok, a parte il segno.
"oblion94":
... ed é uscito che $ Q=4*10^-10 $ ( un risultato più che accettabile direi)
Accettabile su quali basi? ...(comunque ok come modulo)
"oblion94":
... quindi ora continuando il problema so Q quindi posso calcolarmi il potenziale e il campo elettrico sia su R1 che su R2: applico gauss per trovare E nel caso di R1 $ E=Q/(epsio4piR1^2)=20 [N/C] $
Ok, ma il valore mi sembra un po' basso per portare a una differenza di potenziale di 10 volt.
"oblion94":
... mentre per R2 non trovandosi all'interno del condensatore per il teorema di gauss la sommatoria di Q=0,
Questa non l'ho capita; che ci si venga a trovare all'interno di un condensatore non ci son dubbi (quello che ha per armature la superficie esterna del guscio sferico e l'infinito), ma la carica sulle armature di questo condensatore non è nulla.
Alla carica negativa -Q sulla sfera interna (di raggio R) andrà a corrispondere una carica +Q sulla superficie interna del guscio ma, essendo il guscio conduttore mantenuto ad un potenziale di +10 volt rispetto "a terra" (termine in questo caso è sinonimo di "infinito"), avremo che anche questo secondo condensatore "esterno" sarà carico
.La carica sulla superficie esterna del guscio sarà ancora positiva, come quella sulla superficie interna, ma diversa come valore. Ne segue che esisterà anche esternamente al guscio un campo non nullo, facilmente ricavabile dal potenziale noto.
Puoi vedere il problema come due condensatori in parallelo (alimentati dallo stesso generatore): il primo condensatore è quello fra la superficie interna del guscio e la sfera interna, il secondo fra superficie esterna del guscio e l'infinito; il conduttore del guscio connette le prime due, mentre il conduttore filiforme verso terra, connette le ultime due.
1) Generalmente sul libro escono valori del genere per le cariche.
2)Applicando sempre gauss \( \Phi (B)=(dQ)/\varepsilon o \ \) con dQ = Q1+Q2 che sono le cariche sulle armature e quindi dato che Q1=-Q2 quindi dQ = 0
2)Applicando sempre gauss \( \Phi (B)=(dQ)/\varepsilon o \ \) con dQ = Q1+Q2 che sono le cariche sulle armature e quindi dato che Q1=-Q2 quindi dQ = 0
"oblion94":
... Applicando sempre gauss \( \Phi (B)=(dQ)/\varepsilon o \ \) con dQ = Q1+Q2 che sono le cariche sulle armature e quindi dato che Q1=-Q2 quindi dQ = 0
Se con Q1 e Q2 indichi (come suppongo) le cariche sulla sfera interna (di raggio R) e sulla superficie interna del guscio (di raggio Ri), ti ricordo (e mi sembrava di averlo evidenziato nel precedente post) che non sono le uniche cariche presenti sul sistema, c'è anche da considerare la carica positiva Q3 che va a disporsi sulla superficie esterna del guscio sferico (di raggio Re).
Hmm è vero non ho considerato Q3! Quindi R2 é soggetto al campo di generato da Q3 quindi applicando Gauss \( E(R3)=(Q3)/(4\pi R3\varepsilon o) \)
"oblion94":
... Quindi R2 é soggetto al campo di generato da Q3 quindi applicando Gauss \( E(R3)=(Q3)/(4\pi R3\varepsilon o) \)
Proprio così, ora però resta che determinare Q3.
Q3 gia lo conosciamo gia ed è uguale a $ Q=4⋅10^-10 $ =) perfetto sembra tutto corretto grazie per l'aiuto!
"oblion94":
Q3 gia lo conosciamo gia ed è uguale a $ Q=4⋅10^-10 $ =)
No, non è quella, altrimenti perché ti avrei detto che è necessario determinarla?
scusate se mi intrometto... ma se la carica sul conduttore sferico interno è negativa il campo elettrostatico a distanza $r1$ non sarà anche esso negativo??
io l'ho risolto così... ho considerato le due superfici di raggio $R$ e $Ri$ come due condensatori sferici essendo $C=q/(V0)$ ho ricavato $q$ che mi viene pari a $-4*10^(-11) C$ che dovrebbe essere la carica sulla sfera di raggio $R$ di conseguenza la carica sulla parte interna del guscio sferico di raggio $Ri$ sarà uguale in modulo ma con segno positivo. Per calcolare la carica sulla superficie ext $Re$ ho utilizzato la formula del potenziale essendo noto $V0$ e risulta essere $2,25*10^(-10) C$
Con la definizione di campo elettrostatico e considerando le rispettive cariche ho trovato che il il campo a distanza $r1$ risulta $-14 V/m$ mentre per $r2$ risulta $32 V/m$ ... è corretto??
Con la definizione di campo elettrostatico e considerando le rispettive cariche ho trovato che il il campo a distanza $r1$ risulta $-14 V/m$ mentre per $r2$ risulta $32 V/m$ ... è corretto??
"danyrs8989":
i ... è corretto??
Non completamente.
Potresti essere più chiaro?
Certo, mi sembra che la carica q risulti 10 volte superiore, sbaglio?
... con un campo di 14 V/m direi sia difficile avere una differenza di potenziale di 10 volt su 6 centimetri.
... con un campo di 14 V/m direi sia difficile avere una differenza di potenziale di 10 volt su 6 centimetri.
E quindi dove sbaglio? Come lo dovrei calcolare il campo?
Non sbagli nel metodo, ma nel calcolo numerico di q.
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