Potenziale dovuto a tre gusci conduttori sferici
Salve a tutti,
propongo un esercizio di cui non trovo la soluzione:
Tre sottili gusci conduttori sferici concentrici hanno raggi a,b e c, con a
b) se il guscio più interno e quello più esterno sono connessi con un cavo conduttore isolato che passa per un piccolo foro attraverso il conduttore di mezzo, qual è il potenziale elettrico di ciascuno dei tre gusci, e qual è la carica finale di ciascun guscio?
Premesso che non ho ancora ragionato sul punto b, in quanto ancora non ho risolto l'a, spiego come pensavo di risolverlo.
Prendendo una sfera di raggio r, considerando i casi a
Sorge lo stesso dubbio dell'esercizio che avevo postato in precedenza: con la legge di Gauss risulta che i gusci esterni non incidono sul potenziale di quelli più interni.
A parte che questo non mi quadra granché fisicamente, l'applicare il metodo descritto mi porta a risultati sbagliati.
Dove sbaglio, quindi?
propongo un esercizio di cui non trovo la soluzione:
Tre sottili gusci conduttori sferici concentrici hanno raggi a,b e c, con a
b) se il guscio più interno e quello più esterno sono connessi con un cavo conduttore isolato che passa per un piccolo foro attraverso il conduttore di mezzo, qual è il potenziale elettrico di ciascuno dei tre gusci, e qual è la carica finale di ciascun guscio?
Premesso che non ho ancora ragionato sul punto b, in quanto ancora non ho risolto l'a, spiego come pensavo di risolverlo.
Prendendo una sfera di raggio r, considerando i casi a
Sorge lo stesso dubbio dell'esercizio che avevo postato in precedenza: con la legge di Gauss risulta che i gusci esterni non incidono sul potenziale di quelli più interni.
A parte che questo non mi quadra granché fisicamente, l'applicare il metodo descritto mi porta a risultati sbagliati.
Dove sbaglio, quindi?
Risposte
Penso di essermi risposto da solo.
Come al solito mettere giù le idee in maniera chiara aiuta molto.
Si tratta di fare, in pratica:
$ int_(oo )^(R) Edr = int_(oo)^(c) E_1dr + int_(c)^(b) E_2dr + int_(b)^(r) E_3dr $
avendo indicato con E il campo elettrico, e i pedici stanno a significare che questo assume un valore diverso nelle varie regioni di spazio delimitate dai conduttori. Anche dove il campo è zero, il potenziale non è zero ma lo è la differenza di potenziale.
Errore stupido, in effetti.
Ok, la prima parte è risolta. Resta il dubbio di come fare la seconda.
Essendo zero il campo elettrico all'esterno dei gusci, il potenziale del guscio esterno è zero e dunque lo sarà anche quello del guscio interno una volta che questi due vengono collegati. Ma la carica?
Come al solito mettere giù le idee in maniera chiara aiuta molto.
Si tratta di fare, in pratica:
$ int_(oo )^(R) Edr = int_(oo)^(c) E_1dr + int_(c)^(b) E_2dr + int_(b)^(r) E_3dr $
avendo indicato con E il campo elettrico, e i pedici stanno a significare che questo assume un valore diverso nelle varie regioni di spazio delimitate dai conduttori. Anche dove il campo è zero, il potenziale non è zero ma lo è la differenza di potenziale.
Errore stupido, in effetti.
Ok, la prima parte è risolta. Resta il dubbio di come fare la seconda.
Essendo zero il campo elettrico all'esterno dei gusci, il potenziale del guscio esterno è zero e dunque lo sarà anche quello del guscio interno una volta che questi due vengono collegati. Ma la carica?
Mi permetto di fare un up, perché non ho ancora capito come si faccia la seconda parte 
Non banale. Io dividerei lo spazio in 4 parti (1 dentro il primo guscio, 2 fra il primo ed il secondo, 3 fra il secondo e il terzo, 4 fuori dai gusci). Poi troverei con Gauss i campi $E_1, E_2, E_3, E_4$. Quindi troverei i potenziali in funzione di $r$ (distanza dal centro) nelle 4 zone $V_1, V_2, V_3, V_4$ integrando la formula $E=-grad V$. Le 4 costanti di integrazione le calcolerei ponendo nullo il potenziale all'infinito e imponendo la continuità di $V$. Così il primo punto è fatto.
Per il secondo punto, porrei $Q_1+Q_2=-Q$ (la carica del terzo guscio si distribuisce fra il primo ed il terzo). Indi ricalcolerei da capo campi e potenziali nelle 4 zone. Ma come si determinano le due cariche incognite $Q_1, Q_2$? Minimizzando l'energia del sistema.
Per il secondo punto, porrei $Q_1+Q_2=-Q$ (la carica del terzo guscio si distribuisce fra il primo ed il terzo). Indi ricalcolerei da capo campi e potenziali nelle 4 zone. Ma come si determinano le due cariche incognite $Q_1, Q_2$? Minimizzando l'energia del sistema.
Oppure, molto più semplicemente (si evitano due integrali di volume), notando che, a causa del filo, il potenziale del primo guscio è uguale al potenziale del terzo guscio che è nullo.
"anonymous_ad4c4b":
Ma come si determinano le due cariche incognite $Q_1, Q_2$?
Bisogna sempre ricordare che le cariche si dispondono sulla superficie esterna (di un conduttore). All'interno il conduttore potra' avere qualsiasi forma, avere cavita' di qualsiasi forma, ma la carica è sempre addossata alla superficie esterna.
Ciò perchè la carica di uno stesso segno tende a "esplodere" a divergere e quindi si addossa alle pareti.
Minimizzando l'energia del sistema.
Facendo i conti la minima energia è proprio quando la carica è sulle pareti.
Grazie a entrambi delle risposte.
Andando con ordine:
@anonymous_ad4c4b: hai messo in forma più precisa e chiara quello che io intendevo dire nel secondo post, forse spiegandomi peggio. Il primo punto l'ho fatto esattamente come dici tu.
Per quanto riguarda il secondo, avevo osservato infatti che il potenziale è nullo sul guscio esterno, e necessariamente lo sarà anche sul guscio più interno. Ancora non capisco, però, come trovare le cariche. Minimizzando l'energia del sistema? Il ragionamento mi quadra. Ma l'energia potenziale elettrostatica, chiamiamola U, può essere scritta come $U=1/2(Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3)$ essendo $Q_1$ la carica del conduttore più interno, e $Q_3$ quella di quello più esterno. D'altronde $Q_2 = Q$. Se teniamo conto del fatto che $V_1=V_3=0$ non trovo una soluzione in questo modo.
@Quinzio:
tendono a disporsi sulla superficie esterna, fin qua ci sono. Mi sfugge come passare da qua, al sapere quali siano le cariche su ogni conduttore.
Andando con ordine:
@anonymous_ad4c4b: hai messo in forma più precisa e chiara quello che io intendevo dire nel secondo post, forse spiegandomi peggio. Il primo punto l'ho fatto esattamente come dici tu.
Per quanto riguarda il secondo, avevo osservato infatti che il potenziale è nullo sul guscio esterno, e necessariamente lo sarà anche sul guscio più interno. Ancora non capisco, però, come trovare le cariche. Minimizzando l'energia del sistema? Il ragionamento mi quadra. Ma l'energia potenziale elettrostatica, chiamiamola U, può essere scritta come $U=1/2(Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3)$ essendo $Q_1$ la carica del conduttore più interno, e $Q_3$ quella di quello più esterno. D'altronde $Q_2 = Q$. Se teniamo conto del fatto che $V_1=V_3=0$ non trovo una soluzione in questo modo.
@Quinzio:
tendono a disporsi sulla superficie esterna, fin qua ci sono. Mi sfugge come passare da qua, al sapere quali siano le cariche su ogni conduttore.
La via della minimizzazione del campo elettrico è la più complicata. Dovresti integrare in due volumi (dove il campo non è nullo) la densità di energia elettrostatica $1/2 \epsilon E^2$.
La via più breve è invece trovare i potenziali nelle 4 zone in cui è diviso tutto lo spazio. Compaiono 4 costanti di integrazione. Con le opportune condizioni, fra cui $V(a)=V(c)=0$, torna tutto...
Ps. naturalmente, la carica $-Q$ la devi scomporre nelle due cariche incognite $Q_1+Q_2=-Q$...
La via più breve è invece trovare i potenziali nelle 4 zone in cui è diviso tutto lo spazio. Compaiono 4 costanti di integrazione. Con le opportune condizioni, fra cui $V(a)=V(c)=0$, torna tutto...
Ps. naturalmente, la carica $-Q$ la devi scomporre nelle due cariche incognite $Q_1+Q_2=-Q$...
Posto il procedimento per (b). Lo spazio è diviso in 4 parti, come dicevo sopra.
Il campo vale:
$E_1=0$
$E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1}{r^2}$
$E_3=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1+Q}{r^2}$
$E_4=0$.
Il potenziali vale:
$V_1=c_1$
$V_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1}{r}+c_2$
$V_3=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1+Q}{r}+c_3$
$V_4=c_4$.
Le condizioni sono:
$V_1=V_4=0$
$V_2(a)=V_3(c)=0$
$V_2(b)=V_3(b)$.
Tutto qua
Il campo vale:
$E_1=0$
$E_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1}{r^2}$
$E_3=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1+Q}{r^2}$
$E_4=0$.
Il potenziali vale:
$V_1=c_1$
$V_2=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1}{r}+c_2$
$V_3=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{Q_1+Q}{r}+c_3$
$V_4=c_4$.
Le condizioni sono:
$V_1=V_4=0$
$V_2(a)=V_3(c)=0$
$V_2(b)=V_3(b)$.
Tutto qua
Tutto chiaro ora!
Grazie di nuovo
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