Potenziale di uno schermo elettrostatico
Salve a tutti, avevo dei dubbi riguardo questo problema:
"Si hanno due sfere concentriche conduttrici; il raggio esterno di quella cava è R = 9 cm. Sulla sfera esterna viene depositata una carica q2 = $ -2*10^-9 C $, su quella interna una carica q1 = $ 10^-9 C $. Successivamente si aggiunge sulla sfera esterna una carica q3 = - q2 = $ -2*10^-9 C $. Calcolare di quanto varia il potenziale della sfera interna."
La soluzione del libro si apre con:
"La sfera esterna è uno schermo elettrostatico: pertanto le variazioni di potenziale sulla sfera interna sono eguali a quelle della sfera esterna."
Non ho proprio idea da dove discenda tale proprietà dello schermo elettrostatico. Ho letto e riletto il paragrafo del libro (Focardi-Massa-Uguzzoni) sullo schermo elettrostatico ma non riesco a capire. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
"Si hanno due sfere concentriche conduttrici; il raggio esterno di quella cava è R = 9 cm. Sulla sfera esterna viene depositata una carica q2 = $ -2*10^-9 C $, su quella interna una carica q1 = $ 10^-9 C $. Successivamente si aggiunge sulla sfera esterna una carica q3 = - q2 = $ -2*10^-9 C $. Calcolare di quanto varia il potenziale della sfera interna."
La soluzione del libro si apre con:
"La sfera esterna è uno schermo elettrostatico: pertanto le variazioni di potenziale sulla sfera interna sono eguali a quelle della sfera esterna."
Non ho proprio idea da dove discenda tale proprietà dello schermo elettrostatico. Ho letto e riletto il paragrafo del libro (Focardi-Massa-Uguzzoni) sullo schermo elettrostatico ma non riesco a capire. Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Risposte
Stesso discorso fatto per il precedente thread; sulla sfera interna c'è q1 -> sulla superficie interna del guscio esterno è indotta -q1, ne segue che sulla superficie esterna del guscio c'è q1+q2 e il suo potenziale lo determini con questa carica.
Ora nello spessore del conduttore del guscio non c'è campo elettrico e nell'intercapedine (come prima) c'è solo il campo relativo a q1, ne segue che partendo dalla superficie esterna del guscio, attraversando lo spessore del conduttore esterno e l'intercapedine, l'integrale del campo elettrico rimarrà sempre lo stesso qualsiasi sia la carica che venga aggiunta sulla sfera esterna. Integrale che da proprio la differenza di potenziale fra conduttore esterno ed interno.
Come vedi l'interno non risente dei cambiamenti del mondo esterno, ovvero ne è elettricamente "schermato"!
Ora nello spessore del conduttore del guscio non c'è campo elettrico e nell'intercapedine (come prima) c'è solo il campo relativo a q1, ne segue che partendo dalla superficie esterna del guscio, attraversando lo spessore del conduttore esterno e l'intercapedine, l'integrale del campo elettrico rimarrà sempre lo stesso qualsiasi sia la carica che venga aggiunta sulla sfera esterna. Integrale che da proprio la differenza di potenziale fra conduttore esterno ed interno.
Come vedi l'interno non risente dei cambiamenti del mondo esterno, ovvero ne è elettricamente "schermato"!
"RenzoDF":
l'integrale del campo elettrico rimarrà sempre lo stesso qualsiasi sia la carica che venga aggiunta sulla sfera esterna.
Non so se ho capito...
Mi dici che l'integrale del campo elettrico nell'intercapedine rimane lo stesso, tuttavia il testo mi chiede di
"calcolare di quanto varia il potenziale nella sfera interna".
"Parlu10":
... Mi dici che l'integrale del campo elettrico nell'intercapedine rimane lo stesso, ...
Esatto.
"Parlu10":
...tuttavia il testo mi chiede di "calcolare di quanto varia il potenziale nella sfera interna".
Non capisco quel "tuttavia".
Ad ogni modo, visto che il suddetto integrale non cambia (pari alla differenza di potenziale fra le due sfere), il potenziale della sfera interna varierà della stessa quantità della variazione del potenziale della sfera esterna.
BTW Giusto una domanda: sono io che ho le traveggole o sei tu che mi cambi il testo dei post mentre sto rispondendo?
"RenzoDF":
visto che il suddetto integrale non cambia
Penso di non aver capito cosa significhi che l'integrale non cambia.
L'integrale di cui parliamo è sempre questo, giusto?
$ V(A) - V(B) = int_(B)^(A) E*dr $
"RenzoDF":
BTW Giusto una domanda: sono io che ho le traveggole o sei tu che mi cambi il testo dei post mentre sto rispondendo?
Avevo cambiato leggermente cambiato il testo nell'altro thread perché ero stato poco chiaro riguardo a un punto, ma non mi pare di averlo fatto in questo. Scusami se ti ha dato fastidio, volevo soltanto rendere tutto più chiaro a chi avrebbe cercato di aiutarmi
"Parlu10":
... L'integrale di cui parliamo è sempre questo, giusto?
$ V(A) - V(B) = int_(B)^(A) E*dr $
Diciamo questo,
$ V(A) - V(B) = int_(A)^(B) \vecE*\text{d}\vec r $
per essere precisi.
"Parlu10":
... Penso di non aver capito cosa significhi che l'integrale non cambia.
Scusa, se te lo chiedo, ma leggi le mie risposte?
Se lungo il percorso da A a B il campo elettrico non cambia, non cambierà nemmeno quell'integrale, non credi?
Allora, dopo una rilettura molto intensa, penso di essere giunto alla conclusione.
Dimmi se il mio ragionamento è giusto.
Nella situazione iniziale abbiamo il potenziale esterno al conduttore cavo che è pari a $ V = (q1 + q2)/(4piepsilonR) $ mentre all'interno abbiamo un valore di V che non possiamo calcolare (in quanto non conosciamo il raggio interno del conduttore cavo, né del conduttore interno.
Sappiamo che il campo elettrico E all'interno dell'intercapedine non cambia qualunque cosa succeda al di fuori, per effetto dello schermo elettrostatico.
Il potenziale elettrico sulla superficie esterna dopo che q3 viene aggiunto è uguale a $ V' = (q1)/(4piepsilonR) $, in quanto $ q3 = - q2 $. Questo significa che la variazione di potenziale sulla sfera esterna è uguale a $ V'-V = (-q2)/(4piepsilonR)=(q3)/(4piepsilonR) $. Dal momento che il campo elettrico all'interno nel frattempo non è variato, il potenziale finale all'interno dell'intercapedine dovrebbe essere:
V(dovuto a E generato da q1) + (V'-V).
Noi stiamo cercando la variazione di potenziale sulla sfera interna, che è dunque:
V(E da q1) + (V'-V) - V(E da q1) = (V'-V).
Dimmi se il mio ragionamento è giusto.
Nella situazione iniziale abbiamo il potenziale esterno al conduttore cavo che è pari a $ V = (q1 + q2)/(4piepsilonR) $ mentre all'interno abbiamo un valore di V che non possiamo calcolare (in quanto non conosciamo il raggio interno del conduttore cavo, né del conduttore interno.
Sappiamo che il campo elettrico E all'interno dell'intercapedine non cambia qualunque cosa succeda al di fuori, per effetto dello schermo elettrostatico.
Il potenziale elettrico sulla superficie esterna dopo che q3 viene aggiunto è uguale a $ V' = (q1)/(4piepsilonR) $, in quanto $ q3 = - q2 $. Questo significa che la variazione di potenziale sulla sfera esterna è uguale a $ V'-V = (-q2)/(4piepsilonR)=(q3)/(4piepsilonR) $. Dal momento che il campo elettrico all'interno nel frattempo non è variato, il potenziale finale all'interno dell'intercapedine dovrebbe essere:
V(dovuto a E generato da q1) + (V'-V).
Noi stiamo cercando la variazione di potenziale sulla sfera interna, che è dunque:
V(E da q1) + (V'-V) - V(E da q1) = (V'-V).
"Parlu10":
... il potenziale finale all'interno dell'intercapedine dovrebbe essere:
V(dovuto a E generato da q1) + (V'-V). ...
No, il potenziale del conduttore interno, nei due casi, è semplicemente dato dalla somma (algebrica) del potenziale del conduttore esterno con la differenza di potenziale $\Delta V$ (costante nei due casi) fornita da quell'integrale.
"RenzoDF":
No, il potenziale del conduttore interno, nei due casi, è semplicemente dato dalla somma (algebrica) del potenziale del conduttore esterno con la differenza di potenziale ΔV (costante nei due casi) fornita da quell'integrale.
Quindi, ricapitolando:
Il potenziale iniziale sarebbe $ V + int (q1)/(4piepsilonr^2) dr $ dove V è il potenziale $ V = (q1 + q2)/(4piepsilonR) $
Il potenziale finale sarebbe $ V' + int (q1)/(4piepsilonr^2) dr $ dove l'integrale è lo stesso e V' è $ V' = (q1)/(4piepsilonR) $
Dunque la differenza si riduce a $ V' + Vi - V - Vi = V'-V $ (dove Vi sta per V interno)
Se non ho fatto errori, dovremmo aver risolto il problema.
Grazie mille per l'aiuto e per avermi dedicato il tuo tempo
"Parlu10":
... (dove Vi sta per V interno)...
Il tuo Vi non "sta per V interno", ma per $\Delta V$
Nell'equivalente geografico, non è un'altezza, ovvero una quota o livello, rispetto al livello di riferimento a zero, ma un dislivello.
Giusto per capire bene, prova a disegnare sia l'andamento del campo elettrico sia del potenziale, in funzione della distanza dal centro del sistema, nei due casi; vedrai che tutto ti sarà più chiaro.
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