Potenziale
mettiamo che in un sistema olonomo piano orizzontale sia applicata una forza puntuale nel punto B pari a:
$ F(B)=k(3e1+4e2) $
il punto B ha coordinate:
$ x(B)=l(cosPhi-sinPhi) $
$ y(B)=l(sinPhi+cosPhi) $
mi si chiede il potenziale della forza
io so che $ U(B)=int_()^() F(B)= k(3xe1+4ye2) $
sostituisco le coordinate di B trovate prima e ottengo il potenziale (il risultato mi viene)
ora l'esercizio che non mi viene; come forza puntuale (in un punto che indico con C) mi dà:
$ F(C)=-5k(ye1+xe2) $
siccome le coordinate credo siano giuste, penso che stia sbagliando a fare l'integrale della forza, che io ho svolto cosi:
$ U(C)=int_()^() F(C)=-5k(xye1+yxe2)=-5k(2xy) $
ma il risultato non mi viene, è nell'integrare la forza che sbaglio ?
$ F(B)=k(3e1+4e2) $
il punto B ha coordinate:
$ x(B)=l(cosPhi-sinPhi) $
$ y(B)=l(sinPhi+cosPhi) $
mi si chiede il potenziale della forza
io so che $ U(B)=int_()^() F(B)= k(3xe1+4ye2) $
sostituisco le coordinate di B trovate prima e ottengo il potenziale (il risultato mi viene)
ora l'esercizio che non mi viene; come forza puntuale (in un punto che indico con C) mi dà:
$ F(C)=-5k(ye1+xe2) $
siccome le coordinate credo siano giuste, penso che stia sbagliando a fare l'integrale della forza, che io ho svolto cosi:
$ U(C)=int_()^() F(C)=-5k(xye1+yxe2)=-5k(2xy) $
ma il risultato non mi viene, è nell'integrare la forza che sbaglio ?
Risposte
In generale si può procedere in due modi. Per esempio, senza scomodare gli integrali curvilinei, si può lavorare solo con le derivate parziali:
$[vecF=-5kyveci-5kxvecj] rarr \{((delU)/(delx)=-5ky),((delU)/(dely)=-5kx):} rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(-5kx+f'(y)=-5kx):} rarr$
$rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(f'(y)=0):} rarr \{(U=-5kxy+C),(f(y)=C):}$
In definitiva:
$[vecF=-5kyveci-5kxvecj] rarr [U=-5kxy+C]$
In ogni modo, si dovrebbe ricordare che il potenziale è uno scalare. Per questo motivo non ha senso utilizzare i versori quando se ne determina un'espressione. Inoltre, in questo semplice caso, si potrebbe addirittura procedere per tentativi. Per rendersene conto è sufficiente considerare la semplicità della soluzione così determinata.
$[vecF=-5kyveci-5kxvecj] rarr \{((delU)/(delx)=-5ky),((delU)/(dely)=-5kx):} rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(-5kx+f'(y)=-5kx):} rarr$
$rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(f'(y)=0):} rarr \{(U=-5kxy+C),(f(y)=C):}$
In definitiva:
$[vecF=-5kyveci-5kxvecj] rarr [U=-5kxy+C]$
In ogni modo, si dovrebbe ricordare che il potenziale è uno scalare. Per questo motivo non ha senso utilizzare i versori quando se ne determina un'espressione. Inoltre, in questo semplice caso, si potrebbe addirittura procedere per tentativi. Per rendersene conto è sufficiente considerare la semplicità della soluzione così determinata.
onestamente non capisco i passaggi, soprattutto all'inizio...tu parti dalla forza, scritta moltiplicando il fattor k per ogni componente...ok...poi fai le derivate parziali del potenziale...ma se è quello che dobbiamo calcolarci come fai...scusami...spesso sono un pò duro a capire...
Il potenziale è la funzione incognita. Tuttavia, conoscendo le componenti della forza, del potenziale si conoscono le due derivate parziali. Questo spiega il motivo della seguente implicazione:
Nel passaggio seguente, si integra la prima relazione rispetto alla variabile $[x]$, la costante arbitraria può dipendere da $[y]$, e si sostituisce nella seconda:
Infine, si integra la seconda relazione rispetto alla variabile $[y]$, ora la costante arbitraria è una "vera" costante trattandosi di una funzione di una sola variabile, e si sostituisce nella prima:
"speculor":
$[vecF=-5kyveci-5kxvecj] rarr \{((delU)/(delx)=-5ky),((delU)/(dely)=-5kx):}$
Nel passaggio seguente, si integra la prima relazione rispetto alla variabile $[x]$, la costante arbitraria può dipendere da $[y]$, e si sostituisce nella seconda:
"speculor":
$\{((delU)/(delx)=-5ky),((delU)/(dely)=-5kx):} rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(-5kx+f'(y)=-5kx):} rarr \{(U=-5kxy+f(y)),(f'(y)=0):}$
Infine, si integra la seconda relazione rispetto alla variabile $[y]$, ora la costante arbitraria è una "vera" costante trattandosi di una funzione di una sola variabile, e si sostituisce nella prima:
"speculor":
$\{(U=-5kxy+f(y)),(f'(y)=0):} rarr \{(U=-5kxy+C),(f(y)=C):}$
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