Potenziale 3 fili uniformemente carichi
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio. Riporto anche le soluzioni fornite, purtroppo non mi sono chiare e vorrei capirne di più...
Si consideri una terna cartesiana xyz. Si ha un filo uniformemente carico con densità lineare $ 2lambda $ sull'asse y e 2 fili ad esso paralleli che passano per i punti (a,0,0) e (-a,0,0) aventi densità $ -lambda $ .
a) Scrivere un'espressione per il potenziale elettrostatico in tutti i punti dell'asse z, esclusa l'origine.
b) Calcolare il momento torcente $ tau $ su un dipolo elettrostatico $ p=p(cosvartheta , sinvartheta ,0) $ posto in (0,0,a) assumendo p e $ cosvartheta $ note.
La soluzione che viene fornita è la seguente:
In generale, un filo uniformemente carico a distanza r ha potenziale pari a $ V(r)=(lambda/(2pi*varepsilon))*ln(r/(r')) $ con r' distanza arbitraria a potenziale nullo.
a) Per sovrapposizione si trova $ V(z)=2*(lambda/(2pi*varepsilon))*[ln(z/(z'))-ln((sqrt(z^2+a^2))/(z'')) $ con z' e z'' arbitrarie.
Per le proprietà dei logaritmi si può scrivere $ V(z)=2*(lambda/(2pi*varepsilon))*[ln(z/((sqrt(z^2+a^2))/(z'')))+ln((z'')/(z')) $ dove la costante arbitraria si annulla se z'=z'' e questo corrisponde a $ V(oo )=0 $ .
La semplificazione è possibile perchè la carica totale su tratti di data lunghezza dei 3 fili è nulla.
b) Per simmetria in (0,0,a) il campo ha solo componenti z quindi derivando V rispetto a z e calcolando la derivata in z=a si trova il campo (0,0,Ez). Il momento si trova come $ tau ^^ E=tau 0(sinvartheta ,-cosvartheta ,0) $ con $ tau0=p0*E $ .
Si consideri una terna cartesiana xyz. Si ha un filo uniformemente carico con densità lineare $ 2lambda $ sull'asse y e 2 fili ad esso paralleli che passano per i punti (a,0,0) e (-a,0,0) aventi densità $ -lambda $ .
a) Scrivere un'espressione per il potenziale elettrostatico in tutti i punti dell'asse z, esclusa l'origine.
b) Calcolare il momento torcente $ tau $ su un dipolo elettrostatico $ p=p(cosvartheta , sinvartheta ,0) $ posto in (0,0,a) assumendo p e $ cosvartheta $ note.
La soluzione che viene fornita è la seguente:
In generale, un filo uniformemente carico a distanza r ha potenziale pari a $ V(r)=(lambda/(2pi*varepsilon))*ln(r/(r')) $ con r' distanza arbitraria a potenziale nullo.
a) Per sovrapposizione si trova $ V(z)=2*(lambda/(2pi*varepsilon))*[ln(z/(z'))-ln((sqrt(z^2+a^2))/(z'')) $ con z' e z'' arbitrarie.
Per le proprietà dei logaritmi si può scrivere $ V(z)=2*(lambda/(2pi*varepsilon))*[ln(z/((sqrt(z^2+a^2))/(z'')))+ln((z'')/(z')) $ dove la costante arbitraria si annulla se z'=z'' e questo corrisponde a $ V(oo )=0 $ .
La semplificazione è possibile perchè la carica totale su tratti di data lunghezza dei 3 fili è nulla.
b) Per simmetria in (0,0,a) il campo ha solo componenti z quindi derivando V rispetto a z e calcolando la derivata in z=a si trova il campo (0,0,Ez). Il momento si trova come $ tau ^^ E=tau 0(sinvartheta ,-cosvartheta ,0) $ con $ tau0=p0*E $ .
Risposte
Cosa non ti è chiaro?
"gugo82":
Cosa non ti è chiaro?
Dopo aver applicato il principio di sovrapposizione, quando applica la proprietà dei logaritmi e perchè al punto b) ottiene quel risultato
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