Potenziale
Salve a tutti! Non riesco a risolvere questo esercizio di elettrostatica.
Devo calcolare il potenziale $\varphi$ generato dal campo $\vec{F}(x,y,z) = -2x\hat{i}- z \hat{j} -ay\hat{k} $
Il primo punto dell'esercizio chiede per quali valori di a il campo è conservativo e ho trovato che è per a = 1. Ora mi chiede del potenziale. Sono sicuro che c'entra il gradiente ma non so come risolvere l'esercizio con le derivate parziali. Potreste aiutarmi o rimandarmi a qualche link utile? Grazie in anticipo.
Devo calcolare il potenziale $\varphi$ generato dal campo $\vec{F}(x,y,z) = -2x\hat{i}- z \hat{j} -ay\hat{k} $
Il primo punto dell'esercizio chiede per quali valori di a il campo è conservativo e ho trovato che è per a = 1. Ora mi chiede del potenziale. Sono sicuro che c'entra il gradiente ma non so come risolvere l'esercizio con le derivate parziali. Potreste aiutarmi o rimandarmi a qualche link utile? Grazie in anticipo.
Risposte
prendi un percorso qualsiasi. per esempio dall'origine al punto generico x,y,z.
lo spezzi su tratti semplici: il primo tratto lungo asse x, il secondo lungo y e il terzo su z. Su ognuno di questi tratti calcoli $intFdr$
Quindi:
$int_0^xFdx=int_0^x(-2x)dx=-x^2$
$int_0^yFdy=int_0^y(-z)dy=0$ (perche lungo l'asse y, z=0)
$int_0^zFdz=int_0^z(-y)dz=-yz$
Quindi $V=-x^2-yz$
a meno della costante arbitraria di integrazione
lo spezzi su tratti semplici: il primo tratto lungo asse x, il secondo lungo y e il terzo su z. Su ognuno di questi tratti calcoli $intFdr$
Quindi:
$int_0^xFdx=int_0^x(-2x)dx=-x^2$
$int_0^yFdy=int_0^y(-z)dy=0$ (perche lungo l'asse y, z=0)
$int_0^zFdz=int_0^z(-y)dz=-yz$
Quindi $V=-x^2-yz$
a meno della costante arbitraria di integrazione
Grazie professorkappa, il suo messaggio mi ha rinfrescato la memoria. In ogni caso credo che lei abbia trovato l'energia potenziale. $U(x,y,z)=\int_{0}^{x}F_{x}(x',0,0)dx' +\int_{0}^{y}F_{y}(x,y',0)dy' +\int_{0}^{z}F_{z}(x,y,z')dz' = -x^2 -yz $
Infatti come verifica:
$\vec{\nabla}U(x,y,z) = ( \hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}) ( -x^2 -yz ) = \vec{F}(x,y,z)$
Dunque il potenziale è $V (x,y,z) =−U (x,y,z) = x^2 + yz $
Infatti come verifica:
$\vec{\nabla}U(x,y,z) = ( \hat{i}\frac{\partial }{\partial x}+\hat{j}\frac{\partial }{\partial y}+\hat{k}\frac{\partial }{\partial z}) ( -x^2 -yz ) = \vec{F}(x,y,z)$
Dunque il potenziale è $V (x,y,z) =−U (x,y,z) = x^2 + yz $
LA distinzione tra potenziale ed energia potenziale è una questione puramente fisica e di convenienza, in analisi matematica non esiste nessuna energia potenziale, non c'è nessuna energia da nessuna parte.
Verissimo, però era solo una precisazione formale..anche perché il fine dell'esercizio è quello di trovare sostanzialmente il potenziale elettrostatico secondo le convenzioni fisiche. Non a caso $\vec{E} = -\vec{\nabla}\varphi $
Assodato che e' una questione convenzionale di segni, il potenziale di un campo di forze e' definito come il lavoro delle forze del campo.
Tanto e' vero che se prendo un massa m e la alzo di h, il lavoro (o potenziale)e' $-mgh$. L'en. potenziale e' allora $mgh$.
nel caso di campi elettrici, mi pare che la convenzione si inverta, ma dovrei farci una pensatina e comunque anche quella resterebbe una convenzione.
Tanto e' vero che se prendo un massa m e la alzo di h, il lavoro (o potenziale)e' $-mgh$. L'en. potenziale e' allora $mgh$.
nel caso di campi elettrici, mi pare che la convenzione si inverta, ma dovrei farci una pensatina e comunque anche quella resterebbe una convenzione.
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