Potenziale
Ciao! Qualcuno può aiutarmi con quest'esercizio? Ho controllato i calcoli, ma il mio risultato è il quadruplo di quello indicato.
Una carica e’ distribuita entro una sfera di raggio R= 2 cm, con una densità che varia linearmente in funzione della distanza dal centro secondo la relazione ρ =ρ0(r/R) con ρ0=10-7 C/m^3. Determinare la differenza di potenziale fra il centro e la superficie della sfera.
Il Prof. usa il th. Gauss, con un procedimento mediamente lungo, ma semplice. Io in realtà avevo fatto più velocemente, così:
$V(r)=q/(4piepsilon_0r) rarr dV=(dq)/(4piepsilon_0r)=(rho_0r^2)/(epsilon_0R)dr rarr V=int_0^R(rho_0r^2)/(epsilon_0R)dr=(rho_0R^2)/(3epsilon_0)$
Grazie!
Una carica e’ distribuita entro una sfera di raggio R= 2 cm, con una densità che varia linearmente in funzione della distanza dal centro secondo la relazione ρ =ρ0(r/R) con ρ0=10-7 C/m^3. Determinare la differenza di potenziale fra il centro e la superficie della sfera.
Il Prof. usa il th. Gauss, con un procedimento mediamente lungo, ma semplice. Io in realtà avevo fatto più velocemente, così:
$V(r)=q/(4piepsilon_0r) rarr dV=(dq)/(4piepsilon_0r)=(rho_0r^2)/(epsilon_0R)dr rarr V=int_0^R(rho_0r^2)/(epsilon_0R)dr=(rho_0R^2)/(3epsilon_0)$
Grazie!
Risposte
Il campo elettrico all'interno della sfera, usando il teorema di Gauss, sarà
$E=q/(4piepsilonr^2)=intrho(dV)/(4piepsilonr^2)=rho_0r^4/(4epsilonr^2R)=rho_0r^2/(4epsilonR)$
Se vogliamo trovare la differenza di potenziale tra la superficie e il centro
$V(0)-V(R)=int_(0)^(R) vecE* dvecs=int_(0)^(R) rho_0r^2/(4epsilonR)dr=rho_0r^3/(12epsilonR)|_0^R =rho_0R^2/(12epsilon) $
Quello che hai trovato tu è il potenziale sulla superficie della sfera. L'errore è che quel potenziale che hai usato è tale solo all'esterno della sfera
$E=q/(4piepsilonr^2)=intrho(dV)/(4piepsilonr^2)=rho_0r^4/(4epsilonr^2R)=rho_0r^2/(4epsilonR)$
Se vogliamo trovare la differenza di potenziale tra la superficie e il centro
$V(0)-V(R)=int_(0)^(R) vecE* dvecs=int_(0)^(R) rho_0r^2/(4epsilonR)dr=rho_0r^3/(12epsilonR)|_0^R =rho_0R^2/(12epsilon) $
Quello che hai trovato tu è il potenziale sulla superficie della sfera. L'errore è che quel potenziale che hai usato è tale solo all'esterno della sfera
E' vero, ho capito il concetto, grazie 1000!
"Spremiagrumi":
$E=q/(4piepsilonr^2)=intrho(dV)/(4piepsilonr^2)=...=rho_0r^4/(4epsilonr^2R)=rho_0r^2/(4epsilonR)$
Perdonami, non mi escono i calcoli, però... Puoi mostrarmi, per piacere, i passaggi relativi a quello che ho quotato? Grazie!
A me, viene: $E=q/(4piepsilonr^2)=intrho(dV)/(4piepsilonr^2)=intrho_0r/R*(4/3pid(r^3))/(4piepsilonr^2)=intrho_0r/R*(4/3pi*3r^2dr)/(4piepsilonr^2)=intrho_0r/R*(dr)/epsilon=(rho_0r^2)/(2epsilonR)$; ma è il doppio di quello che viene a te...
Cioè, perché devo usare per forza il th. Gauss!? Cos'ha che non va quello che ho scritto!? Sul potenziale, ho capito, ma ora!?
"Bubbino1993":
A me, viene:...
E' giusto come hai fatto tu.
"Bubbino1993":
perché devo usare per forza il th. Gauss!?
E come vorresti farlo?
Il procedimento "breve" che hai proposto tu è errato. Tu hai usato la formula che serve per calcolare il potenziale esternamente a distribuzioni di carica a simmetria sferica, mentre nel nostro caso devi calcolare il potenziale in punti interni alla distribuzione.
"mathbells":
[quote="Bubbino1993"]A me, viene:...
E' giusto come hai fatto tu.
[/quote]
Non credo...
Ti ho ingannato io però commettendo un errore nel digitare (i calcoli sono svolti senza contare tale errore infatti)
La formula giusta è questa naturalmente.
$E=q/(4piepsilonr^2)=1/(4piepsilonr^2)intrhodV$
penso sia chiaro il motivo.
OK, capito, grazie a tutti!
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