Potenze virtuali

[zwan9]

Potreste essere così gentili da aiutarmi con un problema, anche se di meccanica razionale?
Vi copio il testo:
Un'asta rigida e omogenea AB, di massa m e lunghezza 2l, si muove in un piano verticale pi, fisso nel riferimento terrestre. L'estremo B è vincolato a scorrere senza attrito lungo una rete fissa orizzontale r di pi, mentre l'estremo A è collegato a un punto fisso C di pi, posto sopra la retta r a distanza 3l da essa, per mezzo di una molla di lunghezza a riposo nulla e costante elastica k>0. Determinare le configurazioni di equilibrio del sistema per mezzo del principio delle potenze virtuali.
Il mio problema è che non so come applicare il principio Qual'è indicativamente lo schema logico da seguire? Ovvero, quali sono i passaggi fondamentali?
Mi sareste di grande aiuto!
zwan

[WonderP1]

Non ricordo bene il principio di cui parli, ma seguendo la logica agirei così. Ci sono tre configurazioni di equilibrio: una verticale (instabile) e due laterali simmetriche. Al condizione di equilibrio verticale è banale, per trovare quelle laterali devi imporre l’equilibrio delle forze. In questo caso non ci sono forze laterali, ma solo verticali, kx = mg con x spostamento verticale della molla. L’estremo A dell’asta si trova ad una distanza x ( più la lunghezza della molla a riposo) dal punto C, B lo ricavi facilmente con Pitagora.
Purtroppo, ripeto, non ricordo il principio delle potenze virtuali.

WonderP.

[Asimov1]

Penso (dimmi se sbaglio) che tu ti riferisca al principio dei Lavori Virtuali.
Se è cosi credo si possa procedere in questo modo (prendiamo in considerazioni i sistemi "belli" ovvero vincoli non dissipativi, bilateri, olonomi):

1) individuare il numero di gradi di libertà del sistema e scegliere un ugual numero di coordinate libere indipendenti.
2) esprimere il lavoro virtuale, ovvero il prodotto scalare della forze per gli spostamento virtuali.
3) annullare, per il principio dei lavori virtuali, il lavoro virtuale totale ricavato al punto 2 (deve essere nullo per OGNI spostamento virtuale)

nel tuo caso:

Prendiamo come sistema di riferimento la rete fissa si cui scorre il punto B come asse x e come asse y l'asse perpendicolare a questa passante per il punto fisso C. Chiamiamo G il baricentro dell'asta.
I gradi di libertà del sistema sono 2. Come coordinate libere scegliamo: x che dà la distanza di B dall'origine e l'angolo theta formato dall'asta con la verticale passante per il punto A dell'asta stessa.

Ora il metodo standard consiste:
1) nell'esprimere le posizioni dei punti di azione delle forze in funzione delle coordinate libere:
A = ( x-2lsin(theta) ; 2lcos(theta) )
G = ( x-lsin(theta) ; lcos(theta) )

2) differenziare queste espressioni
spost. virt. di A = ( dx-lcos(theta)d(theta) ;-lsin(theta)d(theta) )
spost. virt. di G = ( dx-2lcos(theta)d(theta) ;-2lsin(theta)d(theta) )

3) eseguire il prodotto scalare tra queste espressioni e le forze in questione.

4) porre = 0 il risultato del punto 3 per ogni dx e ogni d(theta)

Si può procedere però per una via piu' veloce non considerando tutti gli spostamenti virtuali, bensì 2 "semplificati".

Poniamo d(theta) = 0 ovvero l'asta non ruota. In questo caso l'asta traslerà soltanto in orizzontale quindi la forza peso non compirà lavoro. Il lavoro virtuale totale sarà perciò quello dovuto alla sola forza elastica agente nel punto A ed esso è:
-(x-2lsin(theta)) dx
Infatti AC = (x-2lsin(theta) ; 3l-2lcos(theta))
e dx è orizzontale rivolto verso destra

Il lavoro virt. dev'essere nullo per ogni dx
quindi abbiamo la prima uguaglianza: x-2lsin(theta) = 0

Poniamo ora dx = 0 ovvero l'asta ruota soltanto con centro di istantanea rotazione in B.
In questo caso gli spostamenti virtuali di G ed A sono perpendicolari all'asta e valgono in modulo ld(theta) e 2ld(theta) (dalla formula del moto circolare uniforme).
Calcoliamo il Lavoro Virtuale:
il lavoro della forza peso è mgl*d(theta)*sin(theta) (abbiamo proiettato lo spostamento virtuale di G sulla verticale)
il lavoro della forza elastica è
k(x-2lsin(theta)*2lcos(theta)*d(theta)+k(3l-2lcos(theta)*2lsin(theta)*d(theta)

Sommiamo i 2 contributi, abbiamo una espressione linearmente dipendente da d(theta) che dev'essere = 0 per ogni d(theta).

Usando la prima uguaglianza che avevamo ricavato (x-2lsin(theta)=0), abbiamo che:

mglsin(theta) + k(3l-2lcos(theta))*2lsin(theta) = 0

quindi 2 soluzioni

mg+3kl - 2klcos(theta)= 0 con x =2lsin(theta)
(ovvero le 2 posizioni laterali come ha detto wonderP)

oppure sin(theta) = 0 (ovvero asta verticale con molla a riposo)


spero di non aver fatto troppi errori cmq l'impostazione generale dovrebbe essere giusta