Potenza stazionaria
Un proiettile di massa m viene lanciato da un'altezza h con velocità iniziale orizzontale $v_0$, assumendo che l'aria eserciti una forza viscosa $F=-gammav_(rel)$ calcolare il tempo al quale la potenza della forza viscosa è stazionaria e la potenza della forza peso in tale istante.
Ponendo un asse y orientato verso il basso e un asse x orientato nel verso della velocità, dovrei avere come equazioni del moto:
$ddot(x)=-gamma/mdot(x)-> dot(x)(t)=v_0e^(-gamma/mt)$
$ddot(y)=-gamma/mdot(y)+g -> dot(y)(t)=(mg)/gamma(1-e^(-gamma/mt))$
Sbaglio o affinché la potenza sia stazionaria deve essere anche la velocità stazionaria? Ma la velocità diventa stazionaria per $t->+oo$, o sbaglio qualcosa io?
Ponendo un asse y orientato verso il basso e un asse x orientato nel verso della velocità, dovrei avere come equazioni del moto:
$ddot(x)=-gamma/mdot(x)-> dot(x)(t)=v_0e^(-gamma/mt)$
$ddot(y)=-gamma/mdot(y)+g -> dot(y)(t)=(mg)/gamma(1-e^(-gamma/mt))$
Sbaglio o affinché la potenza sia stazionaria deve essere anche la velocità stazionaria? Ma la velocità diventa stazionaria per $t->+oo$, o sbaglio qualcosa io?
Risposte
Penso che l'istante in cui la potenza viscosa è stazionaria sia l'istante nel quale la potenza viscosa è istantaneamente costante, ovvero quando la sua derivata è nulla.
Trattasi di un minimo della funzione potenza viscosa.
La potenza viscosa è:
$${P_v} = {F_v}v = - \gamma \left( {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}} \right) = - \frac{1}
{\gamma }\left( {\left( {{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}} \right){e^{ - \frac{{2\gamma }}
{m}t}} + {g^2}{m^2}\left( {1 - 2{e^{ - \frac{\gamma }
{m}t}}} \right)} \right)$$
Vediamo i valori della potenza viscosa
per t=0 e t infinito:
$$\eqalign{
& {P_v}\left( 0 \right) = - \gamma {v_0}^2 \cr
& {P_v}\left( \infty \right) = - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{\gamma } \cr} $$
La derivata di questa potenza si annulla per:
$${t_s} = \frac{m}
{\gamma }\ln \left( {1 + \frac{{{v_0}^2{\gamma ^2}}}
{{{g^2}{m^2}}}} \right)$$
In questo istante la potenza della forza peso è:
$${P_g}\left( {{t_s}} \right) = mg\dot y\left( {{t_s}} \right) = \frac{{\gamma {v_0}^2{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}$$
Se calcoliamo quanto vale la potenza viscosa in questo istante troviamo:
$${P_v}\left( {{t_s}} \right) = - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{\gamma }\left( {1 - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}} \right) = - \frac{{\gamma {v_0}^2{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}$$
Dunque nell'istante di stazionarietà della potenza viscosa essa è uguale e contraria a quella della forza peso.
Trattasi di un minimo della funzione potenza viscosa.
La potenza viscosa è:
$${P_v} = {F_v}v = - \gamma \left( {{{\dot x}^2} + {{\dot y}^2}} \right) = - \frac{1}
{\gamma }\left( {\left( {{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}} \right){e^{ - \frac{{2\gamma }}
{m}t}} + {g^2}{m^2}\left( {1 - 2{e^{ - \frac{\gamma }
{m}t}}} \right)} \right)$$
Vediamo i valori della potenza viscosa
per t=0 e t infinito:
$$\eqalign{
& {P_v}\left( 0 \right) = - \gamma {v_0}^2 \cr
& {P_v}\left( \infty \right) = - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{\gamma } \cr} $$
La derivata di questa potenza si annulla per:
$${t_s} = \frac{m}
{\gamma }\ln \left( {1 + \frac{{{v_0}^2{\gamma ^2}}}
{{{g^2}{m^2}}}} \right)$$
In questo istante la potenza della forza peso è:
$${P_g}\left( {{t_s}} \right) = mg\dot y\left( {{t_s}} \right) = \frac{{\gamma {v_0}^2{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}$$
Se calcoliamo quanto vale la potenza viscosa in questo istante troviamo:
$${P_v}\left( {{t_s}} \right) = - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{\gamma }\left( {1 - \frac{{{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}} \right) = - \frac{{\gamma {v_0}^2{g^2}{m^2}}}
{{{\gamma ^2}{v_0}^2 + {g^2}{m^2}}}$$
Dunque nell'istante di stazionarietà della potenza viscosa essa è uguale e contraria a quella della forza peso.
Vero, vero, che stupido 
, grazie 
, grazie
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