Potenza reattiva istantanea

[CaMpIoN]

Su wikipedia ce la formula della potenza reattiva istantanea calcolata a partire dai valori di tensione e corrente istantanee, questa formula è:

\(\displaystyle Q(t)=\frac{1}{2\omega}\cdot \left(v(t)\cdot \frac{di(t)}{dt}-i(t)\cdot \frac{dv(t)}{dt}\right) \)

Non capisco come sia arrivato a questa formula partendo da $v(t)$ e $i(t)$, mi dite la dimostrazione di questo risultato.

Inoltre un'altra cosa che non ho capito è se questa formula si basa su regime periodico sinusoidale o in un regime periodico qualsiasi. Mi aiutate a capire queste due cose quindi.

1) Come si arriva alla formula della potenza reattiva istantanea posta sopra? (che ho trovato su wikipedia, precisamente qui)

2) E' una formula generale o vale solo nel regime periodico sinusoidale?

Grazie in anticipo.

[mdonatie]

[youtube][/youtube]Se consideri un regime periodico sinusoidale allora dallo studio della potenza istantanea, trovi i contributi di potenza attiva e potenza reattiva.

$p(t)=v(t)*i(t)$

se rappresenti potenziale e corrente come funzioni sinusoidali isofrequenziali:

${(v(t)=sqrt(2)V \sin(\omega t +\theta_V)),(i(t)=sqrt(2)I \sin(\omega t +\theta_I)):}$

adesso se moltiplichi i termini tensione e corrente (dipendenti dal tempo):

$p(t)=2VI\sin(\omega t +\theta_V)\sin(\omega t +\theta_I)$

dalla trigonometria, sappiamo che $\sin\alpha * \sin\beta=1/2 [\cos(\alpha - \beta)-\cos(\alpha + \beta)]$, quindi:

$p(t)=2VI*{1/2[\cos(\omega t +\theta_V - \omega t -\theta_I)-\cos(\omega t +\theta_V + \omega t +\theta_I)]}$

$p(t)=VI\cos(\theta_V - \theta_I)-VI\cos(2\omega t + \theta_V + \theta_I)$

Il termine $\theta_V-theta_I=\varphi$ indica l'angolo di ritardo della corrente rispetto alla tensione, quindi per utilizzarlo anche nel secondo termine della potenza, addizioniamo e sottraiamo $\theta_I$:

$p(t)=VI\cos(\theta_V - \theta_I)-VI\cos(2\omega t + \theta_V + \theta_I + \theta_I -\theta_I)$

$p(t)=VI\cos(\theta_V - \theta_I)-VI\cos(2\omega t + 2\theta_I + \theta_V -\theta_I)$

$p(t)=VI\cos(\varphi)-VI\cos(2\omega t + 2\theta_I + \varphi)$

In particolare dalla potenza istantanea, si nota un termine non dipendente dal tempo: $VI\cos\varphi$, pari alla potenza media $P$.
Poiché: $P=1/T \int_0^T p(t)dt=VI\cos\varphi$

Ora sfruttando sempre le proprietà trigonometriche: $\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha*\cos\beta-\sin\alpha*\sin\beta$
ponendo $\alpha=2\omega t +2\theta_I$ e $\beta=\varphi$, allora:

$VI\cos(2\omega t + 2\theta_I + \varphi)=VI\cos(2\omega t +2\theta_I)\cos\varphi-VI\sin(2\omega t +2\theta_I)\sin\varphi$

Quindi la potenza istantanea risulterà essere:

$p(t)=VI\cos(\varphi)-VI\cos(2\omega t +2\theta_I)\cos\varphi+VI\sin(2\omega t +2\theta_I)\sin\varphi$

Raccogliendo:

$p(t)=\underbrace{VI\cos\varphi[1-\cos(2\omega t +2\theta_I)]}_{\text(potenza attiva istantanea)}+\underbrace{VI\sin\varphi\sin(2\omega t +2\theta_I)}_{\text(potenza reattiva istantanea)}$

Definendo la potenza complessa (fasoriale):
$\barP=\barV*\barI^(\text(*))=VIe^(j\theta_V)e^(-j\theta_I)=VIe^(j\varphi)=\underbrace{VI\cos\varphi]_{\text(potenza attiva)}+j\underbrace{VI\sin\varphi}_{\text(potenza reattiva)}=P+jQ$

Questi termini che non dipendono dal tempo sono presenti anche nella potenza istantanea:

$p(t)=P[1-\cos(2\omega t +2\theta_I)]+Q\sin(2\omega t +2\theta_I)$

Dove $p_r(t)=Q\sin(2\omega t +2\theta_I)$ è la potenza reattiva istantanea
e $Q=VI\sin\varphi$ è la potenza reattiva, espressa in $[VAR]$ ed indica il valore massimo della potenza reattiva istantanea.

Non ti saprei dire per quanto riguarda la validità dell'espressione in altri regimi periodici

[CaMpIoN]

Ti ringrazio dell'interesse, però quello che chiedevo era specificamente la derivazione di quella formula che ho postato.