POSIZIONE DEL CENTRO DI MASSA

[pooh5]

Si determini la posizione del centro di massa di una bacchetta di massa m e lunghezza l, la cui densità lineare $lambda_1$nel primo tratto lungo $l/4$ e $lambda_2$ nel secondo tratto lungo $3 l/4$.

so che la densità lineare $lambda=(dm)/(dl)$ e che per un sistema discreto il centro di massa $C=(m_1r_1+m_2r_2)/(m_1+m_2)$, ma a questo punto non so come impostare il problema del caso specifico...

[VINX89]

La posizione del centro di massa per un sistema discreto di n punti materiali è

$x_(cm) = (sum_1^n m_i x_i)/(sum_1^n m_i) = (sum_1^n m_i x_i)/M$

In modo analogo, ovviamente, sono definite $y_(cm)$ e $z_(cm)$
Per un sistema continuo si può immaginare di suddividere la massa in infinite porzioni, ognuna di massa infinitesima $dm$, e di sommare questi infiniti contributi; è naturale, quindi, sostituire la sommatoria con un integrale:

$x_(cm) = (int x dm)/M$

Nel caso specifico, conviene fissare un asse $x$ coincidente con la bacchetta e avente l'origine in un estremo; inoltre, conviene calcolare il $cm$ delle due porzioni di bacchetta con densità diverse, e solo dopo trovare quello "complessivo".
Supponiamo che l'origine coincida con la parte avente densità $lambda_1$; si avrà

$x_1 = (int_0^(x/4) x dm)/m = (int_0^(x/4) x lambda_1 dx)/m$ ($dm = lambda_1 dx$)

Analogamente:

$x_2 = (int_(x/4)^x x lambda_2 dx)/m$

Una volta trovate le due posizioni, queste si possono considerare come due punti materiali di massa rispettivamente $lambda_1 x/4$ e $lambda_2 3/4 x$, quindi......
(Nota: se nei due tratti la densità è omogenea, i centri di massa si trovano esattamente a metà di ogni porzione...)