Portata massica e quantità di moto
Domanda da nubbio:
-supponiamo di avere un flusso di acqua che scorre attraverso il tubo di un idrante
-supponiamo che la velocità con la quale scorre il flusso di acqua continuo sia costante
-supponiamo che la portata massica, istante per istante, sia costante e sia nota
Ha "senso" parlare anche in questo caso di quantità di moto come prodotto tra portata massica e velocità ?
Il fatto che la portata massica sia espressa come prodotto tra la sezione del tubo (Che assumiamo costante) in cui scorre il fluido e la velocità media di "scorrimento" (Assumendo densità = 1) fa si che la quantità di moto sarebbe proporzionale al quadrato della velocità.
-supponiamo di avere un flusso di acqua che scorre attraverso il tubo di un idrante
-supponiamo che la velocità con la quale scorre il flusso di acqua continuo sia costante
-supponiamo che la portata massica, istante per istante, sia costante e sia nota
Ha "senso" parlare anche in questo caso di quantità di moto come prodotto tra portata massica e velocità ?
Il fatto che la portata massica sia espressa come prodotto tra la sezione del tubo (Che assumiamo costante) in cui scorre il fluido e la velocità media di "scorrimento" (Assumendo densità = 1) fa si che la quantità di moto sarebbe proporzionale al quadrato della velocità.
Risposte
Certo che ha senso.
Quando si studia l'eq. globale di equilibrio dell'Idrodinamica, si vede che vi sono dei termini, uguali alla "quantità di moto della massa della portata entrante" e analogamente " uscente" da un dato volume di controllo.
Quando si studia l'eq. globale di equilibrio dell'Idrodinamica, si vede che vi sono dei termini, uguali alla "quantità di moto della massa della portata entrante" e analogamente " uscente" da un dato volume di controllo.
Se suppongo quindi di voler calcolare la variazione della quantità di moto (Per esprimere la forza ) in un certo punto x del condotto, sapendo che la velocità è iniziale è V, è corretto calcolare $\dotmV - \dotm\dotx$ laddove $\dotm$ è espresso come prodotto $\rhoAv$ (Nel caso dell'acqua $\rho \equiv 1$) ?
Francamente non mi è chiaro che cosa hai in mente.
Posso solo ricordarti che l'equazione globale dell'equilibrio idrodinamico dice che :
Dato un volume finito $W$ di fluido in moto, è nulla la risultante delle seguenti forze :
-forze di massa $vecG$
-forze superficiali $vec\Pi$ , dovuta a spinte esercitate dall'esterno sulla superficie di contorno
-risultante $vecI$ delle inerzie locali (che dipendono dal modo con cui velocita e densita variano col tempo nei singoli punti di $W$. Se il moto è permanente, $vecI = 0 $ ).
-quantita di moto $vecM_1$ posseduta dalla massa entrante in $W$ nell'unita di tempo
- quantita di moto $vecM_2$ ( col segno cambiato) posseduta dalla massa uscente nell'unita di tempo
Quindi : $ vecG + vec\Pi + vecI + vecM_1 - vecM_2 = 0 $
Da notare che $vecM_1$ ed $vecM_2$ sono quantita di moto nell'unita di tempo, quindi si dovrebbero chiamare " flussi di quantita di moto" , ed hanno le dimensioni di una forza.
L'eq. globale vale sia per fluidi comprimibili che incomprimibili, per moto sia laminare che turbolento.
In sostanza, essa riconduce un problema dinamico ad un problema di equilibrio statico, purche alle forze di massa e superficiali si aggiungano le forze di inerzia e i flussi di quantità di moto.
Esempi pratici si hanno nel calcolo della spinta di un getto su una piastra, o sulla curva di una tubazione, o in un cucchiaio di una turbina idraulica.
Guarda per esempio queste slides
http://www.unirc.it/documentazione/mate ... 4_5668.pdf
Posso solo ricordarti che l'equazione globale dell'equilibrio idrodinamico dice che :
Dato un volume finito $W$ di fluido in moto, è nulla la risultante delle seguenti forze :
-forze di massa $vecG$
-forze superficiali $vec\Pi$ , dovuta a spinte esercitate dall'esterno sulla superficie di contorno
-risultante $vecI$ delle inerzie locali (che dipendono dal modo con cui velocita e densita variano col tempo nei singoli punti di $W$. Se il moto è permanente, $vecI = 0 $ ).
-quantita di moto $vecM_1$ posseduta dalla massa entrante in $W$ nell'unita di tempo
- quantita di moto $vecM_2$ ( col segno cambiato) posseduta dalla massa uscente nell'unita di tempo
Quindi : $ vecG + vec\Pi + vecI + vecM_1 - vecM_2 = 0 $
Da notare che $vecM_1$ ed $vecM_2$ sono quantita di moto nell'unita di tempo, quindi si dovrebbero chiamare " flussi di quantita di moto" , ed hanno le dimensioni di una forza.
L'eq. globale vale sia per fluidi comprimibili che incomprimibili, per moto sia laminare che turbolento.
In sostanza, essa riconduce un problema dinamico ad un problema di equilibrio statico, purche alle forze di massa e superficiali si aggiungano le forze di inerzia e i flussi di quantità di moto.
Esempi pratici si hanno nel calcolo della spinta di un getto su una piastra, o sulla curva di una tubazione, o in un cucchiaio di una turbina idraulica.
Guarda per esempio queste slides
http://www.unirc.it/documentazione/mate ... 4_5668.pdf
In maniera molto spicciola quello di cui avrei bisogno è semplicemente esprimere la forza impressa da un flusso di acqua che va ad impattare contro un "ostacolo" (Fisso o mobile questo ora non m'importa).
Siccome la forza del flusso di acqua (Assumendo nulle le forze di attrito) dovrebbe esser data appunto dalla variazione della quantità di moto dovrei esprimere tale forza come:
$\dotm * (V - \dotx)$
dove V è la velocità iniziale del flusso (Che si assume essere costante, ipotizzando ad esempio che provenga da un idrante dal quale il flusso di acqua esce con portata e velocità costanti), $\dotx$ la velocità al momento dell'impatto o comunque, istante per istante, dal momento dell'impatto in poi) , $x$ la posizione del "fronte" dell'acqua (E dell'ostacolo impattato) e \dot m la portata massica.
Sperando di aver chiarito un poco quello che intendo fare... quello che a me non resta chiaro è se nel prodotto tra densità, sezione del condotto e velocità ($\rhouA$) che determina $\dotm$, la velocità u corrisponda alla velocità V iniziale oppure no.
In tal caso nell'espressione di cui sopra, per la forza, avrei
$\dotm * (V - \dotx) = \rhoAV^2 - \rhoAV\dotx$
ma non so sinceramente se questo sia corretto.
p.s.: la densità si assume costante, così come si assume costante il modulo e la direzione della velocità.
Siccome la forza del flusso di acqua (Assumendo nulle le forze di attrito) dovrebbe esser data appunto dalla variazione della quantità di moto dovrei esprimere tale forza come:
$\dotm * (V - \dotx)$
dove V è la velocità iniziale del flusso (Che si assume essere costante, ipotizzando ad esempio che provenga da un idrante dal quale il flusso di acqua esce con portata e velocità costanti), $\dotx$ la velocità al momento dell'impatto o comunque, istante per istante, dal momento dell'impatto in poi) , $x$ la posizione del "fronte" dell'acqua (E dell'ostacolo impattato) e \dot m la portata massica.
Sperando di aver chiarito un poco quello che intendo fare... quello che a me non resta chiaro è se nel prodotto tra densità, sezione del condotto e velocità ($\rhouA$) che determina $\dotm$, la velocità u corrisponda alla velocità V iniziale oppure no.
In tal caso nell'espressione di cui sopra, per la forza, avrei
$\dotm * (V - \dotx) = \rhoAV^2 - \rhoAV\dotx$
ma non so sinceramente se questo sia corretto.
p.s.: la densità si assume costante, così come si assume costante il modulo e la direzione della velocità.
Il calcolo della spinta esercitata da un getto fluido su una parete è una delle classiche applicazioni dell'equazione globale detta. Ti riporto l'esempio che fa Citrini-Noseda, ma condensato in poche righe. Se ti interessa, lo vai a cercare per i dettagli.
Supponi di avere un getto liquido in moto bidimensionale in un piano orizzontale, di spessore $a$ nel piano e spessore unitario perpendicolarmente ad esso. Il getto si suppone avere velocita uniforme $V$.
Esso investe una piastra che lo devia di un certo angolo $\alpha$ ( sul libro di Citrini c'è anche la figura).
Si ammette di poter trascurare le resistenze al moto e quindi le dissipazioni di energia, PErcio il modulo della velocita della corrente all'uscita è uguale a quello in entrata.
Il volume di controllo è costituito dalle due sezioni di ingresso e uscita, dalla piastra (curva) e dalla supeficie interna del getto a distanza $a$ da quella della piastra.
Il moto si suppone permanente, quindi $vecI = 0$ , e la densita costante.
Essendo il getto orizzontale, la forza peso $vecG$ non influenza la spinta sulla piastra.
La spinta $vec\Pi$ è quella che la piastra esercita sulla corrente, quindi è uguale e contraria a quella che vogliamo determinare, esercitata dalla corrente sulla piastra :
$ vecS = - vec\Pi$ -----(1)
Le due quantita di moto, della portata di massa entrante e della portata di massa uscente, sono uguali in modulo, poiche si è detto che la corrente ha la stessa velocita in ingresso ed in uscita, e stessa portata volumetrica : $q = aV$
PErcio si ha : $M = \rhoqV = \rhoaV^2$ ----(2)
L'unico effetto della piastra è quello di cambiare la direzione di $vecM_1$ entrante nella direzione di $vecM_2$ uscente, quindi l'equazione globale diventa, tenuto conto di (1) :
$vecS = vecM_1 - vecM_2$ ----(3)
che dice : la spinta sulla piastra è uguale alla differenza vettoriale della quantita di moto entrante e uscente (tieni presente che si tratta di forze, in realtà, come ti ho gia spiegato prima) .
Percio il modulo vale : $ S = \rhoqV*sqrt(2(1-cos\alpha))$
Se il getto è deviato di 180º , come si tende ad avere con le pale delle turbine Pelton, si ha il massimo valore :
$S = 2\rhoqV $
Qui ci sono vari esercizi di questo genere :
http://books.google.it/books?id=-qLIsQc ... CEEQ6AEwBA
Supponi di avere un getto liquido in moto bidimensionale in un piano orizzontale, di spessore $a$ nel piano e spessore unitario perpendicolarmente ad esso. Il getto si suppone avere velocita uniforme $V$.
Esso investe una piastra che lo devia di un certo angolo $\alpha$ ( sul libro di Citrini c'è anche la figura).
Si ammette di poter trascurare le resistenze al moto e quindi le dissipazioni di energia, PErcio il modulo della velocita della corrente all'uscita è uguale a quello in entrata.
Il volume di controllo è costituito dalle due sezioni di ingresso e uscita, dalla piastra (curva) e dalla supeficie interna del getto a distanza $a$ da quella della piastra.
Il moto si suppone permanente, quindi $vecI = 0$ , e la densita costante.
Essendo il getto orizzontale, la forza peso $vecG$ non influenza la spinta sulla piastra.
La spinta $vec\Pi$ è quella che la piastra esercita sulla corrente, quindi è uguale e contraria a quella che vogliamo determinare, esercitata dalla corrente sulla piastra :
$ vecS = - vec\Pi$ -----(1)
Le due quantita di moto, della portata di massa entrante e della portata di massa uscente, sono uguali in modulo, poiche si è detto che la corrente ha la stessa velocita in ingresso ed in uscita, e stessa portata volumetrica : $q = aV$
PErcio si ha : $M = \rhoqV = \rhoaV^2$ ----(2)
L'unico effetto della piastra è quello di cambiare la direzione di $vecM_1$ entrante nella direzione di $vecM_2$ uscente, quindi l'equazione globale diventa, tenuto conto di (1) :
$vecS = vecM_1 - vecM_2$ ----(3)
che dice : la spinta sulla piastra è uguale alla differenza vettoriale della quantita di moto entrante e uscente (tieni presente che si tratta di forze, in realtà, come ti ho gia spiegato prima) .
Percio il modulo vale : $ S = \rhoqV*sqrt(2(1-cos\alpha))$
Se il getto è deviato di 180º , come si tende ad avere con le pale delle turbine Pelton, si ha il massimo valore :
$S = 2\rhoqV $
Qui ci sono vari esercizi di questo genere :
http://books.google.it/books?id=-qLIsQc ... CEEQ6AEwBA
La situazione cui faccio riferimento io è un poco diversa.
Al posto della piastra supponi di avere un oggetto mobile che al momento dell'impasto si sposti in linea retta (Tutto può considerarsi, per semplicità, come un moto unidimensionale lungo l'ascissa di riferimento e quindi la portata massica si determina considerando la sezione/area del fronte di acqua anzichè il volume del fluido in movimento: http://it.wikipedia.org/wiki/Flusso_quasi-unidimensionale#cite_note-1)
Al momento dell'impatto, inoltre, si suppone che il fronte di acqua scorra via verticalmente e "lasci" spazio al fronte di acqua che lo segue (Con portata e velocità ancora costanti).
In questo caso la quantità di moto entrante sarebbe quella in cui la velocità è V mentre la quantità di moto uscente/corrente sarebbe quella data dalla derivata della posizione del bersaglio mobile e del fronte di acqua, ovvero $\dotx$.
Nel considerare la portata massica, comunque, mi sembra debba considerare comunque la velocità costante con la quale il fronte d'acqua arriva contro il bersaglio e quindi avere $\dotm = \rhoVA$
Nel frattempo dò un'occhiata al materiale che mi hai linkato, grazie.
Al posto della piastra supponi di avere un oggetto mobile che al momento dell'impasto si sposti in linea retta (Tutto può considerarsi, per semplicità, come un moto unidimensionale lungo l'ascissa di riferimento e quindi la portata massica si determina considerando la sezione/area del fronte di acqua anzichè il volume del fluido in movimento: http://it.wikipedia.org/wiki/Flusso_quasi-unidimensionale#cite_note-1)
Al momento dell'impatto, inoltre, si suppone che il fronte di acqua scorra via verticalmente e "lasci" spazio al fronte di acqua che lo segue (Con portata e velocità ancora costanti).
In questo caso la quantità di moto entrante sarebbe quella in cui la velocità è V mentre la quantità di moto uscente/corrente sarebbe quella data dalla derivata della posizione del bersaglio mobile e del fronte di acqua, ovvero $\dotx$.
Nel considerare la portata massica, comunque, mi sembra debba considerare comunque la velocità costante con la quale il fronte d'acqua arriva contro il bersaglio e quindi avere $\dotm = \rhoVA$
Nel frattempo dò un'occhiata al materiale che mi hai linkato, grazie.
Stando ai lucidi in questione, pur ricorrendo al caso monodimensionale, dovrebbe invece risultare:
$
F = \rhoV^2A - \rho\dotx^2A
$
invece di
$
F = \rhoV^2A - \rhoV\dotxA
$
Nei lucidi in questione però non si parla di flusso in movimento mantenuto a portata e velocità costanti.
In tal caso a me parrebbe corretta la seconda delle suddette uguaglianze.
$
F = \rhoV^2A - \rho\dotx^2A
$
invece di
$
F = \rhoV^2A - \rhoV\dotxA
$
Nei lucidi in questione però non si parla di flusso in movimento mantenuto a portata e velocità costanti.
In tal caso a me parrebbe corretta la seconda delle suddette uguaglianze.
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