POroblema con satellite
Un satellite artificiale terrestre di massa $m = 1200 kg$ ruota attorno alla terra su un’orbita ellittica: il perigeo P (punto di distanza minima) dista $d_p = 100 km$ dalla superficie terrestre e il modulo della velocità del satellite nel perigeo rispetto alla terra è $v_p = 9 (km)/s$. Calcolare:
a) l’energia totale meccanica del satellite;
b) la velocità va del satellite nell’apogeo A (punto di distanza massima dalla terra);
c) la distanza da di questo punto dalla superficie terrestre;
d) il vettore accelerazione di gravità g agente sul satellite artificiale nel perigeo P.
Dati: i) massa della terra $M_t = 5.97×10+24 kg$; ii) raggio della terra, supposta sferica, $r_t = 6370 km$; iii)costante di gravitazione universale $G = 6.67x10−11 N m2/kg2$.
a) l’energia totale meccanica del satellite;
b) la velocità va del satellite nell’apogeo A (punto di distanza massima dalla terra);
c) la distanza da di questo punto dalla superficie terrestre;
d) il vettore accelerazione di gravità g agente sul satellite artificiale nel perigeo P.
Dati: i) massa della terra $M_t = 5.97×10+24 kg$; ii) raggio della terra, supposta sferica, $r_t = 6370 km$; iii)costante di gravitazione universale $G = 6.67x10−11 N m2/kg2$.
Risposte
a) L'energia meccanica totale la calcolo con questa formula $E_(m e c) = E_(c i n) + E_(p o t)$, energia cinetica meno energia potenziale:
$R_p = d_p + r_t = 6470 km$
$E_(m e c) = 1/2 * m * (v_p)^2 + (-G*M_t*m)/R_p = 2.64*10^10 J$
b) io posso ricavare il semiasse maggiore $a$ da questa formula $a = - (G*M*m)/(2*E_(m e c)) = 9049977 metri = 9049,977 km$
quindi essendo $R_a + R_p = 2a$ ricavo $R_a = 2a - R_p = 11629,9 km$. Ora posso calcolare $v_a$, velocità apogeo. Per la conservazione dell'energia
meccanica ho che:
$R_a$ è la distanza dall'apogeo al centro della terra$
$R_a*v_a = R_p*v_p$ risolto in base a $v_a$ diventa $v_a = R_p/R_a *v_p = 5 (Km)/s$ giustamente con una velocitò minore del perigeo
c) per calcolare la distanza dalla superficie dall'apogeo basta sottrarre ad $R_a$ il raggio della Terra $r_t$
$d_a = R_a-r_t = 11526,9 km$
d) infine per calcolare l'accelerazione di gravità nel perigeo uso la seguente formula:
$a_(g) = (G*M_t)/r^2 = 6,15*10^10 m/s^2$ Qui mi sembra strano il risultato secondo voi è giusto? Mi sembra troppo.
$R_p = d_p + r_t = 6470 km$
$E_(m e c) = 1/2 * m * (v_p)^2 + (-G*M_t*m)/R_p = 2.64*10^10 J$
b) io posso ricavare il semiasse maggiore $a$ da questa formula $a = - (G*M*m)/(2*E_(m e c)) = 9049977 metri = 9049,977 km$
quindi essendo $R_a + R_p = 2a$ ricavo $R_a = 2a - R_p = 11629,9 km$. Ora posso calcolare $v_a$, velocità apogeo. Per la conservazione dell'energia
meccanica ho che:
$R_a$ è la distanza dall'apogeo al centro della terra$
$R_a*v_a = R_p*v_p$ risolto in base a $v_a$ diventa $v_a = R_p/R_a *v_p = 5 (Km)/s$ giustamente con una velocitò minore del perigeo
c) per calcolare la distanza dalla superficie dall'apogeo basta sottrarre ad $R_a$ il raggio della Terra $r_t$
$d_a = R_a-r_t = 11526,9 km$
d) infine per calcolare l'accelerazione di gravità nel perigeo uso la seguente formula:
$a_(g) = (G*M_t)/r^2 = 6,15*10^10 m/s^2$ Qui mi sembra strano il risultato secondo voi è giusto? Mi sembra troppo.
Riguardo al punto sull'accelerazione è probabile che hai sbagliato il calcolo. Non li ho fatti accuratamente ma per ordini di grandezza:
al numeratore hai $10^-11 * 10^24$ cioè $10^13$. Al denominatore. esprimendo r in metri, hai un $(10^6)^2$ cioè $10^12$.
Facendo il rapporto dovrebbe uscire qualcosa dell'ordine di $10^1$.
Del resto è sensato perchè la quantita da te calcolata, se fai tendere r al raggio R della Terra diventa proprio il valore di g che è 9,8. Va da sè che se r aumenta il rapporto non può che diminuire, cioè l'accelerazione di gravità diminuisce con la distanza
Ciao
al numeratore hai $10^-11 * 10^24$ cioè $10^13$. Al denominatore. esprimendo r in metri, hai un $(10^6)^2$ cioè $10^12$.
Facendo il rapporto dovrebbe uscire qualcosa dell'ordine di $10^1$.
Del resto è sensato perchè la quantita da te calcolata, se fai tendere r al raggio R della Terra diventa proprio il valore di g che è 9,8. Va da sè che se r aumenta il rapporto non può che diminuire, cioè l'accelerazione di gravità diminuisce con la distanza
Ciao
E' vero hai ragione infatti non avevo trasformato i km in metri rifacendo i calcoli mi risulta $a_(g) = 9.5m/s$ conme avevi detto tu tende a $g = 9.8 m/s$.
Gli altri punti ti sembrano corretti. Ho paura di aver sbagliato il primo e di aver calcolato l'energia meccanica di un'orbita circolare invece che ellittica.
Gli altri punti ti sembrano corretti. Ho paura di aver sbagliato il primo e di aver calcolato l'energia meccanica di un'orbita circolare invece che ellittica.
"brothers":
E' vero hai ragione infatti non avevo trasformato i km in metri rifacendo i calcoli mi risulta $a_(g) = 9.5m/s$ conme avevi detto tu tende a $g = 9.8 m/s$.
Gli altri punti ti sembrano corretti. Ho paura di aver sbagliato il primo e di aver calcolato l'energia meccanica di un'orbita circolare invece che ellittica.
Mi sembra corretto il calcolo dell'energia. Del resto, in un campo di forze conservative, l'energia potenziale dipende solo dalla distanza, non dalla forma dell'orbita. Se l'orbita è circolare la componente cinetica e quella potenziale dell'energia sono costanti. Se l'orbita è ellittica le due energie cambiano punto per punto, ma la loro somma è costante e uguale a quella calcolata in uno specifico punto come tu hai fatto.
Non ho tuttavia fatto i conti numerici
non importa per i conti, i miei sembrano cmq coerenti, mi interessa di più che il procedimento si a corretto 
e che quindi abbia capito ...grazie per l'aiuto ciao
e che quindi abbia capito ...grazie per l'aiuto ciao
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