Polinomi ortogonali in meccanica quantistica
Salve a tutti,
chiedo scusa per l'eventuale esistenza di un thread simile ma nelle ricerca non mi è parso di trovare nulla di utile.
Attualmente nel corso di Meccanica Quantistica I stiamo affrontanto lo studio dei problemi agli autovalori per gli operatori notevoli di sistemi fisici canonici, in particolare abbiamo da poco affrontato lo studio dell'oscillatore armonico quantistico e dell'atomo di idrogeno. Nelle soluzioni delle equazioni associate abbiamo visto per la prima volta questi polinomi ortogonali di cui non conosciamo praticamente nulla (Studio ingegneria fisica al PoliTo, magari ad un Cdl in fisica questo argomento è affrontato come si deve), pertanto vi chiedo qualche testo in cui oltre alla semplice introduzione matematica c'è un approfondimento del loro interfacciarsi con le PDE e dell'uso che se ne fa in meccanica quantistica.
Grazie a tutti
chiedo scusa per l'eventuale esistenza di un thread simile ma nelle ricerca non mi è parso di trovare nulla di utile.
Attualmente nel corso di Meccanica Quantistica I stiamo affrontanto lo studio dei problemi agli autovalori per gli operatori notevoli di sistemi fisici canonici, in particolare abbiamo da poco affrontato lo studio dell'oscillatore armonico quantistico e dell'atomo di idrogeno. Nelle soluzioni delle equazioni associate abbiamo visto per la prima volta questi polinomi ortogonali di cui non conosciamo praticamente nulla (Studio ingegneria fisica al PoliTo, magari ad un Cdl in fisica questo argomento è affrontato come si deve), pertanto vi chiedo qualche testo in cui oltre alla semplice introduzione matematica c'è un approfondimento del loro interfacciarsi con le PDE e dell'uso che se ne fa in meccanica quantistica.
Grazie a tutti
Risposte
Un qualunque testo di algebra lineare è sufficiente. Matematicamente devi avere chiaro solo una cosa: il concetto di ortogonalità . Cosa significa che due quantità sono ortogonali? Rispetto a cosa, sono ortogonali? L'applicazione in mq è poi semplice, ma prima devi avere chiaro questo concetto matematico.
Questa parte di teoria mi è abbastanza chiara, mi interessava sapere più che altro le implicazioni che hanno questi polinomi nella soluzione delle PDE, come detto sopra.
Scusami ma non capisco, see fosse chiaro il concetto di quantità ortogonali avresti già la risposta. Non c'è nessuna implicazione quantistica che sia differente dall'algebra lineare. Ogni operatore autoaggiunto con spettro discreto ammette una base completa di autovettori nello spazio di Hilbert. Autovettori appartenenti ad autovalori diversi sono ortogonali. Questo a prescindere che gli operatori siano quantistici, classici o altro. Da qui discende l'ortogonalità delle autofunzioni di tal tipo. Se ancora non ho risposto alla tua domanda prova ad essere più specifico, magari non ho capito io il tuo dubbio.
Non vorrei essere seccante, ma la mia domanda non riguardava il concetto di ortogonalità tra due polinomi (chiedo scusa per la poca chiarezza se ho fatto intendere questo), semplicemente volevo sentire qualche opinione su qualche testo che introducesse questi polinomi in modo rigoroso, un pò per soddisfare la curiosità sulla provenienza dei polinomi di Hermite, Laguerre, Legendre etc etc e un pò per capire il perchè questi siano soluzione di certe equazioni differenziali (cosa della quale non ci è stata data alcuna dimostrazione, e mi puzza il fatto che siano semplicemente quantità costruite ad hoc per risolvere quei particolari tipi di equazioni alle derivate parziali senza altre applicazioni).
Grazie per la pazienza
Grazie per la pazienza
Ah e chiamali per nome, si fa prima. Sono "funzioni" che vivono a sé stanti non sono costruiti ad hoc anzi è il contrario sono soluzioni di certi problemi operatoriali puramente matematici anche con nessuna attinenza fisica. Se vuoi un'infarinatura generale puoi guardare sul testo del Cicogna, metodi matematici per la fisica, si trova anche in rete. Ma sicuramente se vuoi approfondire ti consiglio qualcosa di prettamente matematico. Più rigoroso anche se più astratto. Tieni conto che necessitano di una più che solida base matematica per essere compresi, al di là della semplice analisi di variabile reale, per non limitarsi solo a "guardarli un po'".
Sono passato sotto corsi di analisi complessa, funzionale e topologia, quindi magari qualcosa riesco a cavarne fuori. Grazie mille per l'info, inizierò da quel testo e magari mi muoverò su qualcosa di più teorico dopo!
https://it.wikipedia.org/wiki/Teoria_di_Sturm-Liouville
Saltan fuori come soluzioni al problema di SL. Se leggi l'articolo di wikipedia vedrai che le soluzioni al problema dipende dal dominio (ovviamente) e dalla funzione "peso" che wikipedia indica con $r(x)$. Non mi ricordo bene a cosa corrisponde cosa ma se con funzione peso prendi $e^{-x}$, $e^{-x^2}$ e altre che non ricordo saltano fuori (come soluzioni) i polinomi di Legendre, Laguerre, Hermite, Bessel ecc...
Matematicamente la funzione peso ti definisce una misura $d\mu = r(x)d(x)$ che ti rende ortogonali i polinomi. Ovvero ti fa valere
$\int_{\Omega} f(x) g(x) dr(x) = 0 \text { if } f != g$
Questo è tutto quello che ricordo. Consulta testi ovviamente tanto ste cose si trovano in qualsiasi libro di metodi di analisi per la fisica/ingegneria.
Spero di esserti stato utile
PS: ovviamente puoi definire i polinomi in modo autonomo dai problemi di ST e "constatare" che coincidono con le soluzioni del problema di ST. E' l'opposto di come ho fatto io: definirli come le soluzioni del problema di ST e "constate" che hanno le proprietà di ortogonalità.
Saltan fuori come soluzioni al problema di SL. Se leggi l'articolo di wikipedia vedrai che le soluzioni al problema dipende dal dominio (ovviamente) e dalla funzione "peso" che wikipedia indica con $r(x)$. Non mi ricordo bene a cosa corrisponde cosa ma se con funzione peso prendi $e^{-x}$, $e^{-x^2}$ e altre che non ricordo saltano fuori (come soluzioni) i polinomi di Legendre, Laguerre, Hermite, Bessel ecc...
Matematicamente la funzione peso ti definisce una misura $d\mu = r(x)d(x)$ che ti rende ortogonali i polinomi. Ovvero ti fa valere
$\int_{\Omega} f(x) g(x) dr(x) = 0 \text { if } f != g$
Questo è tutto quello che ricordo. Consulta testi ovviamente tanto ste cose si trovano in qualsiasi libro di metodi di analisi per la fisica/ingegneria.
Spero di esserti stato utile
PS: ovviamente puoi definire i polinomi in modo autonomo dai problemi di ST e "constatare" che coincidono con le soluzioni del problema di ST. E' l'opposto di come ho fatto io: definirli come le soluzioni del problema di ST e "constate" che hanno le proprietà di ortogonalità.
Ecco era proprio questo il collegamento che chiedevo! Fortunatamente il prof ha detto giusto 2 parole a riguardo l'altro giorno a lezione, ma adesso sicuramente ho più roba da leggere
Grazie mille!
Grazie mille!
Ciao dRic visto che ne hai parlato, il mio professore ha chiesto di dimostrare come l'equazione di Schroedinger sia riconducibile ad un problema di Sturm Liouville. Ne sei in grado? 
Visto che me l'hai chiesto dall'altra parte, ti rispondo io. Il punto è in realtà semplice e basterebbe leggere quello che ho già scritto sull'ortogonalità in generale. Il problema di SL altro non è che un problema particolare agli autovalori, quindi un problema del tipo
$Av=\lambdav$ che però viene in genere espresso come $-1/(R(x)) (d/(dx)(P(x)d/(dx))-K(x))F(x)=\lambda F(x)$ dove le funzioni $R,K,P$ sono positive (la R e P strettamente) e posseggono il minimo di proprietà di continuità necessarie a scrivere questa rappresentazione (quindi funzioni continue con derivata prima continua almeno sull'intervallo che interessa). il prodotto scalare (che è ciò che nel primo commento indicavo come "ortogonale rispetto a cosa") è definito come $(F,G)_R=int F^(\star) G* R dx$ utile a definire un certo spazio di funzioni.
Detto questo ora basta osservare che l'equazione d'onda è $ih\partial/(partialt)\phi(x,t)=H\phi(x,t)$ (è sempre h tagliato) dove l'hamiltoniana è $H=-1/2 \partial^2/(partialx^2)+U(x)$
Ora questa è una equazione alle derivate parziali, ma matematicamente abbastanza semplice. Uno dei metodi più standard per (provare a) risolverla è cercare una soluzione fattorizzata nelle variabili, cioè cerco una soluzione del tipo
$\phi(x,t)=T(t)X(x)$ . La sostituisci, fai le derivate e ti accorgi che puoi separare a destra e a sinistra dell'uguaglianza i due fattori con relative derivate e l'unico modo in cui due funzioni, dipendenti da variabili diverse, possono essere uguali è che siano entrambe pari alla stessa costante che, con grande fantasia, chiamiamo $\lambda$.
Se non ho sbagliato troverai il sistema
$i \dotT/T=\lambda$
$-1/2 X''+UX=\lambda X$
Beh ora confronta con il problema di SL e ti accorgi che la seconda equazione è proprio lui avendo posto $K=2U;R=2;P=1$. Non ti far ingannare dalla costante, la ridefinisci e via.
Il messaggio che ci tengo di più a trasmettere è non pensare sempre che ogni concetto di matematica viva di vita propria, è tutto collegato e spesso ci si riferisce a regole di base che sono poche ma vanno conosciute bene. Questo è un normale (seppur con l'interpretazione funzionale del caso) problema agli autovalori e non nasconde molto più di quello che si impara nei corsi di algebra. Poi se si vogliono approfondire gli aspetti delle soluzioni (Hermite,Laguerre etc) ci si può sbizzarrire, ma il collegamento principe qui è tra trasformazione, autovalori e autofunzioni.
$Av=\lambdav$ che però viene in genere espresso come $-1/(R(x)) (d/(dx)(P(x)d/(dx))-K(x))F(x)=\lambda F(x)$ dove le funzioni $R,K,P$ sono positive (la R e P strettamente) e posseggono il minimo di proprietà di continuità necessarie a scrivere questa rappresentazione (quindi funzioni continue con derivata prima continua almeno sull'intervallo che interessa). il prodotto scalare (che è ciò che nel primo commento indicavo come "ortogonale rispetto a cosa") è definito come $(F,G)_R=int F^(\star) G* R dx$ utile a definire un certo spazio di funzioni.
Detto questo ora basta osservare che l'equazione d'onda è $ih\partial/(partialt)\phi(x,t)=H\phi(x,t)$ (è sempre h tagliato) dove l'hamiltoniana è $H=-1/2 \partial^2/(partialx^2)+U(x)$
Ora questa è una equazione alle derivate parziali, ma matematicamente abbastanza semplice. Uno dei metodi più standard per (provare a) risolverla è cercare una soluzione fattorizzata nelle variabili, cioè cerco una soluzione del tipo
$\phi(x,t)=T(t)X(x)$ . La sostituisci, fai le derivate e ti accorgi che puoi separare a destra e a sinistra dell'uguaglianza i due fattori con relative derivate e l'unico modo in cui due funzioni, dipendenti da variabili diverse, possono essere uguali è che siano entrambe pari alla stessa costante che, con grande fantasia, chiamiamo $\lambda$.
Se non ho sbagliato troverai il sistema
$i \dotT/T=\lambda$
$-1/2 X''+UX=\lambda X$
Beh ora confronta con il problema di SL e ti accorgi che la seconda equazione è proprio lui avendo posto $K=2U;R=2;P=1$. Non ti far ingannare dalla costante, la ridefinisci e via.
Il messaggio che ci tengo di più a trasmettere è non pensare sempre che ogni concetto di matematica viva di vita propria, è tutto collegato e spesso ci si riferisce a regole di base che sono poche ma vanno conosciute bene. Questo è un normale (seppur con l'interpretazione funzionale del caso) problema agli autovalori e non nasconde molto più di quello che si impara nei corsi di algebra. Poi se si vogliono approfondire gli aspetti delle soluzioni (Hermite,Laguerre etc) ci si può sbizzarrire, ma il collegamento principe qui è tra trasformazione, autovalori e autofunzioni.
Grazie di tutto veramente! Anche per l'altra risposta. Hai completamente ragione, conoscere bene le basi e gli argomenti vale più di mille letture a caso di wikipedia e cercherò di farlo. 
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