Polarizzazione e potenziale
Ciao ragazzi, innanzitutto rinnovo i miei ringraziamenti per esserci, l'anno passato mi avete aiutato molto. Passo al punto. Sono ridotto quasi alla disperazione per il fatto che devo riuscire a dimostare $\vec nabla*vec P=-rho_(fisso)$ Tutto parte da $\V = 1/(4 pi epsilon_o) int rho (dV) / r_i $ Cioè il potenziale in un punto somma dei contributi di singole cariche puntiformi $\rho*dV$ .Per infine arrivare, nel caso del sistema neutro, attraverso sviluppi in serie e approssimazioni, troppo lunghi da riportare, ad $\V = (int_S vec (P)*vec(dS)/r + int_V -vec (nabla) * vec (P) (dV)/r )/(4 pi epsilon_o)$ dove i due integrali sono uno di superficie, uno di volume, $\vec P$ è la densità di polarizzazione ed $\r$ stavolta non è più $\r_i$, ma è la distanza del punto in cui calcoliamo il potenziale dall'origine!! E sta proprio qui il problema, perché a questo punto il mio libro, il Purcell, tratta la questione diversamente e in maniera a mio parere assolutamente discutibile, mentre materiale online e anche Wikipedia fanno il seguente passaggio: trasformano magicamente quell $\r$ valore fisso e costante, in $\r_i$, che invece è la distanza della carica puntiforme dal punto in cui calcoliamo il potenziale, arrivando a concludere che, dato che $\V = = (int_S sigma (dS)/r_i + int_V rho_(fisso) (dV)/r_i )/(4 pi epsilon_o)$ allora indubitabilmente, per confronto tra le due espressioni di $\V$ avremo -$\vec nabla*vec P/r_i=rho_(fisso)/r_i$. Quindi togliendo $\r_i$ da entrambi i membri. Ma quello che penso è che non si possa neanche arrivare a questo passaggio, perché ripeto, sono abbastanza sicuro che quell'$\r$ che compare nell'integrale in cui è presente $\vec P$ rappresenti la distanza fissa del punto in cui calcoliamo il potenziale dall'origine, e non la distanza punto-carica. Se riuscirete a risolvermi questo dubbio, sbloccherete a catena tutti gli argomenti sulla polarizzazione; in poche parole, vi sarò infinitamente grato!
Risposte
Wikipedia sarebbe questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Polarizzaz ... _elettrica ?
Secondo me a un certo punto fanno confusione con quell' $\bb r$, ma forse mi sbaglio io .
Comunque quel raggio è sempre dal volumetto al punto di calcolo del potenziale. Cosa c'entra l'origine ? Del dove sia l'origine non importa niente.... no ?
Secondo me a un certo punto fanno confusione con quell' $\bb r$, ma forse mi sbaglio io .
Comunque quel raggio è sempre dal volumetto al punto di calcolo del potenziale. Cosa c'entra l'origine ? Del dove sia l'origine non importa niente.... no ?
Sì è quello l'articolo. Nella dimostrazione si cerca proprio di eliminare $\r_i$! Si parte dal fatto che $\V=int_V rho (dV)/(4 pi epsilon_o r_i)$ e si constata che $\r_i^2=r^2+d_i^2-2rd_icostheta_i$. Ma con un semplice schemino, che mi risulta difficoltoso eseguire con l'ipod, vedi subito che appunto quell'$\r$ senza la i rappresenta la distanza del punto in cui calcoliamo $\V$, dall'origine. Distanza quindi fissa, il cui valore rimane lo stesso, indipendentemente dalla distanza $\d_i$ origine-carica, e dall'angolo $\costheta_i$ tra il vettore $\vec d_i$ e il vettore, costante, $\vec r$. Spero di essere stato chiaro nell'esposizione della situazione. 
A questo punto si riscrive $\r_i$ che compare a denominatore nell'espressione del potenziale come $\(r^2+d_i^2-2rd_icostheta_i)^(-1/2)$ e si svolge uno sviluppo in serie. E a questo punto compaiono i termini di monopolo, bipolo, e quant'altro. Tuttavia appunto qua $\r$ rappresenta il valore della distanza origine-punto, che è costante.
A questo punto si riscrive $\r_i$ che compare a denominatore nell'espressione del potenziale come $\(r^2+d_i^2-2rd_icostheta_i)^(-1/2)$ e si svolge uno sviluppo in serie. E a questo punto compaiono i termini di monopolo, bipolo, e quant'altro. Tuttavia appunto qua $\r$ rappresenta il valore della distanza origine-punto, che è costante.
Quello che hai scritto è corretto, ma e' anche corretto Wikipedia.
Tu i vettori polarizzazione $P$ li hai gia' pronti, non li devi calcolare.
Il termine di monopolo è nullo perché sono tutti dipoli, e cosi' anche per gli altri termini.
Ci sono solo dei dipoli, quindi puoi anche fare il tuo calcolo e le tue approssimazioni, ma sai gia' quello che trovi alla fine.
Tu i vettori polarizzazione $P$ li hai gia' pronti, non li devi calcolare.
Il termine di monopolo è nullo perché sono tutti dipoli, e cosi' anche per gli altri termini.
Ci sono solo dei dipoli, quindi puoi anche fare il tuo calcolo e le tue approssimazioni, ma sai gia' quello che trovi alla fine.
Ma il punto è come faccio a far coincidere l'affermazione $\V= (int_S vecP*vec(dS)/r+int_V -vecnabla*vecP(dV)/r)/(4piepsilon_o)$ con quella $\V=(int_S sigma(dS)/r_i +int_V rho(dV)/r_i)/(4piepsilon_o)$ per addirittura arrivare a dire $\vecnabla*vecP=-rho_(fisso)$?
Il problema è questo dunque dimostrare o comunque "giustificare":
$ \vecnabla*vecP=-rho_(fisso) $
Allora dovrebbe essere chiaro che un materiale uniformemente polarizzato, ad esempio di forma cubica, e con il vettore $\vec P$ perpendicolare a due facce, equivale ad una distribuzione di carica uniforme sulle due facce e una carica nulla all'interno del cubetto. In altre parole è equivalente ad un condensatore.
Fin qui dovrebbe essere chiaro.
Ora prendi due cubi di materiale con due polarizzazioni diverse: $\vec P_1$ e $\vec P_2$, e li unisci mettendo a contatto due facce cariche.
E' evidente che la carica nella faccia unita diventa $\sigma = \vec P_1 - \vec P_2$ ovvero $\sigma = - d/(dx) P$.
Nello spazio diventa proprio. $ \vecnabla*vecP=-rho_(fisso) $.
$ \vecnabla*vecP=-rho_(fisso) $
Allora dovrebbe essere chiaro che un materiale uniformemente polarizzato, ad esempio di forma cubica, e con il vettore $\vec P$ perpendicolare a due facce, equivale ad una distribuzione di carica uniforme sulle due facce e una carica nulla all'interno del cubetto. In altre parole è equivalente ad un condensatore.
Fin qui dovrebbe essere chiaro.
Ora prendi due cubi di materiale con due polarizzazioni diverse: $\vec P_1$ e $\vec P_2$, e li unisci mettendo a contatto due facce cariche.
E' evidente che la carica nella faccia unita diventa $\sigma = \vec P_1 - \vec P_2$ ovvero $\sigma = - d/(dx) P$.
Nello spazio diventa proprio. $ \vecnabla*vecP=-rho_(fisso) $.
Guarda per crederci, ci credo, però proprio mi ha colpito che tu mi avessi detto che sia io che wikipedia abbiamo ragione. Fra l'altro ho tentato in qualche occasione di utilizzare la relazione integrale che collega il potenziale alla polarizzazione, quella che ho presentato io, senza arrivare al risultato corretto. Quindi mi chiedo c'è qualcosa che non va proprio in questa formula? Eppure l'ho calcolata e ricalcolata quasi una decina di volte ormai, arrivo sempre allo stesso risultato.
Qualcuno perfavore può rispondermi?
"Rob995":
... dove i due integrali sono uno di superficie, uno di volume, $\vec P$ è la densità di polarizzazione ed $\r$ stavolta non è più $\r_i$, ma è la distanza del punto in cui calcoliamo il potenziale dall'origine!!
Assolutamente no, come puoi pensare che lo sia? Il contributo al potenziale in un punto P, della carica infinitesima presente in un punto Q, sarà sempre direttamente proporzionale a detta carica infinitesima e inversamente proporzionale alla distanza fra P e Q; il potenziale in un punto non può dipendere dalla scelta del sistema di riferimento, non credi?
Infatti... Eppure i miei calcoli si sono espressi, loro dicono questo 
Li ho fatti così tante volte che oramai ho la certezza che quell'$\r$ sia la distanza origine-punto in cui calcoliamo il potenziale. Infatti $\r_i^2=r^2+d_i^2−2rd_icosθ_i$, e quell'$\r$ è fisso. È proprio a partire da questa formula che poi si fa tutto il ragionamento. Ho sempre la sensazione comunque che ci sia qualcosa che non quadri, ma non riesco a trovarla.
Li ho fatti così tante volte che oramai ho la certezza che quell'$\r$ sia la distanza origine-punto in cui calcoliamo il potenziale. Infatti $\r_i^2=r^2+d_i^2−2rd_icosθ_i$, e quell'$\r$ è fisso. È proprio a partire da questa formula che poi si fa tutto il ragionamento. Ho sempre la sensazione comunque che ci sia qualcosa che non quadri, ma non riesco a trovarla.
"Rob995":
Infatti... Eppure i miei calcoli si sono espressi, loro dicono questo
Scusa ma come puoi rispondermi "infatti" e poi affermare "ho la certezza che sia la distanza origine-punto"
Se concordi con la mia considerazione, la tua risposta dovrebbe essere: "ho la certezza di aver sbagliato i conti", no?
Proviamo a farli insieme 'sti calcoli:
a) tanto per cominciare concordi sulla seguente rappresentazione del problema relativamente alla carica infinitesima dq ?
[fcd="fig.1"][FIDOCAD]
FJC B 0.5
LI 77 36 79 34 0
LI 79 34 78 32 0
TY 74 58 4 3 0 1 0 * r
LI 50 70 76 35 0
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 74 33 75 35 0
LI 90 50 50 70 0
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 76 31 78 32 0
LI 78 32 76 34 0
LI 76 34 74 33 0
LI 74 33 76 31 0
LI 76 34 77 36 0
TY 96 24 4 3 0 0 0 * d³r'
TY 60 43 4 3 0 1 0 * r'
LI 77 36 75 35 0
TY 49 71 4 3 0 0 0 * O
TY 85 24 4 3 0 0 0 * ρ( )
TY 73 24 4 3 0 0 0 * dq=
TY 90 24 4 3 0 1 0 * r'
TY 94 47 4 3 0 0 0 * dV( )
TY 102 47 4 3 0 1 0 * r
LI 78 35 90 50 2
FCJ 2 0 3 1 0 0
TY 84 36 4 3 0 1 2 * r-r'
LI 50 35 50 70 14
FCJ 1 0 3 1 0 0
LI 50 70 85 70 14
FCJ 2 0 3 1 0 0
LI 50 70 30 90 14
FCJ 2 0 3 1 0 0[/fcd]
Lasciamo per il momento perdere il termine relativo alla polarizzazione.
Incoerenze, ben più gravi, sono proprie dell'uomo, non me ne farei un cruccio. Ti avrei risposto prima, ma mi sono accorto della tua risposta solo oggi. Quello che intendo dire è che penso fermamente che ci sia qualcosa che non vada nei miei calcoli, eppure, gira e rigira arrivo sempre allo stesso risultato. Condivido lo schemino, e tento di continuarlo. $\V=rho (dV)/(4piepsilon_o|r-r'|)$ dove $\|r-r'|$ rappresenta il modulo della distanza punto-carica. Ora $\(|r-r'|)^2=r^2+r'^2-2rr'costheta_i$ dove $\theta_i$ è l'angolo compreso tra i due vettori $\r$ ed $\r'$. Che ne pensi per ora, io non riesco a notare nulla di male.
Ti avrei risposto prima, ma mi sono accorto della tua risposta solo oggi. Quello che intendo dire è che penso fermamente che ci sia qualcosa che non vada nei miei calcoli, eppure, gira e rigira arrivo sempre allo stesso risultato. Condivido lo schemino, e tento di continuarlo. $\V=rho (dV)/(4piepsilon_o|r-r'|)$ dove $\|r-r'|$ rappresenta il modulo della distanza punto-carica. Ora $\(|r-r'|)^2=r^2+r'^2-2rr'costheta_i$ dove $\theta_i$ è l'angolo compreso tra i due vettori $\r$ ed $\r'$. Che ne pensi per ora, io non riesco a notare nulla di male.
"Rob995":
Incoerenze, ben più gravi, sono proprie dell'uomo, non me ne farei un cruccio.
Hai ragione, perché perderci del tempo sopra queste sciocchezze ?
Ahahahah Non sto elogiando l'incoerenza sia chiaro, però ritengo che per certi aspetti costruisca l'uomo. Mi riferisco al fatto che nonostante possa non aver paura di respirare, l'uomo ha tante paure, nonostante non possa vivere nel caos, spesso lo crea. Il punto è, che nonostante vorrei essere da qualche altra parte a fare qualche altra cosa, immerso nella mia "incoerenza" ci tengo a capire la questione qui presentata, e a chiunque mi aiuterà a farlo non potrò essere che grato; poi se la capissi entro la prova di Fisica II, temporalmente dietro l'angolo, sarebbe.. Bello non basta, direi Sublime.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo