Polarizzazione di un dielettrico e deviazione del campo E

[Pdirac]

Il mio dubbio verte, come da titolo, sulle cariche di polarizzazione indotte in un dielettrico immerso in un campo elettrico: quando il campo elettrico attraversa una superficie di dielettrico che non gli è ortogonale, si ha deviazione delle linee di campo secondo $tan(\theta_1)/tan(\theta_2) = \epsilon_(r1)/\epsilon_(r2)$. Contemporaneamente so che per un dielettrico omogeneo lineare la densità di carica di polarizzazione superficiale è pari al prodotto scalare tra $P$ e il versore normale alla superfice. D'altra parte essendo $vecP$ parallelo ad $vecE$, quando calcolo $\sigma = vecP \cdot vecu_n$ devo considerare l'angolo compreso tra il vettore normale e il campo deviato all'interno del dielettrico?

Più in particolare, considerando una sfera di dielettrico immersa in un campo elettrico uniforme, che si assume non sia influenzato dalla presenza della sfera stessa. I testi eseguono a questo punto il calcolo delle cariche di polarizzazione superficiali considerando semplicemente $vecP$ parallelo al campo elettrico $vecE$ esterno, ottenendo così facilmente $\sigma_p = Pcos\theta$ da cui si deduce il campo elettrico uniforme all'interno della sfera (analogamente al caso con la sfera conduttrice). Io non riesco a capire bene questo metodo: nell'attraversare la superficie della sfera non si dovrebbe avere deviazione delle linee di campo secondo la legge di cui sopra, dovendo quindi assumere $vecP$ all'interno NON parallelo ad $vecE$ esterno?

[naffin]

Il campo totale all'esterno è dato dalla somma del campo esterno $vecE_0$ (quello in cui viene immersa la sfera) e del campo generato dalla distribuzione delle cariche di polarizzazione (campo di dipolo). Una verifica mostra che le linee di campo elettrico vengono correttamente deviate secondo la formula che hai scritto.

[Pdirac]

Ok, non avevo considerato che all'esterno il campo non rimaneva costante ma si modificava in conseguenza alla polarizzazione della sfera, così i conti tornano. Solo che continuo a non capire come si potrebbe raggiungere la conclusione in questo tipo di problemi, senza conoscere già la risposta: in questo caso come potrei arrivare alla conclusione con un ragionamento assumendo di non conoscere già la risposta? La modificazione del campo elettrico esterno dipende dalle cariche di polarizzazione, che a loro volta dipendono dal campo elettrico che si ha considerando anche le cariche di polarizzazione stesse. Anche ricorrendo all'induzione elettrica $vecD$ posso ricavare il rapporto tra le tangenti degli angoli formati con la normale dal campo D interno ed esterno, ma senza conoscerne almeno una come posso usare questa informazione?

[Pdirac]

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[Pdirac]

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[Pdirac]

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[naffin]

"Pdirac":
Solo che continuo a non capire come si potrebbe raggiungere la conclusione in questo tipo di problemi, senza conoscere già la risposta: in questo caso come potrei arrivare alla conclusione con un ragionamento assumendo di non conoscere già la risposta?

Non so se una soluzione esiste sempre o , se esiste, se è unica.
Quel che si fa (a parte il caso banale di costante dielettrica costante) è una supposizione (un guess), cioè prendi un campo elettrico e verifichi che siano soddisfatte le due equazioni dell'elettrostatica.
Se ci sono delle simmetrie sferiche o cilindriche un guess ragionevole è un campo a simmetria sferica o cilindrica.

In questo caso direi che, poichè un campo uniforme si può supporre generato da un condensatore piano infinito, cercare un guess invariante per rotazioni attorno all'asse passante per il centro della sfera e perpendicolare alle armature sia una buona idea.
Poichè un conduttore può essere pensato come un dielettrico con costante dielettrica infinita possiamo sperare che il campo interno alla sfera prodotto dalle cariche su di essa sia, come nel caso della sfera conduttrice, uniforme ed opposto al campo esterno. Questo comporta polarizzazione uniforme costante sulla sfera, che poi si verifica condurre ad una soluzione valida.