Piccolo problema col pendolo smorzato
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Modelli della fisica Matematica (meccanica razionale o giù di lì) e mi sono accorto di avere qualche piccolo problemino con qualcosa che assomiglia ad un pendolo smorzato, anche se le mie lacune riguardano le equazioni differenziali.
Mi spiego meglio:
Le equazioni del moto sono:
$ 3 ddot{x} + frac{sqrt{2}}{2} ddot{s} = 0 $
$ 3 ddot{s} + sqrt{2} ddot{x} - sqrt{2} g + 2 frac{g}{l} s = 0$
Ricavando $ddot{x}$ dalla prima e sostituendo nella seconda ottengo $ddot{s} + frac{3g}{4l} s - frac{3 sqrt{2}}{8} g = 0$
Questa equazione differenziale di secondo grado lineare, non omogenea, a coefficienti costanti mi fa capire che sono di fronte ad un oggetto che si muove di moto armonico semplice.
Il vero problema è, come faccio a integrare questa equazione?
Le condizioni iniziali sono semplici, $dot{x}(0) = ddot {x}(0) = dot{s}(0) = ddot {s}(0) = 0$ ... però non riesco a raccapezzarmici molto. Più che altro mi blocco subito, perché provando a risolvere l'equazione omogenea associata in questo modo
($omega = sqrt{ frac{3g}{4l}}$):
$s(t) = A cos omega t + B sin omega t$, applicando le condizioni iniziali mi viene $A = B = 0$.. e non mi quadra molto.
Comunque le soluzioni dovrebbero essere:
$s(t) = frac{sqrt{2} l} {2} (1 - cos sqrt { frac { 3g }{4l}})$
$x(t) = frac{l} {6} (cos sqrt { frac { 3g }{4l}-1})$
Se qualcuno riuscisse a darmi un hint per risolvere questa equazione differenziale, sarebbe estremamente gradito.
sto preparando l'esame di Modelli della fisica Matematica (meccanica razionale o giù di lì) e mi sono accorto di avere qualche piccolo problemino con qualcosa che assomiglia ad un pendolo smorzato, anche se le mie lacune riguardano le equazioni differenziali.
Mi spiego meglio:
Le equazioni del moto sono:
$ 3 ddot{x} + frac{sqrt{2}}{2} ddot{s} = 0 $
$ 3 ddot{s} + sqrt{2} ddot{x} - sqrt{2} g + 2 frac{g}{l} s = 0$
Ricavando $ddot{x}$ dalla prima e sostituendo nella seconda ottengo $ddot{s} + frac{3g}{4l} s - frac{3 sqrt{2}}{8} g = 0$
Questa equazione differenziale di secondo grado lineare, non omogenea, a coefficienti costanti mi fa capire che sono di fronte ad un oggetto che si muove di moto armonico semplice.
Il vero problema è, come faccio a integrare questa equazione?
Le condizioni iniziali sono semplici, $dot{x}(0) = ddot {x}(0) = dot{s}(0) = ddot {s}(0) = 0$ ... però non riesco a raccapezzarmici molto. Più che altro mi blocco subito, perché provando a risolvere l'equazione omogenea associata in questo modo
($omega = sqrt{ frac{3g}{4l}}$):
$s(t) = A cos omega t + B sin omega t$, applicando le condizioni iniziali mi viene $A = B = 0$.. e non mi quadra molto.
Comunque le soluzioni dovrebbero essere:
$s(t) = frac{sqrt{2} l} {2} (1 - cos sqrt { frac { 3g }{4l}})$
$x(t) = frac{l} {6} (cos sqrt { frac { 3g }{4l}-1})$
Se qualcuno riuscisse a darmi un hint per risolvere questa equazione differenziale, sarebbe estremamente gradito.
Risposte
Sicuro di avere quelle condizioni iniziali? Io mi sarei aspettato di avere [tex]$s(0)$[/tex] e [tex]$\dot s(0)$[/tex].
Comunque, [tex]$s(t) = A cos(\omega t) + Bsin(\omega t) + \psi$[/tex], dove [tex]$\omega = \sqrt{\frac{3g}{4l}}$[/tex] e la soluzione particolare [tex]$\psi = l\frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex].
Se si ha [tex]$s(0) = \dot s(0) = 0$[/tex] allora
[tex]$\begin{cases}
s(0) = A+\psi = 0\quad\Rightarrow\quad A= -\psi\\
\dot s(0) = \omega B = 0 \quad\Rightarrow\quad B= 0
\end{cases}$[/tex]
Quindi la soluzione finale è [tex]$s(t) = \psi (1-cos(\omega t)) = l\frac{\sqrt{2}}{2} (1 - cos(\sqrt{\frac{3g}{4l}} t))$[/tex]
Da [tex]$\ddot x = -\frac{\sqrt{2}}{6} \ddot{s}$[/tex] con le condizioni [tex]$x(0) = \dot x(0) = 0$[/tex] si ricava [tex]$x(t) = -\frac{\sqrt{2}}{6} s(t)$[/tex] quindi [tex]$x(t) = \frac{l}{6} (cos(\sqrt{\frac{3g}{4l}} t) - 1)$[/tex]
Comunque, [tex]$s(t) = A cos(\omega t) + Bsin(\omega t) + \psi$[/tex], dove [tex]$\omega = \sqrt{\frac{3g}{4l}}$[/tex] e la soluzione particolare [tex]$\psi = l\frac{\sqrt{2}}{2}$[/tex].
Se si ha [tex]$s(0) = \dot s(0) = 0$[/tex] allora
[tex]$\begin{cases}
s(0) = A+\psi = 0\quad\Rightarrow\quad A= -\psi\\
\dot s(0) = \omega B = 0 \quad\Rightarrow\quad B= 0
\end{cases}$[/tex]
Quindi la soluzione finale è [tex]$s(t) = \psi (1-cos(\omega t)) = l\frac{\sqrt{2}}{2} (1 - cos(\sqrt{\frac{3g}{4l}} t))$[/tex]
Da [tex]$\ddot x = -\frac{\sqrt{2}}{6} \ddot{s}$[/tex] con le condizioni [tex]$x(0) = \dot x(0) = 0$[/tex] si ricava [tex]$x(t) = -\frac{\sqrt{2}}{6} s(t)$[/tex] quindi [tex]$x(t) = \frac{l}{6} (cos(\sqrt{\frac{3g}{4l}} t) - 1)$[/tex]
scusa, ho toppato le condizioni iniziali ovviamente.. 
sono come quelle che tu hai detto.
Come hai trovato la soluzione particolare?
sono come quelle che tu hai detto.Come hai trovato la soluzione particolare?
L'equazione differenziale che hai è del tipo [tex]$\ddot x + C x = f(t)$[/tex] con [tex]$f(t) = K$[/tex] costante, dunque la soluzione particolare sarà ancora una costante [tex]$\psi(t) = H$[/tex] e per determinarne il valore sostituisco [tex]$\psi(t)$[/tex] nell'equazione differenziale ed impongo che sia soluzione.
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