Piccolo dubbio sui campi di velocità
Studiando i rudimenti della fluidodinamica, mi è sorto questo minuscolo dubbio.
Nella descrizione euleriana del moto di un fluido, si definisce un campo $v(x,y,z,t)$ che dà la velocità di una particella di fluido che, all'istante $t$, si trova nel punto $(x,y,z)$.
Ora, in quei punti dello spazio in cui, in un determinato istante, non si trova alcuna particella di fluido, il campo è uguale a $(0,0,0)$ oppure si considera indefinito? Perché nel primo caso avrebbe senso parlare di un campo $v:\mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$ definito come sopra , e di conseguenza si possono eseguire operazioni come $(delv)/(delt)$; nel secondo caso, invece, non si può parlare di un vero e proprio campo quadridimensionale, perché in ogni istante sarebbe definito su un dominio diverso (ossia l'insieme dello spazio in cui si trova il fluido, che può variare nel tempo), per cui al massimo ad ogni istante $t$ si potrebbe associare un campo tridimensionale delle velocità...ma a questo punto non avrebbe senso derivare $v$ rispetto al tempo!
Qual è la risposta corretta?
Nella descrizione euleriana del moto di un fluido, si definisce un campo $v(x,y,z,t)$ che dà la velocità di una particella di fluido che, all'istante $t$, si trova nel punto $(x,y,z)$.
Ora, in quei punti dello spazio in cui, in un determinato istante, non si trova alcuna particella di fluido, il campo è uguale a $(0,0,0)$ oppure si considera indefinito? Perché nel primo caso avrebbe senso parlare di un campo $v:\mathbb{R^4}\rightarrow \mathbb{R^3}$ definito come sopra , e di conseguenza si possono eseguire operazioni come $(delv)/(delt)$; nel secondo caso, invece, non si può parlare di un vero e proprio campo quadridimensionale, perché in ogni istante sarebbe definito su un dominio diverso (ossia l'insieme dello spazio in cui si trova il fluido, che può variare nel tempo), per cui al massimo ad ogni istante $t$ si potrebbe associare un campo tridimensionale delle velocità...ma a questo punto non avrebbe senso derivare $v$ rispetto al tempo!
Qual è la risposta corretta?
Risposte
Spero di non avere le traveggole... 
Se hai un fiume che scorre , e consideri un punto sopra la superficie , a distanza di 1m da essa , di che velocità vuoi parlare? Oppure , un punto posto fuori di un tubo in cui scorre acqua ....Se per questo punto il fluido non ci passa proprio, di quale velocità stai parlando?
Oppure pensi ad un punto che deve "ancora" essere investito dal fluido ?
No, sinceramente non ho capito. Il fatto è che vi imbottiscono troppo la testa di equazioni, e perdete il senso fisico.
Se hai un fiume che scorre , e consideri un punto sopra la superficie , a distanza di 1m da essa , di che velocità vuoi parlare? Oppure , un punto posto fuori di un tubo in cui scorre acqua ....Se per questo punto il fluido non ci passa proprio, di quale velocità stai parlando?
Oppure pensi ad un punto che deve "ancora" essere investito dal fluido ?
No, sinceramente non ho capito. Il fatto è che vi imbottiscono troppo la testa di equazioni, e perdete il senso fisico.
Non pensare tanto a $RR^4$, $RR^3$ o quant'altro...se P è un punto del fluido, all'istante t, la sua velocità è $v(P,t)$...chiaramente P=P(t) e quindi quando si deriva la velocita rispetto al tempo bisogna fare un po' di attenzione.
"Shackle":
Spero di non avere le traveggole...
Se hai un fiume che scorre , e consideri un punto sopra la superficie , a distanza di 1m da essa , di che velocità vuoi parlare? Oppure , un punto posto fuori di un tubo in cui scorre acqua ....Se per questo punto il fluido non ci passa proprio, di quale velocità stai parlando?
Oppure pensi ad un punto che deve "ancora" essere investito dal fluido ?
No, sinceramente non ho capito. Il fatto è che vi imbottiscono troppo la testa di equazioni, e perdete il senso fisico.
Bah, mi sembra che la domanda abbia senso. Non c'entra nulla il senso fisico (e nessuno mi imbottisce la testa di equazioni, sono al 90% autodidatta), dato che la domanda stessa non riguarda nulla di fisico ma semplicemente un formalismo matematico. Vabbe'.
Ad ogni modo, mi sembra che tu stia dicendo che quella giusta è la seconda opzione, il campo in un punto in cui non è presente il fluido semplicemente non è definito. Ma a questo punto non ha senso parlare di un campo $v(x,y,z,t)$ e fare cose come derivarlo rispetto al tempo etc. , a meno che tu non supponga che il volume $D$ occupato dal fluido, che è il dominio del campo, non resti uguale nel tempo.
Vulplasir, innanzitutto grazie per la risposta, ma potresti chiarire un po' meglio cosa intendi con
?
Un'idea ce l'avrei ma vorrei essere sicuro.
"Vulplasir":
..chiaramente P=P(t) e quindi quando si deriva la velocita rispetto al tempo bisogna fare un po' di attenzione.
?
Un'idea ce l'avrei ma vorrei essere sicuro.
Un attimo. Dici :
e ti pare che sia giusto ? Applichi un formalismo matematico , laddove non c'è un fatto fisico dietro ? E a che pro?
è cosí.
Segui Vulplasir , che ti dà le dritte giuste per derivare la velocità rispetto al tempo .
Non c'entra nulla il senso fisico ..... dato che la domanda stessa non riguarda nulla di fisico ma semplicemente un formalismo matematico
e ti pare che sia giusto ? Applichi un formalismo matematico , laddove non c'è un fatto fisico dietro ? E a che pro?
il campo in un punto in cui non è presente il fluido semplicemente non è definito
è cosí.
Segui Vulplasir , che ti dà le dritte giuste per derivare la velocità rispetto al tempo .
"Shackle":
e ti pare che sia giusto ? Applichi un formalismo matematico , laddove non c'è un fatto fisico dietro ? E a che pro?
[ot]Fraintendi. Per cominciare non ho mai detto che "non c'è un fatto fisico dietro". E' ovvio che ci sia. In secondo luogo, la domanda non scaturisce da una mancanza di "senso fisico" (come se a pagina 1 di una dispensa di fluidodinamica fossero illustrati chissà quali intricati fenomeni), ma dalle inconsistenze che mi sembra di vedere nel modello matematico. Okay, sarà un cavillo come pochi, ma il mio cervello per adesso si blocca sui cavilli. Pazienza. In ogni caso non voglio spostare l'argomento del post su una polemica più sterile della domanda stessa.[/ot]
"Shackle":
Segui Vulplasir , che ti dà le dritte giuste per derivare la velocità rispetto al tempo .
Okay, ma purtroppo non mi è molto chiaro cosa intenda quando dice che "devo fare attenzione quando derivo rispetto al tempo". Puoi illuminarmi?
Okay, ma purtroppo non mi è molto chiaro cosa intenda quando dice che "devo fare attenzione quando derivo rispetto al tempo"
Intendo questo:
a meno che tu non supponga che il volume D occupato dal fluido, che è il dominio del campo, non resti uguale nel tempo
Il volume D occupato dal fluido non è costante nel tempo, ma varia nel tempo, nel derivare la velocità euleriana, che è definita sul volume "in moto" bisogna tenere conto del fatto che questo volume è in moto, ossia che $P=P(t)$, quindi:
$v=v(P,t)$
$a=(dv)/(dt)=(partialv)/(partialt)+((dv)/(dP))(dP)/(dt)=(partialv)/(partialt)+(nablav)v$
Quindi in pratica il campo di velocità e accelerazione euleriani sono definiti in ogni istante in un dominio che varia nel tempo, la variazione di questo dominio nel tempo, rispetto a un dominio di riferimento $D_0$ è descritta dai "moti", ossia deformazioni parametrizzate nel tempo, ossia preso punto $x in D_0$, all'istante t esso si trova nel punto $P=tildeP(x, t) in D(t)$. L'applicazione $tildeP: D_0->D$ è detta "deformazione", la sua parametrizzazione nel tempo è detta "moto" oppure "flusso". Insomma è come se in ogni istante avessi una determinato domonio che ti permette di definire i campi euleriani...i problemi fluidodinamici sono complessi a causa di questo, ossia al fatto che conoscere esplicitamente il dominio D in ogni istante non è affatto semplice.
In ogni caso non voglio spostare l'argomento del post su una polemica più sterile della domanda stessa.
E non spostarlo, l'argomento del post! Io in genere non soglio fare polemiche , non mi piacciono . Ho risposto di botto, e a quella maniera, perché colpito dal problema (o cavillo) che ti sei posto , come se si potesse parlare di velocità senza associarla ad una particella materiale.
Ok, polemica superata, spero.
Vulplasir voleva parlarti di derivata totale, derivate locali, derivate convettive .
E , prima di lanciare il mio messaggio, vedo che lo ha fatto. Ok.
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