Piccolo dubbio capacità condensatore in presenza di dielettrico
Buonasera, avrei bisogno di un chiarimento riguardo un passaggio effettuato nel calcolo della capacità di un condensatore in presenza di dielettrico. Vi allego un'immagine che illustra la situazione.
La capacità di un condensatore per definizione è $C=Q/(DeltaV)=(sigma_(lib)*S)/(DeltaV)$ dove $sigma_(lib)$ è la densità di carica superficiale sull'armatura del condensatore e $S$ è la superficie dell'armatura del condensatore. La differenza di potenziale tra le due armature risulta:
$ DeltaV = sigma_(lib)/(epsilon_0)a + sigma_(lib)/(epsilon_0epsilon_r)b+sigma_(lib)/(epsilon_0)a=sigma_(lib)/(epsilon_0)(a+b/(epsilon_r)+a) $
Quello che non capisco è perché alla fine di tutto si pone $a=0$ ottenendo: $DeltaV=sigma_(lib)/(epsilon_0epsilon_r)b$
Ponendo $a=0$ si ottiene $C=(epsilon_0 epsilon_r S)/b$
Da quello che ho capito a lezione, nella realtà i gaps d'aria tra il dielettrico e le armature del condensatore non esistono. Inoltre i gaps d'aria diminuirebbero la capacità del condensatore in quanto otterrei:
$ C=(epsilon_0S)/(a+b/epsilon_r+a)=(epsilon_0epsilon_rS)/(aepsilon_r+b+aepsilon_r) $
Poiché i dielettrici vengono introdotti appunto per aumentare la capacità del condensatore del fattore $epsilon_r$, l'unico modo è annullare $a$. E' giusto?Oppure ho capito male? Il professore inoltre aveva fatto una specie di ragionamento sulle dimensioni di a che non ho capito bene, affermava di immaginare che "a" non esista e che ci fosse solo dielettrico ma non ho capito molto. Se qualcuno può illuminarmi gliene sarei grato.
La capacità di un condensatore per definizione è $C=Q/(DeltaV)=(sigma_(lib)*S)/(DeltaV)$ dove $sigma_(lib)$ è la densità di carica superficiale sull'armatura del condensatore e $S$ è la superficie dell'armatura del condensatore. La differenza di potenziale tra le due armature risulta:
$ DeltaV = sigma_(lib)/(epsilon_0)a + sigma_(lib)/(epsilon_0epsilon_r)b+sigma_(lib)/(epsilon_0)a=sigma_(lib)/(epsilon_0)(a+b/(epsilon_r)+a) $
Quello che non capisco è perché alla fine di tutto si pone $a=0$ ottenendo: $DeltaV=sigma_(lib)/(epsilon_0epsilon_r)b$
Ponendo $a=0$ si ottiene $C=(epsilon_0 epsilon_r S)/b$
Da quello che ho capito a lezione, nella realtà i gaps d'aria tra il dielettrico e le armature del condensatore non esistono. Inoltre i gaps d'aria diminuirebbero la capacità del condensatore in quanto otterrei:
$ C=(epsilon_0S)/(a+b/epsilon_r+a)=(epsilon_0epsilon_rS)/(aepsilon_r+b+aepsilon_r) $
Poiché i dielettrici vengono introdotti appunto per aumentare la capacità del condensatore del fattore $epsilon_r$, l'unico modo è annullare $a$. E' giusto?Oppure ho capito male? Il professore inoltre aveva fatto una specie di ragionamento sulle dimensioni di a che non ho capito bene, affermava di immaginare che "a" non esista e che ci fosse solo dielettrico ma non ho capito molto. Se qualcuno può illuminarmi gliene sarei grato.
Risposte
La mia impressione è che ti è capitato un complicatore di affari semplici.
Non si capisce assolutamente il bisogno di introdurre questo fantomatico $a$ per poi metterlo a zero.
Anche quei tre termini che danno $DeltaV$ mi suonano un po' strani (il primo e il terzo), che sembrano dovuti ad una coppia di piani di densità $sigma$, che però non ci sono. Al massimo vedrei un campo prodotto dalla densità $sigma$ su distanza $a + b + a$ sommato al campo opposto prodotto dalle cariche di polarizzazione $sigma*(epsi_r - 1)/epsi_r$, su distanza $b$; ma, appunto, mi sembrano complicazioni inutili.
Non si capisce assolutamente il bisogno di introdurre questo fantomatico $a$ per poi metterlo a zero.
Anche quei tre termini che danno $DeltaV$ mi suonano un po' strani (il primo e il terzo), che sembrano dovuti ad una coppia di piani di densità $sigma$, che però non ci sono. Al massimo vedrei un campo prodotto dalla densità $sigma$ su distanza $a + b + a$ sommato al campo opposto prodotto dalle cariche di polarizzazione $sigma*(epsi_r - 1)/epsi_r$, su distanza $b$; ma, appunto, mi sembrano complicazioni inutili.
"mgrau":
La mia impressione è che ti è capitato un complicatore di affari semplici.
Non si capisce assolutamente il bisogno di introdurre questo fantomatico $a$ per poi metterlo a zero.
Anche quei tre termini che danno $DeltaV$ mi suonano un po' strani (il primo e il terzo), che sembrano dovuti ad una coppia di piani di densità $sigma$, che però non ci sono. Al massimo vedrei un campo prodotto dalla densità $sigma$ su distanza $a + b + a$ sommato al campo opposto prodotto dalle cariche di polarizzazione $sigma*(epsi_r - 1)/epsi_r$, su distanza $b$; ma, appunto, mi sembrano complicazioni inutili.
Ciao, grazie per la risposta. Il risultato di $DeltaV$ si ottiene integrando il campo elettrico E nelle tre regioni di spazio 1,2,3. Nelle regioni 1 e 3 $E=sigma_(lib)/epsilon_0$ mentre nella regione 2 dove c'è il dielettrico vale $E=sigma_(lib)/(epsilon_0epsilon_r)$. Ho omesso i passaggi del calcolo della d.d.p perché non volevo appesantire il post. Per quanto riguarda il mio dubbio è giusto come l'ho interpretato?
"nico97it":
Nelle regioni 1 e 3 $E=sigma_(lib)/epsilon_0$
E come lo ricavi?
Il tuo dubbio non l'ho capito molto. Certo, il dielettrico serve ad aumentare la capacità ( e anche a tenere separate le armature
).
"mgrau":
[quote="nico97it"] Nelle regioni 1 e 3 $E=sigma_(lib)/epsilon_0$
E come lo ricavi?
Il tuo dubbio non l'ho capito molto. Certo, il dielettrico serve ad aumentare la capacità ( e anche a tenere separate le armature
).[/quote]I valori del campo elettrico si ricavano dal campo di spostamento elettrico $vec(D)$ tramite il teorema di Gauss. Ovvero $ int_S int vec(D)*hat(n) dS=q_(lib)=sigma_(lib)B $ . Dove $hat(n)$ è la normale alla superficie di Gauss e $B$ è la superficie della base del cilindro utilizzato come superficie di Gauss.
Il campo $E$ si ricava dalla relazione $vec(D)=epsilon_0epsilon_rvec(E)$
Si applica questo metodo nelle 3 regioni e si ottengono quei tre valori del campo elettrico.
Il mio dubbio è perché alla fine di tutto pone $a=0$.
"nico97it":
I valori del campo elettrico si ricavano dal campo di spostamento elettrico $vec(D)$ tramite il teorema di Gauss. Ovvero $ int_S int vec(D)*hat(n) dS=q_(lib)=sigma_(lib)B $ . Dove $hat(n)$ è la normale alla superficie di Gauss e $B$ è la superficie della base del cilindro utilizzato come superficie di Gauss.
Questo lo sapevamo
. Solo che mi pare che ti dimentichi le cariche di polarizzazione... e quale sarebbe la superficie di Gauss? Non dovrebbe coprire tutto il gap di spessore $a$, e quindi includere le due cariche, $sigma$ e $sigma_(pol)$?Se poi il tuo dubbio è perchè mette alla fine $a = 0$, io mi chiederei piuttosto perchè all'inizio mette $a ne 0$...
"mgrau":
[quote="nico97it"]
I valori del campo elettrico si ricavano dal campo di spostamento elettrico $vec(D)$ tramite il teorema di Gauss. Ovvero $ int_S int vec(D)*hat(n) dS=q_(lib)=sigma_(lib)B $ . Dove $hat(n)$ è la normale alla superficie di Gauss e $B$ è la superficie della base del cilindro utilizzato come superficie di Gauss.
Questo lo sapevamo
. Solo che mi pare che ti dimentichi le cariche di polarizzazione... e quale sarebbe la superficie di Gauss? Non dovrebbe coprire tutto il gap di spessore $a$, e quindi includere le due cariche, $sigma$ e $sigma_(pol)$?Se poi il tuo dubbio è perchè mette alla fine $a = 0$, io mi chiederei piuttosto perchè all'inizio mette $a ne 0$...[/quote]
Il campo $D$ "non vede" le cariche di polarizzazione. Posto l'immagine della situazione.
Il perché mette $ane0$ non lo ha detto. Il professore ha semplicemente illustrato questa situazione.
Al mio parere, le ragioni di mettere un valore \(\displaystyle a \ne 0 \) per l'interstizio potrebbero essere due.
La prima è una ragione tecnica pratica: se rappresentiamo il nostro condensatore con dielettrico come risultato dell'inserimento di una lastra di dielettrico in uno spazio precedentemente vuoto, per farla entrare senza problemi meccanici questa lastra deve essere leggermente meno spessa dello spazio fra le armature.
La seconda è una ragione teorica metodologica: non si capisce tanto bene cosa significherebbe al livello fisico una distanza \(\displaystyle a = 0 \), in tal caso le due densità superficiali di carica (quella sull'armatura e quella di polarizzazione del dielettrico) dovrebbero essere rigorosamente sovrapposte, pur trovandosi in materiali diversi (metallo e dielettrico rispettivamente).
Per dare un senso fisico al calcolo (che in fin dei conti non è più complicato di tanto), una possibilità semplice può effettivamente essere l'approccio indicato: consideriamo un interstizio finito \(\displaystyle a \) che poi facciamo tendere verso lo zero (visto che non fa parte dei dati del problema).
La prima è una ragione tecnica pratica: se rappresentiamo il nostro condensatore con dielettrico come risultato dell'inserimento di una lastra di dielettrico in uno spazio precedentemente vuoto, per farla entrare senza problemi meccanici questa lastra deve essere leggermente meno spessa dello spazio fra le armature.
La seconda è una ragione teorica metodologica: non si capisce tanto bene cosa significherebbe al livello fisico una distanza \(\displaystyle a = 0 \), in tal caso le due densità superficiali di carica (quella sull'armatura e quella di polarizzazione del dielettrico) dovrebbero essere rigorosamente sovrapposte, pur trovandosi in materiali diversi (metallo e dielettrico rispettivamente).
Per dare un senso fisico al calcolo (che in fin dei conti non è più complicato di tanto), una possibilità semplice può effettivamente essere l'approccio indicato: consideriamo un interstizio finito \(\displaystyle a \) che poi facciamo tendere verso lo zero (visto che non fa parte dei dati del problema).
"mmdem":
Al mio parere, le ragioni di mettere un valore \(\displaystyle a \ne 0 \) per l'interstizio potrebbero essere due.
La prima è una ragione tecnica pratica: se rappresentiamo il nostro condensatore con dielettrico come risultato dell'inserimento di una lastra di dielettrico in uno spazio precedentemente vuoto, per farla entrare senza problemi meccanici questa lastra deve essere leggermente meno spessa dello spazio fra le armature.
La seconda è una ragione teorica metodologica: non si capisce tanto bene cosa significherebbe al livello fisico una distanza \(\displaystyle a = 0 \), in tal caso le due densità superficiali di carica (quella sull'armatura e quella di polarizzazione del dielettrico) dovrebbero essere rigorosamente sovrapposte, pur trovandosi in materiali diversi (metallo e dielettrico rispettivamente).
Per dare un senso fisico al calcolo (che in fin dei conti non è più complicato di tanto), una possibilità semplice può effettivamente essere l'approccio indicato: consideriamo un interstizio finito \(\displaystyle a \) che poi facciamo tendere verso lo zero (visto che non fa parte dei dati del problema).
Quindi non ci sono altri arcani motivi che sto ignorando giusto? E' semplicemente un modo per far vedere cosa succede se non ci sono gaps d'aria tra le armature del condensatore ed il dielettrico. Inoltre nella realtà questi gaps d'aria, che tra l'altro ridurrebbero la capacità invece che aumentarla (che è quello che si vuole), non esistono giusto? E' tutto riempito di dielettrico.
"nico97it":
[quote="mmdem"]Al mio parere, le ragioni di mettere un valore \(\displaystyle a \ne 0 \) per l'interstizio potrebbero essere due. [...]
Per dare un senso fisico al calcolo (che in fin dei conti non è più complicato di tanto), una possibilità semplice può effettivamente essere l'approccio indicato: consideriamo un interstizio finito \(\displaystyle a \) che poi facciamo tendere verso lo zero (visto che non fa parte dei dati del problema).
Quindi non ci sono altri arcani motivi che sto ignorando giusto? E' semplicemente un modo per far vedere cosa succede se non ci sono gaps d'aria tra le armature del condensatore ed il dielettrico.[/quote]
Motivi particolari non ne vedo. L'approccio è una scelta condivisibile o no, personalmente non sentirei la necessità di appesantire la spiegazione del condensatore con dielettrico in questa maniera, ma l'impostazione dipende anche dal tipo di applicazioni che intende fare il professore.
Inoltre nella realtà questi gaps d'aria, che tra l'altro ridurrebbero la capacità invece che aumentarla (che è quello che si vuole), non esistono giusto? E' tutto riempito di dielettrico..
Dipende in maniera ovvia dalla soluzione costruttiva usata per il condensatore. E' chiaro che per un condensatore elettrolitico o per quelli multistrato non c'è interstizio fra il conduttore ed il dielettrico; per un condensatore variabile (che funziona proprio introducendo o estraendo il dielettrico dallo spazio fra le armature), gli interstizi esistono in modo palese (basta cercare immagini con "condensatore variabile").
"mmdem":
[quote="nico97it"][quote="mmdem"]Al mio parere, le ragioni di mettere un valore \(\displaystyle a \ne 0 \) per l'interstizio potrebbero essere due. [...]
Per dare un senso fisico al calcolo (che in fin dei conti non è più complicato di tanto), una possibilità semplice può effettivamente essere l'approccio indicato: consideriamo un interstizio finito \(\displaystyle a \) che poi facciamo tendere verso lo zero (visto che non fa parte dei dati del problema).
Quindi non ci sono altri arcani motivi che sto ignorando giusto? E' semplicemente un modo per far vedere cosa succede se non ci sono gaps d'aria tra le armature del condensatore ed il dielettrico.[/quote]
Motivi particolari non ne vedo. L'approccio è una scelta condivisibile o no, personalmente non sentirei la necessità di appesantire la spiegazione del condensatore con dielettrico in questa maniera, ma l'impostazione dipende anche dal tipo di applicazioni che intende fare il professore.
Inoltre nella realtà questi gaps d'aria, che tra l'altro ridurrebbero la capacità invece che aumentarla (che è quello che si vuole), non esistono giusto? E' tutto riempito di dielettrico..
Dipende in maniera ovvia dalla soluzione costruttiva usata per il condensatore. E' chiaro che per un condensatore elettrolitico o per quelli multistrato non c'è interstizio fra il conduttore ed il dielettrico; per un condensatore variabile (che funziona proprio introducendo o estraendo il dielettrico dallo spazio fra le armature), gli interstizi esistono in modo palese (basta cercare immagini con "condensatore variabile").[/quote]
Ho capito, ti ringrazio per la risposta.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo