Piccole oscillazioni
Questo problema è tratto dal libro "Meccanica razionale" della collana Schaum's (n° 9.148 pag. 252).
Un emisfero solido di raggio R è fermo con la sua superficie convessa su una tavola orizzontale. Se lo si sposta leggermente, dimostrare che esso compirà delle oscillazioni con periodo uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza 4R/3.
Io ho trovato una soluzione diversa (cioè 26R/15) e non riesco a capire dove ho sbagliato (o se ho sbagliato).
Mi sarà utile qualunque suggerimento.
Un emisfero solido di raggio R è fermo con la sua superficie convessa su una tavola orizzontale. Se lo si sposta leggermente, dimostrare che esso compirà delle oscillazioni con periodo uguale a quello di un pendolo semplice di lunghezza 4R/3.
Io ho trovato una soluzione diversa (cioè 26R/15) e non riesco a capire dove ho sbagliato (o se ho sbagliato).
Mi sarà utile qualunque suggerimento.
Risposte
Come fai a semplificare Pigreca? A me risulta che L = Iz / (m*h) dove m è la massa (che semplificherò) e h è l’ordinata del baricentro. Iz = Ic + mh^2 = 0.2 m R^2 + m h^2, quindi L risulta
L = (0.2 m R^2 + m h^2) / (m*h)
Posso semplificare m. h = [1-4/(3Pi)] R
A questo punto mi fermo. Non penso di esserti stato di aiuto, anzi… Tu come hai trovato il baricentro? io con Guldino.
L = (0.2 m R^2 + m h^2) / (m*h)
Posso semplificare m. h = [1-4/(3Pi)] R
A questo punto mi fermo. Non penso di esserti stato di aiuto, anzi… Tu come hai trovato il baricentro? io con Guldino.
WonderP,
sei sicuro che Guldino ti permetta di calcolare il baric. dell'emisfero?
secondo me il 4R/3Pi) da te ottenuto è il baric. del semicerchio max dell'emisfero (e i due non coincidono).
invece, poso l'emisfero con la faccia piana sul piano, lo affetto orizzontalmente e, integrando, ottengo (a meno della densità) il momento risp. all'asse:
M=integr da 0 a Pi/2 (Pi(r*cos(phi))^2 * r*sin(phi) * r*cos(phi)*dphi =
= Pi*r^4/4
il primo fattore è la superf. della fetta elementare circolare, il secondo la sua distanza dall'asse, il terzo il suo spessore.
lo divido per il volume dell'emisfero e ho
h = M/((4/3)*Pi*r^3/2) = 3*r/8 (misurata dalla faccia piana)
sparisce quel tuo fastidioso Pi.
non so se sia corretto; il seguito al prox. numero
tony
sei sicuro che Guldino ti permetta di calcolare il baric. dell'emisfero?
secondo me il 4R/3Pi) da te ottenuto è il baric. del semicerchio max dell'emisfero (e i due non coincidono).
invece, poso l'emisfero con la faccia piana sul piano, lo affetto orizzontalmente e, integrando, ottengo (a meno della densità) il momento risp. all'asse:
M=integr da 0 a Pi/2 (Pi(r*cos(phi))^2 * r*sin(phi) * r*cos(phi)*dphi =
= Pi*r^4/4
il primo fattore è la superf. della fetta elementare circolare, il secondo la sua distanza dall'asse, il terzo il suo spessore.
lo divido per il volume dell'emisfero e ho
h = M/((4/3)*Pi*r^3/2) = 3*r/8 (misurata dalla faccia piana)
sparisce quel tuo fastidioso Pi.
non so se sia corretto; il seguito al prox. numero
tony
Anch'io mi trovo 3R/8,per la quota h del baricentro,sia pure
applicando una diversa formula:
h=1/V*(integrale triplo di z*dV,esteso a V) V=volume emisfera.
Passando a coordinate sferiche con un non difficile calcolo
si ottiene appunto:
h=3R/8.
Sostituendo h nella formula gia' indicata da WonderP
L=R^2/(5h)+h ottengo:
L=4R/3*(109/160) che non coincide con 4R/3 (a meno che non
si ponga 109/160=1 !!!) e nemmeno con 26R/15.
Salvo errori od omissioni da parte mia.
(A parziale consolazione di Mamo aggiungo che
i volumi della Schaum non sono esenti da... refusi,anzi.)
karl.
Modificato da - karl il 25/12/2003 13:08:32
applicando una diversa formula:
h=1/V*(integrale triplo di z*dV,esteso a V) V=volume emisfera.
Passando a coordinate sferiche con un non difficile calcolo
si ottiene appunto:
h=3R/8.
Sostituendo h nella formula gia' indicata da WonderP
L=R^2/(5h)+h ottengo:
L=4R/3*(109/160) che non coincide con 4R/3 (a meno che non
si ponga 109/160=1 !!!) e nemmeno con 26R/15.
Salvo errori od omissioni da parte mia.
(A parziale consolazione di Mamo aggiungo che
i volumi della Schaum non sono esenti da... refusi,anzi.)
karl.
Modificato da - karl il 25/12/2003 13:08:32
La posizione del centro di massa della semisfera trovata da Tony e Karl è corretta.
La formula di WonderP L = Iz/(mh) è uguale a quella da me trovata se Iz è il momento d'inerzia della semisfera rispetto all'asse di istantanea rotazione.
Utilizzando il teorema di Steiner io ho trovato Iz = (13/20)mR^2.
La formula di WonderP L = Iz/(mh) è uguale a quella da me trovata se Iz è il momento d'inerzia della semisfera rispetto all'asse di istantanea rotazione.
Utilizzando il teorema di Steiner io ho trovato Iz = (13/20)mR^2.
Tony, sono stupido! Ho trovato il baricentro di un semicerchio!
Comunque, per una sfera che rotola I = 0.2 m R^2.
Nel calcolo delle oscillazioni di un pendolo composto Iz = Ic + mh^2, io ho supposto che si trattasse dello stesso caso.
Comunque, per una sfera che rotola I = 0.2 m R^2.
Nel calcolo delle oscillazioni di un pendolo composto Iz = Ic + mh^2, io ho supposto che si trattasse dello stesso caso.
MaMo,
ho risolto il problema determinando le espressioni linearizzate ai piccoli spostamenti dell’energia cinetica (moto relativo al baricentro) e dell’energia potenziale ed applicando le equazioni del moto (in questo caso una sola) di Lagrange. Anch’io ho ottenuto per il sistema una frequenza uguale a quella di un pendolo semplice avente lunghezza pari a 26*R/15. A questo punto ho pensato che il problema che hai citato potesse fare riferimento alla calotta semisferica piuttosto che a mezza sfera piena. Ho rifatto i calcoli ed ho ottenuto il risultato a cui fa riferimento il tuo libro: il sistema oscilla come un pendolo semplice avente lunghezza pari a 4*R/3.
E’ stato divertente rimettere mano ai vecchi problemi di meccanica.
Cordiali Saluti e Buone Feste a tutti,
Marcello
ho risolto il problema determinando le espressioni linearizzate ai piccoli spostamenti dell’energia cinetica (moto relativo al baricentro) e dell’energia potenziale ed applicando le equazioni del moto (in questo caso una sola) di Lagrange. Anch’io ho ottenuto per il sistema una frequenza uguale a quella di un pendolo semplice avente lunghezza pari a 26*R/15. A questo punto ho pensato che il problema che hai citato potesse fare riferimento alla calotta semisferica piuttosto che a mezza sfera piena. Ho rifatto i calcoli ed ho ottenuto il risultato a cui fa riferimento il tuo libro: il sistema oscilla come un pendolo semplice avente lunghezza pari a 4*R/3.
E’ stato divertente rimettere mano ai vecchi problemi di meccanica.
Cordiali Saluti e Buone Feste a tutti,
Marcello
WonderP, dove hai trovato I = 0,2mR^2 
Il momento d'inerzia di una sfera solida omogenea rispetto ad un asse passante suo centro è Io = (2/5)mR^2. Esso vale anche per una semisfera, rispetto ad un qualunque asse passante per un diametro della faccia piana in quanto la distribuzione di massa non cambia.
Applicando Steiner ottengo il momento d'inerzia rispetto al centro di massa della semisfera:
Ic = Io - md^2 = (2/5)mR^2 - m (3R/8)^2 = (83/320)mR^2
Per trovare il momento d'inerzia rispetto all'asse di istantanea rotazione, cioè l'asse passante per il punto di contatto tra la semisfera e la tavola quando essa è in equilibrio, utilizzo ancora il teorema di Steiner:
Iz = Ic + m d^2 = (83/320)mR^2 + m(R - 3R/8)^2 = (13/20)mR^2.
Il momento d'inerzia di una sfera solida omogenea rispetto ad un asse passante suo centro è Io = (2/5)mR^2. Esso vale anche per una semisfera, rispetto ad un qualunque asse passante per un diametro della faccia piana in quanto la distribuzione di massa non cambia.
Applicando Steiner ottengo il momento d'inerzia rispetto al centro di massa della semisfera:
Ic = Io - md^2 = (2/5)mR^2 - m (3R/8)^2 = (83/320)mR^2
Per trovare il momento d'inerzia rispetto all'asse di istantanea rotazione, cioè l'asse passante per il punto di contatto tra la semisfera e la tavola quando essa è in equilibrio, utilizzo ancora il teorema di Steiner:
Iz = Ic + m d^2 = (83/320)mR^2 + m(R - 3R/8)^2 = (13/20)mR^2.
Ho diviso la sfera (semisfera) in sezioni di raggio r =radq(R^2-z^2) distanti z dal centro e ortogonali all’asse z e con spessore dz. Ciascuna di queste è approssimabile a un disco di massa dm
dm = w Pi r^2 dz [con w ho indicato la densità ro]
e momento di inerzia
dI = 0.5 dm r^2 = 0.5 w Pi (R^2-z^2)^2 dz
e a questo punto ho integrato tra 0 e R…
dm = w Pi r^2 dz [con w ho indicato la densità ro]
e momento di inerzia
dI = 0.5 dm r^2 = 0.5 w Pi (R^2-z^2)^2 dz
e a questo punto ho integrato tra 0 e R…
Poiché, come dicevo nel precedente post, ho fatto riferimento al moto relativo al baricentro, ho determinato i momenti di inerzia sia della semisfera piena che della calotta semisferica rispetto ad un asse baricentrico ortogonale al moto e parallelo alla superficie di rotolamento. Dapprima ho determinato il momento di inerzia polare della sfera piena e della calotta sferica rispetto al centro e, per le note proprietà sui momenti di inerzia rispetto a piani e rette, ne ho calcolato i 2/3 ottenendo il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro. La metà di questo valore mi ha fornito il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro (non il baricentro) della semisfera piena e della calotta semisferica. Infine applicando il teorema di huygens ho ottenuto i momenti di inerzia rispetto ad assi passanti per i baricentri delle due semisfere (dalla base della semisfera piena il baricentro sta a 3R/8 mentre dalla base della calotta semisferica il baricentro sta a R/2)
Cordiali Saluti
Modificato da - Jeckyll il 26/12/2003 10:47:04
Cordiali Saluti
Modificato da - Jeckyll il 26/12/2003 10:47:04
WonderP, il tuo procedimento per trovare il momento d'inerzia è giusto ma i calcoli sono sbagliati!
Inoltre in questo caso non si può applicare la formula del pendolo composto in quanto la semisfera non ruota intorno all'asse passante per un diametro della faccia piana della semisfera.
Jeckyll, grazie della conferma.
Sospettavo infatti che la soluzione data dal testo non fosse corretta.
Ora che sapete la posizione del centro di massa di una semisfera omogenea vi sarà facile risolvere il problema "Equilibrio" da me posto nel forum "Giochi e gara"
Inoltre in questo caso non si può applicare la formula del pendolo composto in quanto la semisfera non ruota intorno all'asse passante per un diametro della faccia piana della semisfera.
Jeckyll, grazie della conferma.
Sospettavo infatti che la soluzione data dal testo non fosse corretta.
Ora che sapete la posizione del centro di massa di una semisfera omogenea vi sarà facile risolvere il problema "Equilibrio" da me posto nel forum "Giochi e gara"
Una domanda:
INSOMMA chi ha ragione Mamo,WonderP o Jeckill?
Con tutti questi momenti d'inerzia mi avete
confuso le idee!
karl.
INSOMMA chi ha ragione Mamo,WonderP o Jeckill?
Con tutti questi momenti d'inerzia mi avete
confuso le idee!
karl.
A quanto ho avuto modo di capire io e Mamo abbiamo proceduto in due modi diversi pur ottenendo lo stesso risultato. Io ho calcolaro il momento di inerzia rispetto al baricentro della semisfera piena(questo mi ha permesso di ottenere l'energia cinetica del corpo rigido applicando quello che, se non ricordo male, è il teorema di koenig: Energia cinetica=energia cinetica traslazionale del baricentro+energia cinetica rotazionale attorno al baricentro). Mamo invece ha considerato il moto attorno al centro di istantanea rotazione e quindi ha considerato il momento di inerzia della semisfera piena proprio attorno ad un asse passante per tale punto.
Comunque a questo punto ritengo che i nostri risultati siano corretti e che nel testo del libro utilizzato da mamo ci sia una imprecisione. Infatti credo che l'autore del testo con il termine emisfero intendesse non una semisfera piena ma, bensì, una calotta semisferica (mezzo guscio di un mappamondo per intenderci). In tal caso, infatti, dai calcoli viene fuori il risultato del libro.
Cordiali Saluti,
Marcello
Comunque a questo punto ritengo che i nostri risultati siano corretti e che nel testo del libro utilizzato da mamo ci sia una imprecisione. Infatti credo che l'autore del testo con il termine emisfero intendesse non una semisfera piena ma, bensì, una calotta semisferica (mezzo guscio di un mappamondo per intenderci). In tal caso, infatti, dai calcoli viene fuori il risultato del libro.
Cordiali Saluti,
Marcello
Arrivo tardi e del resto il problema e' ormai risolto.
Tuttavia ho qualche dubbio sull'affermazione di Mamo
in base alla quale il momento d'inerzia di una semisfera ,rispetto
ad un asse passante per un diametro della faccia piana,e'
il medesimo dell'intera sfera.Non mi sembra che la distribuzione di
massa sia la stessa,altrimenti lo stesso dovrebbe dirsi di due masse
uguali situate alla stessa distanza da un asse disposto perpendicolarmente alla congiungente le due masse.
Ho calcolato il momento con la formula:
I=w*int((x^2+y^2)dV,esteso al volume V)
dove: w=3m/(4piR^3) , x^2+y^2=quadrato della distanza della
massa elementare dm dall'asse z (asse rispetto al quale calcoliamo I).
Passando a coordinate sferiche risulta
x^2+y^2=ro^2*sin^2(teta), dV=ro^2*sin(teta)*dro*d(teta)*d(phi)
con 0<=ro<=R , 0<=phi<=pi, 0<=teta<=pi
(per l'intera sfera si avrebbe 0<=phi<=2pi)
ottenendo I=1/5*m*R^2 che e' esattamente la meta' di I per l'intera
sfera.
Dove sbaglio ?
Karl.
Tuttavia ho qualche dubbio sull'affermazione di Mamo
in base alla quale il momento d'inerzia di una semisfera ,rispetto
ad un asse passante per un diametro della faccia piana,e'
il medesimo dell'intera sfera.Non mi sembra che la distribuzione di
massa sia la stessa,altrimenti lo stesso dovrebbe dirsi di due masse
uguali situate alla stessa distanza da un asse disposto perpendicolarmente alla congiungente le due masse.
Ho calcolato il momento con la formula:
I=w*int((x^2+y^2)dV,esteso al volume V)
dove: w=3m/(4piR^3) , x^2+y^2=quadrato della distanza della
massa elementare dm dall'asse z (asse rispetto al quale calcoliamo I).
Passando a coordinate sferiche risulta
x^2+y^2=ro^2*sin^2(teta), dV=ro^2*sin(teta)*dro*d(teta)*d(phi)
con 0<=ro<=R , 0<=phi<=pi, 0<=teta<=pi
(per l'intera sfera si avrebbe 0<=phi<=2pi)
ottenendo I=1/5*m*R^2 che e' esattamente la meta' di I per l'intera
sfera.
Dove sbaglio ?
Karl.
Il mio errore (mamma mia quanti ne ho fatti in questo problema!!!)dovrebbe essere lo stesso di karl, almeno "spero", non si sa mai che dica un'altra cavolata.
Abbiamo sbagliato w (densità solitamente definita con rò), noi lo abbiamo ricavato da M = 4/3 w Pi R^3, ma M è la massa totale della sfera.
Dall'integrale ottengo
I = 4/15 w Pi R^5
quindi sostituendo w
I = 1/5 M R^2 [risultato ibrido tra sfera e semisfera, dunque errato]
ma
M = 2 m
quindi
I = 2/5 m R^2
Spero che almeno questo sia giusto.
WonderP.
Abbiamo sbagliato w (densità solitamente definita con rò), noi lo abbiamo ricavato da M = 4/3 w Pi R^3, ma M è la massa totale della sfera.
Dall'integrale ottengo
I = 4/15 w Pi R^5
quindi sostituendo w
I = 1/5 M R^2 [risultato ibrido tra sfera e semisfera, dunque errato]
ma
M = 2 m
quindi
I = 2/5 m R^2
Spero che almeno questo sia giusto.
WonderP.
E' vero!! Mi consola il fatto che a sbagliare hai
cominciato tu (...scherzo naturalmente).
Saluti da karl.
cominciato tu (...scherzo naturalmente).
Saluti da karl.
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