Piccole oscillazioni?
Ho un esercizio dubbio, nel senso che mi sono del tutto bloccato sul secondo punto. Non ho la più pallida idea di come impostare la richiesta di piccola oscillazione. Lascio il testo sperando di poterne discutere.
Due fili conduttori rettilinei AA’ e BB’, paralleli tra loro, sono disposti orizzontalmente, e il pianoche li contiene `e verticale. Il filo AA’, la cui lunghezza puo essere considerata infinita, e' appoggiato su un supporto fisso, mentre il filo BB’, rigido, di lunghezza l= 20 cm e massam= 2 g, e' libero di scorrere lungo due guide verticali con cui stabilisce un contatto strisciante, rimanendo sempre parallelo ad AA’. I due fili sono percorsi da correnti costanti che fluiscono in verso opposto, I1= 25 A su AA’ eI2= 100 A su BB’. Trovare la posizione di equilibrio y0 del filo mobile e il periodo T delle sue piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio
Grazie per gli interventi
PS: y0 l'ho trovata ed è $y_0=(I_1I_2mu_0l)/(2pimg)$
Due fili conduttori rettilinei AA’ e BB’, paralleli tra loro, sono disposti orizzontalmente, e il pianoche li contiene `e verticale. Il filo AA’, la cui lunghezza puo essere considerata infinita, e' appoggiato su un supporto fisso, mentre il filo BB’, rigido, di lunghezza l= 20 cm e massam= 2 g, e' libero di scorrere lungo due guide verticali con cui stabilisce un contatto strisciante, rimanendo sempre parallelo ad AA’. I due fili sono percorsi da correnti costanti che fluiscono in verso opposto, I1= 25 A su AA’ eI2= 100 A su BB’. Trovare la posizione di equilibrio y0 del filo mobile e il periodo T delle sue piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio
Grazie per gli interventi
PS: y0 l'ho trovata ed è $y_0=(I_1I_2mu_0l)/(2pimg)$
Risposte
Il filo mobile suppongo sia sopra quello fisso. In questo modo la gravità - fissa - li avvicina, e la forza magnetica li respinge.
Per trovare il periodo delle piccole oscillazioni, si tratta di scrivere la forza che muove il sistema come funzione lineare della posizione, cioè come forza elastica, $F = -kx$. In questo caso la forza varia come $1/x$, per cui devi trovare la componente del primo ordine. Dopo di che, avendo $k$, il periodo è quello dell'oscillatore armonico, $T = 2pisqrt(m/k)$
Per trovare il periodo delle piccole oscillazioni, si tratta di scrivere la forza che muove il sistema come funzione lineare della posizione, cioè come forza elastica, $F = -kx$. In questo caso la forza varia come $1/x$, per cui devi trovare la componente del primo ordine. Dopo di che, avendo $k$, il periodo è quello dell'oscillatore armonico, $T = 2pisqrt(m/k)$
Sì ho inteso anche io sopra.
Ok ho capito cosa richiede grazie a te, però non so come farlo ammetto... anche perché mettendo assieme avrei:
$my''=((y_0-y)/y)mg$
Ok ho capito cosa richiede grazie a te, però non so come farlo ammetto... anche perché mettendo assieme avrei:
$my''=((y_0-y)/y)mg$
Beh, sappiamo che una forza elastica (del tipo $F = -kx$, F proporzionale a x) produce oscillazioni (non necessariamente piccole) con periodo $2pisqrt(m/k)$.
Qui la forza è la somma della forza repulsiva elettromagnetica, meno il peso. E' una cosa del tipo (lascio perdere i coefficienti) $a/x -mg$; Noi siamo all'equilibrio, quindi con una $x$ per cui la forza è zero.
Nell'intorno dell'equilibrio, vogliamo approssimare questa forza ad una forza elastica, quindi approssimare l'andamento della forza con una retta. E' questa approssimazione che impone che le oscillazioni siano piccole. Questa retta è quindi la tangente nel punto di equilibrio, ossia è la retta la cui pendenza è $F'(x_(eq))$, ed è allora questo il $k$ che ci serve.
$F'$ nel caso nostro è $-a/x^2$ (sempre a meno dei coefficienti), da valutare nel punto di equilibrio.
Nota che $F'(x)$ non è costante, per cui risulta che le oscillazioni sono sempre più lente ($k$ diminuisce) man mano che la distanza tra i fili aumenta.
Qui la forza è la somma della forza repulsiva elettromagnetica, meno il peso. E' una cosa del tipo (lascio perdere i coefficienti) $a/x -mg$; Noi siamo all'equilibrio, quindi con una $x$ per cui la forza è zero.
Nell'intorno dell'equilibrio, vogliamo approssimare questa forza ad una forza elastica, quindi approssimare l'andamento della forza con una retta. E' questa approssimazione che impone che le oscillazioni siano piccole. Questa retta è quindi la tangente nel punto di equilibrio, ossia è la retta la cui pendenza è $F'(x_(eq))$, ed è allora questo il $k$ che ci serve.
$F'$ nel caso nostro è $-a/x^2$ (sempre a meno dei coefficienti), da valutare nel punto di equilibrio.
Nota che $F'(x)$ non è costante, per cui risulta che le oscillazioni sono sempre più lente ($k$ diminuisce) man mano che la distanza tra i fili aumenta.
Wow grazie mille, mi sa che non ci sarei mai arrivato!
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