Piano inclinato e forza
Nel sistema schematizzato in figura, un blocco di massa m=2 Kg è appoggiato su un piano inclinato di un angolo $theta$= 30° rispetto all'orizzontale, con coefficienti di attrito statico e dinamico rispettivamente $ mu_s$= 0.4 e $ mu_d$= 0.25. Il blocco di massa m è collegato ad un secondo blocco di massa M=5 Kg mediante una fune inestensibile, che passa sulle carrucole ideali $C_1$ fissa e $C_2 $ mobile. Per impedire che il blocco di massa m salga lungo il piano inclinato, secondo lo schema in figura. Calcolare:
a- il minimo valore di F che mantiene il sistema in equilibrio, impedendo al blocco di massa m di salire lungo il piano inclinato.
Se improvvisamente cessa l'azione della forza F, i due blocchi iniziano a muoversi. Calcolare, in queste condizioni:
b- le accelerazioni dei due blocchi;
c- la tensione della fune.
Ho dubbi sul primo quesito, ho pensato di risolverlo come segue:
$ R_x= - mg sin theta+ Mg$
$ R_y= F+ mu_s m g cos theta$
Pongo $ | R_x| <= R_y $ e ricavo F ma non sono sicuro poiché ottengo F= 32.4 N
a- il minimo valore di F che mantiene il sistema in equilibrio, impedendo al blocco di massa m di salire lungo il piano inclinato.
Se improvvisamente cessa l'azione della forza F, i due blocchi iniziano a muoversi. Calcolare, in queste condizioni:
b- le accelerazioni dei due blocchi;
c- la tensione della fune.
Ho dubbi sul primo quesito, ho pensato di risolverlo come segue:
$ R_x= - mg sin theta+ Mg$
$ R_y= F+ mu_s m g cos theta$
Pongo $ | R_x| <= R_y $ e ricavo F ma non sono sicuro poiché ottengo F= 32.4 N
Risposte
Non Va bene...
Ti conviene per prima cosa mettere il sistema di riferimento parallelo al piano.
Poi metti tutte le forze facendo attenzione che la massa appesa non tira esattamente con Mg.
Ti conviene per prima cosa mettere il sistema di riferimento parallelo al piano.
Poi metti tutte le forze facendo attenzione che la massa appesa non tira esattamente con Mg.
io ho preso questo ragionamento da un forum dove chiesi aiuto per un vecchio esercizio, in quanto mi chiede la forza minima. Io considererei le equazioni del moto per i due corpi, inserendo la tensione e la forza F( nel caso della massa m). Però ho un dubbio, poiché l'attrito statico comporta una forza d'attrito massima ed una minima, dopo aver scritto le equazioni come faccio a considerare la $F_a$ max o min?
Allora cominciamo da zero.
Lascia perdere da dove prendi il ragionamento, cerca di ragionarci sopra tu.
Metodologia:
(1) Fisso un sistema di riferimento orientato. Non importa quale, perche' alla fine il risultato e' lo stesso, ma una scelta opportuna (che sviluppi con la pratica) ti aiuta nei calcoli, semplificandoli. Il suggerimento, in questo caso e' di scegliere il sdr con un asse lungo il piano e l'altoro ortogonale al piano. Fissa tu l'origine e il verso delle direzioni crescenti.
Questo passo e' importante, perche' altrimenti scrivi formule sbagliate come hai fatto tu.
(2) Dopodiche' disegna tutte le forze applicate ai corpi, ed eventuali relazioni fra queste forze (se esistono)
(3) Imponi l'equilibrio annullando la risultante delle forze ed eventualmente dei momenti.
(4) Risolvi per trovare l'incognita. Dovrai scrivere ovviamente tante equazioni indipendenti quante sono le incognite (quelle richieste dal problema -come in questo caso la F - e quelle che "saltano" fuori a rompere le balle durante l'impostazione delle equazioni.
Vai, facci vedere come imposti.
Lascia perdere da dove prendi il ragionamento, cerca di ragionarci sopra tu.
Metodologia:
(1) Fisso un sistema di riferimento orientato. Non importa quale, perche' alla fine il risultato e' lo stesso, ma una scelta opportuna (che sviluppi con la pratica) ti aiuta nei calcoli, semplificandoli. Il suggerimento, in questo caso e' di scegliere il sdr con un asse lungo il piano e l'altoro ortogonale al piano. Fissa tu l'origine e il verso delle direzioni crescenti.
Questo passo e' importante, perche' altrimenti scrivi formule sbagliate come hai fatto tu.
(2) Dopodiche' disegna tutte le forze applicate ai corpi, ed eventuali relazioni fra queste forze (se esistono)
(3) Imponi l'equilibrio annullando la risultante delle forze ed eventualmente dei momenti.
(4) Risolvi per trovare l'incognita. Dovrai scrivere ovviamente tante equazioni indipendenti quante sono le incognite (quelle richieste dal problema -come in questo caso la F - e quelle che "saltano" fuori a rompere le balle durante l'impostazione delle equazioni.
Vai, facci vedere come imposti.
Ho scritto le due equazioni come segue
$M g-2T=0$
$ - mg(sin theta + mu_s cos theta) +T-F=0$
Ovviamente è un sistema, cosa ne pensi?
$M g-2T=0$
$ - mg(sin theta + mu_s cos theta) +T-F=0$
Ovviamente è un sistema, cosa ne pensi?
No, direi che non ci siamo.
Mi dici (1) come imposti il sistema di riferimento.
(2) Scrivi le equazioni in base al sistema di riferimento scelto.
Mi dici (1) come imposti il sistema di riferimento.
(2) Scrivi le equazioni in base al sistema di riferimento scelto.
Diciamo che vado un po' "a caso", mi puoi chiarire le idee? grazie mille
Si vede che vai a caso.
Allora, il primo passo te lo imposto io.
Il sistema di riferimento che scelgo ha
(1) Origine nel blocco
(2) Asse x parallelo al piano inclinato e crescente nel verso a salire del piano.
(3) Asse y ortogonale a questo.
Ora mi scrivi le componenti di tutte le forze agenti sul blocco secondo queste due direzioni? Attento ai segni.
Un passetto alla volta
Allora, il primo passo te lo imposto io.
Il sistema di riferimento che scelgo ha
(1) Origine nel blocco
(2) Asse x parallelo al piano inclinato e crescente nel verso a salire del piano.
(3) Asse y ortogonale a questo.
Ora mi scrivi le componenti di tutte le forze agenti sul blocco secondo queste due direzioni? Attento ai segni.
Un passetto alla volta
Io imposterei un sistema con origine nel blocco, asse x parallelo al piano inclinato e crescente nel verso a scendere del piano, e l'asse y ortogonale a questo. Così facendo avrei: $ F+ mu_s mg cos theta- mg sin theta=0$
Mirco, giochiamo a capirci, ti va?
Ti ho chiesto 3 volte di dar,i il sdr. Non me l hai dato. Poi te lo do io, e tu me lo cambi
Ok, prendiamo il tuo.
Che forze agiscono sul blocco lungo x ?
E che forze agiscono sul blocco lungo y?
Devi rispondere con 2 equazioni (possibilmente corrette)
Ti ho chiesto 3 volte di dar,i il sdr. Non me l hai dato. Poi te lo do io, e tu me lo cambi
Ok, prendiamo il tuo.
Che forze agiscono sul blocco lungo x ?
E che forze agiscono sul blocco lungo y?
Devi rispondere con 2 equazioni (possibilmente corrette)
Pensavo che volessi solo l'equazione per il blocco m.
Allora ti scrivo le equazioni:
$Mg-2T=0$
$ - mg sin theta+ mu_s mg cos theta +T+F=0$
Allora ti scrivo le equazioni:
$Mg-2T=0$
$ - mg sin theta+ mu_s mg cos theta +T+F=0$
Voglio le equazioni solo per il blocco, infatti.
Ma siccome hai due assi, ti verranno fuori 2 equazioni.
Ok, vedo che non esci, suggerimento:
Sul blocco, lungo x agisce:
i. La tensione della corda.
ii. La componente della forza peso (che e'?)
iii. L'attrito.
La forza F NON agisce su x (tu sembra che ce la vuoi infilare a forza).
Lungo y agisce:
i. La componente del peso del blocco
ii. La reazione normale del piano. Che chiamiamo N, per esempio.
ii. E la forza F, naturalmente!!!!
Ora sai scrivere le 2 equazioni?
Ma siccome hai due assi, ti verranno fuori 2 equazioni.
Ok, vedo che non esci, suggerimento:
Sul blocco, lungo x agisce:
i. La tensione della corda.
ii. La componente della forza peso (che e'?)
iii. L'attrito.
La forza F NON agisce su x (tu sembra che ce la vuoi infilare a forza).
Lungo y agisce:
i. La componente del peso del blocco
ii. La reazione normale del piano. Che chiamiamo N, per esempio.
ii. E la forza F, naturalmente!!!!
Ora sai scrivere le 2 equazioni?
Ci provo così:
$ N-mg cos theta -F=0$
$+ mg sin theta -F_A-T=0$
I segni li ho presi con il mio sistema di assi xy.
$ N-mg cos theta -F=0$
$+ mg sin theta -F_A-T=0$
I segni li ho presi con il mio sistema di assi xy.
"mircosam":
Ci provo così:
$ N-mg cos theta -F=0$
$+ mg sin theta -F_A-T=0$
I segni li ho presi con il mio sistema di assi xy.
La prima va bene (se y e' positivo verso l'alto).
La seconda hai invertito i segni.
Infatti mi hai detto tu che x era verso il basso. Quindi
\( mgsin\theta+F_a-T=0 \)
La froza di attrito e' positiva, perche' il testo ti dice che se non ci fosse attrito il blocco risalirebbe, quindi $F_a$ e' diretta in senso opposto a questo strisciamento relativo, cioe' verso il basso, che per te e' positivo.
Mi dirai, "ma se la somma si annulla e io cambio tutti i segni, il risultato e' uguale".
E' vero, ma perche in questo caso sei in equilibrio. Ma se il sistema si sta muovendo, allora non si annullano piu' le forze perche a secondo membro hai la $ma$, e quindi ti conviene essere consistente (a parte che se trovi il profesore pignolo, ti contesta il fatto che se x e' positivo verso il basso, le forze dirette verso il basso devono essere positive, no?).
Ok, ritorniamo a noi.
Hai 2 equazioni e 4 incognite: $N$, $F$, $F_a$ e $T$.
Ti servono altre 2 equazioni.
Dove le trovi?
introduco le equazioni per la massa M?
"mircosam":
introduco le equazioni per la massa M?
UNA equazione per la massa M! Perche questa si muove solo lungo un asse.
L'altra equazione che cerchi lega qual e'? (l'hai gia' scritta!).
Poi risolvi e trovi F necessaria a tenere tutto fermo
$ mg sin theta- mu_s mg cos theta-F-T=0$
$Mg+2T=0$
E da qui ricavo F
$Mg+2T=0$
E da qui ricavo F
Mircosam!
La prima non Va bene. T ed F non possono coesistere nella stessa equazione scalare perche sono ortogonali.
L equazione che cerchi e quell a che lega reazione normale e forza attrito. Basta. Poi risolve.
La prima non Va bene. T ed F non possono coesistere nella stessa equazione scalare perche sono ortogonali.
L equazione che cerchi e quell a che lega reazione normale e forza attrito. Basta. Poi risolve.
Ho risolto l'esercizio, ma ho ancora un dubbio cioè quando scrivo l'equazione della massa M appesa, come faccio con i segni?
"mircosam":
Ho risolto l'esercizio, ma ho ancora un dubbio cioè quando scrivo l'equazione della massa M appesa, come faccio con i segni?
Basta che assegni una rotazione positiva attorno al dormiente (la parte di fune appesa al soffitto).
Per esempio, assegnato il verso dei momenti positivo in senso orario, l'equazione attorno al dormiente si scrive (T verso l'alto, Mg verso il basso)
$T\cdot 2R-MgR=0$
Non ti dimenticare che hai orientato la x verso il basso (verso sx nel disegno), quindi quando il blocco scende (aumenta le x) ti conviene assegnare come positiva la rotazione della puleggia conseguente: il blocco scende, la carrucila sale (ruotando in senso orario).
Se tu avessi preso il senso come l'avevo proposto io, cioe' a salire, sarebbe stato piu' conveniente assegnare momento positivo alla carrucola che ruota attorno al dormiente in senso antiorario: blocco sale (positivo), -> carrucola che scende positiva.
Questo perche quando scriverai le equazioni della dinamica per il blocco e per la carrucola (dovendo trovare la legge del moto), l'equazione che lega queste equazioni fra loro e proprio lo spostamento dei 2 corpi. Se prendi i segni con l'accortezza che ti ho suggerito, allora non ti devi preoccupare di stare a pensare ai segni che legano $x$ e $\theta$. Risulta infatti semplicemente: $x=2R\theta$
grazie mille 
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