Piano inclinato e corda

[Mr.Mazzarr]

Ragazzi, sto avendo non pochi problemi con un esercizio.
E' sul piano inclinato e la corda, due argomenti che il mio libro (il Tipler) tratta poco o niente! Tant'è vero che alla base dei problemi c'è anche la scarsa conoscenza della parte teorica relativa all'argomento dell'esercizio.

Vi scrivo il testo, sperando che possiate darmi una mano:

'' Una cassa di $20.0 kg$ è in quiete su un piano inclinato privo di attrito e con pendenza di $15°$. Un facchino tira una fune assicurata alla cassa per trascinarla lungo il piano inclinato. Se la fune fa un angolo di $40°$ con il piano orizzontale, qual è la forza minima $F$ che il facchino dovrà esercitare per far muovere la cassa verso l'alto lungo il piano inclinato? ''

Grazie!

[Camillo]

Sulla cassa agira la componente della forza peso parallela al piano inclinato che vale: $ mg *sin 15 $ [ la componente perpendicolare al piano, $ mg *cos 15 $ sarà equilibrata dalla reazione del piano e quindi non la consideri].
Perchè la cassa si muova bisogna che la forza $ mg *sin 15 $ sia almeno equilibrata dalla componente della forza $F $ parallela la piano inclinato e di valore.........

[Mr.Mazzarr]

E perchè mi da anche il valore dell'angolo che la forza della corda crea con il piano orizzontale?

Io ho pensato, innanzitutto, di fare un diagramma di corpo libero.
Ci sono 3 forze che agiscono sulla cassa:

- la forza normale (in quanto la superficie è priva d'attrito), ed è perpendicolare alla cassa stessa;
- la forza di gravità, che è perpendicolare all'asse orizzontale x;
- La forza peso, che è parallela alla cassa e, come hai detto tu, vale $mg * sen 15$

Edit. Risolto! Ho calcolato:

$F_(Px)$ $=$ $m*g*sen15 = (45.12 N) hat x$

Ora, la forza della corda deve essere uguale alla forza peso. Quindi:

$F_(Ix)$ $=$ $F_I * cos 40 =$ $F_(Px)$

$F_I =$ $F_(Px)/cos40 = 55.70 N$

[Mr.Mazzarr]

/edit

[Flamber]

no, la forza peso è dempre diretta verso il basso, non ci sono piani inclinati, corde, puleggie e cerniere che possano far cambiare questo.

Però la forza peso può essere scomposta in una componente tangente al moto, e in una perpendicolare, e questo lo si fa normalmente, almeno negli esercizi più semplici, per disaccoppiare l'accelerazione dalla reazione normale. La reazione normale è SEMPRE perpendicolare alla traiettoria, quindi si, ha la formula che hai scirtto tu.

Semplicemente nel caso di un piano inclinato la normale non bilancia la forza peso, e infatti la massa scende lungo il piano inclinato, altrimenti rimarrebbe ferma.

[Mr.Mazzarr]

Quindi si tiene conto solo della componente riguardante il seno dell'angolo.
La forza vincolare è perpendicolare ma di verso opposto alla componente perpendicolare della forza peso, giusto?

[Flamber]

No, la reazione vincolare, tiene conto dell'attrito, e della reazione normale.

In questo caso non c'è attrito, quindi la reazione vincolare coincide con la reazione normale, ma in generale non è così.

nel caso del piano inclianto (ponendo l'asse x lungo la traiettoria, come si fa normalmente in questi casi), la componente su y della reazione normale bilancia perfettamente la componente su y della forza peso. Ciò che fa scendere il corpo lungo il piano, infatti, è proprio la componente lungo x non bilanciata. Poi se c'è attrito, è anche possibile che sia bilanciata la componente su x della forza di gravità, o se ad esempiò c'è quacuno che tira la massa dall'alto.

[Mr.Mazzarr]

Ah ok, quindi in assenza d'attrito (come in questo caso), la reazione normale coincide con la reazione vincolare.

Grazie mille Flamber!