Piano inclinato, corpo in salita con attrito
Ciao a tutti, ho qualche difficoltà con questo problema:
Un corpo viene spinto lungo un piano inclinato scabro (con angolo pari a 30 gradi) con una velocità iniziale di 5 m/s. Considerando che il coefficiente di attrito dinamico è pari a 0,9, quale altezza raggiungerà il corpo prima di fermarsi?
Ora, io inizialmente ho considerato la conservazione dell'energia, uguagliando energia cinetica iniziale e potenziale finale, con cui poi avrei trovato l'altezza. Il ragionamento è chiaramente sbagliato, sia perché i risultati non tornano, sia perché fra i dati c'è anche la velocità che io non ho usato. Quindi ho provato con il bilancio delle forze: forza applicata meno forza peso meno forza di attrito uguale a zero. Con questa però otterrei solo l'accelerazione, di cui non saprei cosa fare
Un aiutino?
Un corpo viene spinto lungo un piano inclinato scabro (con angolo pari a 30 gradi) con una velocità iniziale di 5 m/s. Considerando che il coefficiente di attrito dinamico è pari a 0,9, quale altezza raggiungerà il corpo prima di fermarsi?
Ora, io inizialmente ho considerato la conservazione dell'energia, uguagliando energia cinetica iniziale e potenziale finale, con cui poi avrei trovato l'altezza. Il ragionamento è chiaramente sbagliato, sia perché i risultati non tornano, sia perché fra i dati c'è anche la velocità che io non ho usato. Quindi ho provato con il bilancio delle forze: forza applicata meno forza peso meno forza di attrito uguale a zero. Con questa però otterrei solo l'accelerazione, di cui non saprei cosa fare
Un aiutino?
Risposte
Puoi usare sia l'approccio energetico che scrivere l'equazione di Newton e calcolare l'accelerazione da cui, nota la velocità iniziale puoi ricavare il tempo in cui la velocità si annulla, poi lo spazio percorso in quel tempo, e infine l'altezza.
L'approccio energetico è sicuramente quello più breve. Non ho capito perché dici che non useresti la velocità iniziale, hai detto anche tu che devi calcolare l'energia cinetica iniziale quindi la velocità ti serve eccome.
L'approccio energetico è sicuramente quello più breve. Non ho capito perché dici che non useresti la velocità iniziale, hai detto anche tu che devi calcolare l'energia cinetica iniziale quindi la velocità ti serve eccome.
Mi associo a Faussone nel chiederti, incuriosito, come hai calcolato l'energia cinetica senza usare la velocità 
Non sono del tutto sicuro d come gestire la faccenda con l'energia, dal momento che c'è la forza di attrito in mezzo: eccoti l'approccio con l'accelerazione e la legge oraria:
Considera la forza totale agente sul punto in un qualsiasi istante durante il suo moto sul piano inclinato; essa si ottiene sommando la componente della gravità parallela al piano inclinato con la forza di attrito. Da qui ricavi che l'accelerazione totale del corpo è, in modulo, pari a $g cos(30°) + \mu_d g sin(30°)$, dove $mu_d$ è il coefficiente di attrito dinamico.
Ora un passaggino teorico: le forze agenti sul corpo sono costanti, quindi anche l'accelerazione lo sarà. Pertanto la legge oraria del corpo è della forma $s(t) = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2$, dove $v_0$ è la velocità iniziale ed $a$ l'accelerazione. ATTENZIONE: non ho indicato il segno di a: esso sarà + se l'accelerazione è concorde al moto, mentre sarà - se essa si oppone al moto, come in questo caso. Inoltre il corpo parte dalla posizione $s_0 = 0$.
Quindi il nostro corpo avrà questa legge oraria:
$s(t) = 5 t - g/4 (sqrt(3) + 0.9) t^2$
Ora, tu vuoi sapere il massimo di questa funzione: deriva ed annulla la derivata.
$s'(t) = 5 - g/2 (sqrt(3) + 0.9) t = 0 <=> t=10/(g(sqrt(3) + 0.9))$
il t così trovato è l'istante di tempo nel quale il corpo ha raggiunto la massima distanza sul piano inclinato, prima di essere completamente fermato dalle forze avverse al moto.
sostituisci questo t nell'espressione di s(t) di prima ed hai trovato la distanza massima percorsa dal punto sul piano inclinato. In caso ti occorra l'altezza dal suolo basterà moltiplicare il risultato di prima per sin(30°)
Non sono del tutto sicuro d come gestire la faccenda con l'energia, dal momento che c'è la forza di attrito in mezzo: eccoti l'approccio con l'accelerazione e la legge oraria:
Considera la forza totale agente sul punto in un qualsiasi istante durante il suo moto sul piano inclinato; essa si ottiene sommando la componente della gravità parallela al piano inclinato con la forza di attrito. Da qui ricavi che l'accelerazione totale del corpo è, in modulo, pari a $g cos(30°) + \mu_d g sin(30°)$, dove $mu_d$ è il coefficiente di attrito dinamico.
Ora un passaggino teorico: le forze agenti sul corpo sono costanti, quindi anche l'accelerazione lo sarà. Pertanto la legge oraria del corpo è della forma $s(t) = s_0 + v_0 t + 1/2 a t^2$, dove $v_0$ è la velocità iniziale ed $a$ l'accelerazione. ATTENZIONE: non ho indicato il segno di a: esso sarà + se l'accelerazione è concorde al moto, mentre sarà - se essa si oppone al moto, come in questo caso. Inoltre il corpo parte dalla posizione $s_0 = 0$.
Quindi il nostro corpo avrà questa legge oraria:
$s(t) = 5 t - g/4 (sqrt(3) + 0.9) t^2$
Ora, tu vuoi sapere il massimo di questa funzione: deriva ed annulla la derivata.
$s'(t) = 5 - g/2 (sqrt(3) + 0.9) t = 0 <=> t=10/(g(sqrt(3) + 0.9))$
il t così trovato è l'istante di tempo nel quale il corpo ha raggiunto la massima distanza sul piano inclinato, prima di essere completamente fermato dalle forze avverse al moto.
sostituisci questo t nell'espressione di s(t) di prima ed hai trovato la distanza massima percorsa dal punto sul piano inclinato. In caso ti occorra l'altezza dal suolo basterà moltiplicare il risultato di prima per sin(30°)
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