Piano inclinato
Ragazzi mi servirebbe un aiuto con questo problema..premetto che oltre ad essere risolto fisicamente, mi servirebbe che qualcuno lo risolvesse tramite uno(o più) dei seguenti metodi di matematica/fisica computazionalescrivo i tre probabili metodi con il quale potrebbe essere risolto, ma non conosco quale di questi debba essere usato, e sopratutto come debba essere usato per risolvere il problema)
1)Ricerca degli zeri di una funzione
2)Soluzione di equazioni differenziali
3)Metodi di montecarlo
(In pratica questo è un esercizio datomi dal professore di Fisica computazionale, il quale vuole che io scriva un programma in linux dopo aver trovato un metodo per la risoluzione del problema, sia fisicamente, sia dal punto di vista della matematica computazionale)
AIUTATEMI PERFAVORE
Ecco il problema:
Determinare l'angolo "teta" che permette al sistema in figura(allegata) di mantenersi in equilibrio ipotizzando che:
Q=250 Kg
A=2000 Kg
P=1600 Kg
Supporre che il sistema non sia soggetto ad attriti, e di trascurare le masse dei cavi e delle pulegge, e che il cavo AB si mantenga parallelo al piano inclinato mentre il cavo AC si mantenga orizzontale
1)Ricerca degli zeri di una funzione
2)Soluzione di equazioni differenziali
3)Metodi di montecarlo
(In pratica questo è un esercizio datomi dal professore di Fisica computazionale, il quale vuole che io scriva un programma in linux dopo aver trovato un metodo per la risoluzione del problema, sia fisicamente, sia dal punto di vista della matematica computazionale)
AIUTATEMI PERFAVORE
Ecco il problema:
Determinare l'angolo "teta" che permette al sistema in figura(allegata) di mantenersi in equilibrio ipotizzando che:
Q=250 Kg
A=2000 Kg
P=1600 Kg
Supporre che il sistema non sia soggetto ad attriti, e di trascurare le masse dei cavi e delle pulegge, e che il cavo AB si mantenga parallelo al piano inclinato mentre il cavo AC si mantenga orizzontale
Risposte
Il metodo 1), direi. E' un problema di statica, dunque un po' di algebra e di trigonometria dovrebbero bastare.
"Falco5x":
Il metodo 1), direi. E' un problema di statica, dunque un po' di algebra e di trigonometria dovrebbero bastare.
Ti ringrazio per la rapida risposta, ora però mi servirebbe qualcosa di più concreto a livello di calcoli:
Saresti così gentile da "darmi una mano" nello svolgimento?
GRAZIE!
La somma delle forze sul blocco da 2000 kg deve essere nulla.
Le forze che agiscono sul blocco sono:
la trazione orizzontale verso sinistra di 250 kg
la trazione verso alto-destra con angolo $\theta$ di 1600 kg
la forza peso del blocco verticale verso il basso di 2000 kg
la reazione di appoggio del piano che è normale al piano stesso, quindi diretta verso l'alto-sinistra con angolo $\theta$ rispetto alla verticale
L'unica forza non immediatamente nota è quest'ultima, perché il suo valore dipende da $\theta$.
Allora comincia a disegnare le frecce corrispondenti a queste forze partendo dal punto iniziale A una di seguito all'altra. Se segui l'ordine che ho indicato io la reazione di appoggio del piano deve chiudere il poligono e riportare in A (somma delle forze pari a zero).
Adesso con un po' di trigonometria scrivi le relazioni tra le lunghezze che compaiono nel disegno. Deve uscire una formula nella quale l'unica incognita sarà $\theta$ (o meglio alcune funzioni trigonometriche di $\theta$). Scegli la funzione trigonometrica che ti piace di più (ad esempio il seno) e sostituisci le altre in funzione di questa. A questo punto uscirà un'equazione di secondo grado avente come incognita $sin\theta$. Risolvila e troverai due angoli possibili. Ritorna sulla prima equazione che hai scritto e verifica quale di questi due angoli la soddisfa. L'altro angolo uscito dall'equazione di secondo grado è farlocco e non interessa, deriva solo dalle manipolazioni successive che hai fatto all'equazione originaria.
Se non ti è tutto chiaro bussa pure di nuovo.
Le forze che agiscono sul blocco sono:
la trazione orizzontale verso sinistra di 250 kg
la trazione verso alto-destra con angolo $\theta$ di 1600 kg
la forza peso del blocco verticale verso il basso di 2000 kg
la reazione di appoggio del piano che è normale al piano stesso, quindi diretta verso l'alto-sinistra con angolo $\theta$ rispetto alla verticale
L'unica forza non immediatamente nota è quest'ultima, perché il suo valore dipende da $\theta$.
Allora comincia a disegnare le frecce corrispondenti a queste forze partendo dal punto iniziale A una di seguito all'altra. Se segui l'ordine che ho indicato io la reazione di appoggio del piano deve chiudere il poligono e riportare in A (somma delle forze pari a zero).
Adesso con un po' di trigonometria scrivi le relazioni tra le lunghezze che compaiono nel disegno. Deve uscire una formula nella quale l'unica incognita sarà $\theta$ (o meglio alcune funzioni trigonometriche di $\theta$). Scegli la funzione trigonometrica che ti piace di più (ad esempio il seno) e sostituisci le altre in funzione di questa. A questo punto uscirà un'equazione di secondo grado avente come incognita $sin\theta$. Risolvila e troverai due angoli possibili. Ritorna sulla prima equazione che hai scritto e verifica quale di questi due angoli la soddisfa. L'altro angolo uscito dall'equazione di secondo grado è farlocco e non interessa, deriva solo dalle manipolazioni successive che hai fatto all'equazione originaria.
Se non ti è tutto chiaro bussa pure di nuovo.
Si il tuo ragionamento non fa una piega, qualcosa di simile lo avevo abbozzato anche prima, però praticamente quando vado a fare i conti, noto che mi serve assolutamente la lunghezza del piano...Probabilmente sbaglierò, però ecco cosa ottengo:
In A avrò che la forza Peso che contribuisce è solo quella orizzontale ovvero uguale alla massa di A moltiplicata per "g" moltiplicata per il sin(teta)...ovvero "mgsin(teta)"
Per quanto riguarda il corpo Q, necessariamente a quanto ne so io, trigonometricamente devo conoscere la lunghezza o l'altezza pel piano per poter conoscere la trazione orizzontale ed applicare la formula...
Mentre poi per il corpo di destra(P) sappiamo che la trazione verso alto-destra è proprio uguale alla massa di P moltiplicata per g, ovvero "mg"...
Sicuramente starò sbagliando in qualcosa...Ti prego di darmi ancora una mano, visto che hai avuto la gentilezza di rispondermi e di indirizzarmi sulla giusta strada...
GRAZIE
In A avrò che la forza Peso che contribuisce è solo quella orizzontale ovvero uguale alla massa di A moltiplicata per "g" moltiplicata per il sin(teta)...ovvero "mgsin(teta)"
Per quanto riguarda il corpo Q, necessariamente a quanto ne so io, trigonometricamente devo conoscere la lunghezza o l'altezza pel piano per poter conoscere la trazione orizzontale ed applicare la formula...
Mentre poi per il corpo di destra(P) sappiamo che la trazione verso alto-destra è proprio uguale alla massa di P moltiplicata per g, ovvero "mg"...
Sicuramente starò sbagliando in qualcosa...Ti prego di darmi ancora una mano, visto che hai avuto la gentilezza di rispondermi e di indirizzarmi sulla giusta strada...
GRAZIE
Alcuni consigli.
Per prima cosa lascia perdere gli mg, usa direttamente le masse che fai prima, come dire che le forze invece che in Newton saranno calcolate in kgf, ma così i numeri sono più semplici e ci si capisce meglio.
Secondo: non capisco perché devi conoscere la lunghezza del piano: la trazione della massa Q è 250 kgf in senso orizzontale verso sinistra, punto e basta.
Terzo: il peso del corpo è 2000 kgf verso il basso, fine delle elucubrazioni (quando mai il peso va da un'altra parte???)
Quarto: la reazione del piano è normale al piano, tu sai solo questo, non sai quanto vale. Però sai che il poligono complessivo di forze è un poligono chiuso, cioè la risultante è nulla. Questo ti deve bastare.
Se non ti basta.... non mi resta che postarti il disegno delle forze e poi i calcoli, ma prima di farlo preferirei che ci arrivassi da solo.
Ciao
Per prima cosa lascia perdere gli mg, usa direttamente le masse che fai prima, come dire che le forze invece che in Newton saranno calcolate in kgf, ma così i numeri sono più semplici e ci si capisce meglio.
Secondo: non capisco perché devi conoscere la lunghezza del piano: la trazione della massa Q è 250 kgf in senso orizzontale verso sinistra, punto e basta.
Terzo: il peso del corpo è 2000 kgf verso il basso, fine delle elucubrazioni (quando mai il peso va da un'altra parte???)
Quarto: la reazione del piano è normale al piano, tu sai solo questo, non sai quanto vale. Però sai che il poligono complessivo di forze è un poligono chiuso, cioè la risultante è nulla. Questo ti deve bastare.
Se non ti basta.... non mi resta che postarti il disegno delle forze e poi i calcoli, ma prima di farlo preferirei che ci arrivassi da solo.
Ciao
Non so che dire 
Ho sempre svolto i problemi scomponedo la forza peso in forza peso orizzontale e forza peso verticale, poichè sò che non tutta la forza peso agisce sullo scivolamento, ma solo la sua componente orizzontale(che in questo caso è parallela al piano inclinato)...
Per quanto riguarda Q, invece non dovrei calcolarmi sempre la sua componente verticale visto che la forza non è diretta paralellamente al piano ma parallelamente al terreno d'appoggio?
Almeno io sono sempre stato abituato a ragionare in questo modo, ovvero a scomporre le componenti ed a considerare solamente le componenti che "entrano in gioco"
L'unica equazione che potrei scrivere ed alla quale riesco ad arrivare è la seguente, della quale non sono particolamente convinto...Se è sbagliata ti prego di farmi vedere il procedimento giusto, la tua gentilezza non ha limiti...
Ecco:
m(a)=massa di A
m(p)=massa di P
m(q)=massa di Q
g=9.8 m/s^2
m(a)*g*sin(teta)+m(p)*g+[(m(q)*g)/sin(teta)]=0
m(a)*g*sin(teta)^2+m(p)*g*sin(teta)+m(q)*g=0
E' questa che devo andare a risolvere?
GRAZIE!
Ho sempre svolto i problemi scomponedo la forza peso in forza peso orizzontale e forza peso verticale, poichè sò che non tutta la forza peso agisce sullo scivolamento, ma solo la sua componente orizzontale(che in questo caso è parallela al piano inclinato)...
Per quanto riguarda Q, invece non dovrei calcolarmi sempre la sua componente verticale visto che la forza non è diretta paralellamente al piano ma parallelamente al terreno d'appoggio?
Almeno io sono sempre stato abituato a ragionare in questo modo, ovvero a scomporre le componenti ed a considerare solamente le componenti che "entrano in gioco"
L'unica equazione che potrei scrivere ed alla quale riesco ad arrivare è la seguente, della quale non sono particolamente convinto...Se è sbagliata ti prego di farmi vedere il procedimento giusto, la tua gentilezza non ha limiti...
Ecco:
m(a)=massa di A
m(p)=massa di P
m(q)=massa di Q
g=9.8 m/s^2
m(a)*g*sin(teta)+m(p)*g+[(m(q)*g)/sin(teta)]=0
m(a)*g*sin(teta)^2+m(p)*g*sin(teta)+m(q)*g=0
E' questa che devo andare a risolvere?
GRAZIE!
Il principio fondamentale è che la somma delle forze deve essere nulla. Questo calcolo si può fare in vari modi, sia usando le forze originarie sia scomponendole secondo due direzioni prefissate e considerare le somme delle componenti. Si fa come meglio piace o risulta intuitivo.
Se per te è più intuitivo questo metodo della scomposizione in componenti ortogonali (parallela e ortogonale al piano inclinato) va bene anche questa.
Allora per la componente parallela al piano inclinato la prima delle due equazioni che hai scritto mi risulta però sbagliata.
Io direi piuttosto:
$m_Asin\theta+m_Qcos\theta-m_P=0$
Però adesso devi trasformare il coseno in seno, per cui conviene portare il coseno a secondo membro ed elevare entrambi i membri al quadrato, e poi sostituire il coseno e risolvere l'equazione in seno.
Questo metodo va bene però a rigore occorrerebbe anche verificare la componente ortogonale al piano inclinato per verificare se il blocco resta davvero appiccicato al piano. Questa verifica non serve a risolvere il problema però sarebbe da fare per sicurezza. In sostanza basta verificare se con l'angolo che esce dal primo calcolo viene assicurata anche la relazione $m_Acos\theta>m_Qsin\theta$. Se questa diseguaglianza si verifica il blocco A resta davvero fermo.
Se per te è più intuitivo questo metodo della scomposizione in componenti ortogonali (parallela e ortogonale al piano inclinato) va bene anche questa.
Allora per la componente parallela al piano inclinato la prima delle due equazioni che hai scritto mi risulta però sbagliata.
Io direi piuttosto:
$m_Asin\theta+m_Qcos\theta-m_P=0$
Però adesso devi trasformare il coseno in seno, per cui conviene portare il coseno a secondo membro ed elevare entrambi i membri al quadrato, e poi sostituire il coseno e risolvere l'equazione in seno.
Questo metodo va bene però a rigore occorrerebbe anche verificare la componente ortogonale al piano inclinato per verificare se il blocco resta davvero appiccicato al piano. Questa verifica non serve a risolvere il problema però sarebbe da fare per sicurezza. In sostanza basta verificare se con l'angolo che esce dal primo calcolo viene assicurata anche la relazione $m_Acos\theta>m_Qsin\theta$. Se questa diseguaglianza si verifica il blocco A resta davvero fermo.
Ho capito il ragionamento e ti ringrazio tanto!
Alla fine ottengo una cosa del genere $ sin^2(theta)= ((m(P)^2-m(Q)^2)/(m(A)^2-m(Q)^2)) $ Tutto questo poichè secondo i miei calcoli, l'accellerazione di gravità (g) si semplifica...
Quindi estraggo la radice e prendo solamente quella positiva vero?
Quindi prendo:
$ sin(theta)= sqrt [(m(P)^2-m(Q)^2)/(m(A)^2-m(Q)^2)] $ (la radice è anche al denominatore
ma non sapevo come farla uscire in simboli matematici )
Poi ovviamente faccio l'arcoseno ed ottengo l'angolo giusto?
Grazie dell'aiuto, sei stato veramente gentilissimo...
Alla fine ottengo una cosa del genere $ sin^2(theta)= ((m(P)^2-m(Q)^2)/(m(A)^2-m(Q)^2)) $ Tutto questo poichè secondo i miei calcoli, l'accellerazione di gravità (g) si semplifica...
Quindi estraggo la radice e prendo solamente quella positiva vero?
Quindi prendo:
$ sin(theta)= sqrt [(m(P)^2-m(Q)^2)/(m(A)^2-m(Q)^2)] $ (la radice è anche al denominatore
ma non sapevo come farla uscire in simboli matematici )Poi ovviamente faccio l'arcoseno ed ottengo l'angolo giusto?
Grazie dell'aiuto, sei stato veramente gentilissimo...
Mah, forse hai fatto qualche errore di calcolo, se prendo il tuo angolo e lo metto nell'equazione originaria non mi pare che torni...
Prova un po' a verificare anche tu.
Ciao
Prova un po' a verificare anche tu.
Ciao
Vero...mamma mia che errore stupido che ho fatto!
L'equazione risolutiva è quindi la seguente:
$ m(a)^2*sin^2(theta) - 2*m(a)*m(p)*sin(theta) + m(p)^2 = m(q)*(1-sin^2(theta)) $
Questa qui metto a fattor comune il seno^2 , e la risolvo come una equazione di 2 grado, trovo i due valori del seno, e faccio l'arcoseno pèer trovare l'angolo...
Poi per la soluzione come faccio a capire quale devo prendere?
Probabilmente ci sarà un valore totalmente sballato, ma come lo giustifico?
Hai veramente tanta pazienza...fossero così pazienti anche i miei professori!
L'equazione risolutiva è quindi la seguente:
$ m(a)^2*sin^2(theta) - 2*m(a)*m(p)*sin(theta) + m(p)^2 = m(q)*(1-sin^2(theta)) $
Questa qui metto a fattor comune il seno^2 , e la risolvo come una equazione di 2 grado, trovo i due valori del seno, e faccio l'arcoseno pèer trovare l'angolo...
Poi per la soluzione come faccio a capire quale devo prendere?
Probabilmente ci sarà un valore totalmente sballato, ma come lo giustifico?
Hai veramente tanta pazienza...fossero così pazienti anche i miei professori!
"krampuler":
Poi per la soluzione come faccio a capire quale devo prendere?
Probabilmente ci sarà un valore totalmente sballato, ma come lo giustifico?
Hai veramente tanta pazienza...fossero così pazienti anche i miei professori!
E' semplice: prendi l'angolo e inseriscilo nell'equazione originaria, quella col seno e il coseno: se la soddisfa è buono altrimenti no.
Esce un angolo fasullo perché hai elevato al quadrato, ma uno dei due angoli che trovi è sicuramente buono.
Ho pazienza proprio perché non sono un professore.
Quando uno fa qualcosa per mestiere alla fine non ne può più, io invece lo faccio per divertimento.
Ciao.
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