Pianeta in moto intorno al Sole

[E-3131]

Un pianeta in moto intorno al Sole descrive un'orbita ellittica di cui il Sole occupa un fuoco; i semiassi dell'ellisse sono a e b, rispettivamente. Si determini il valore dell'accelerazione centripeta del pianeta in un punto P=(x,y), della sua orbita sapendo che il modo si svolge con velocità areolare costante S' (S' sarebbe la velocità areolare costante).

La mia idea è stata: manipolare $ x^2/a^2+y^2/b^2=1 $ Però derivandola una volta, ho ottenuto $ (xdot(x))/a^2 +(ydot(y))/b^2=0 $ però il significato di questa sarebbe la somma delle velocità? Poi usare in qualche modo il modulo della velocità $V^2=(dot(x))^2+(dot(y))^2 $. Se qualcuno mi potrebbe indirizzare su quale strada seguire?
Grazie

[mazzarri1]

ciao E313

Uguaglierei la forza centripeta con la forza attrattiva newtoniana

$mv^2/r=G(mM_s)/r^2$

da cui

$a_c = v^2/r = G M_s 1/r^2$

quindi la accelerazione centripeta dipende dall'inverso del quadrato della distanza

In ogni punto della ellisse (x,y) definisci un raggio vettore $r$ e hai risolto

[E-3131]

Ho dimenticato a dire che l'esercizio sta nel capito della cinematica del punto materiale e le leggi di Newton non sono state ancora introdotte.
Il risultato è: $ a_c=(a(S')^2[1+(a^2-b^2)y^2/b^4]ba^4)/(y^2+x^2+a^2-b^2+2xsqrt(a+b))*1/[a^4+(b^2-a^2)x^2]^(3/2) $

[Falco5x]

Mi sembra un esercizio un po' fuori di testa, più geometrico sull'ellisse che fisico.
A parte il fatto che la soluzione proposta non torna nemmeno dimensionalmente. Ad esempio al primo denominatore non ha senso sommare lunghezze al quadrato con una lunghezza, l'ultima, elevata a 3/2. E la dimensione finale, se ben interpreto, non torna nemmeno con quella di un'accelerazione.

[E-3131]

Tutto il capitolo è basato sul saper usare derivate e integrali per ricavarsi velocità, accelerazione, traiettoria e così via; quindi presuppongo che è quello lo scopo dell'esercizio, ma a me manca l'approccio iniziale al problema.
Non torna perché ho sbagliato a copiare, ho aggiunto qualche dimensione in più. Questo è quello giusto, che adesso torna.
$ a_c=(4(S')^2[1+(a^2-b^2)y^2/b^4])/(y^2+x^2+a^2-b^2+2xsqrt(a^2-b^2))*(ba^4)/([a^4+(b^2-a^2)x^2]^(3/2) $

[Light_1]

L'esercizio è veramente orrendo.

Puoi provare per esempio a scrivere

$ x^2/a^2+y^2/b^2=1rArr y=+-bsqrt(1-(x^2)/a^2 $

Calcolarti le due componenti della velocità per poi sfruttare giustamente

$ a_c=v^2/r $

[Falco5x]

Io direi che per calcolare l'accelerazione centripeta in un punto qualsiasi della traiettoria occorrerebbe trovare la velocità, desumendola dalla derivata della superficie nel tempo, cosa non facile, e poi trovare la curvatura nello stesso punto. L'accelerazione centripeta dovrebbe essere uguale alla velocità al quadrato moltiplicata per la curvatura. Il tutto in coordinate cartesiane! Roba da matti, mi rifiuto di fare un calcolo del genere.