Perturbazione con spin
Buonasera a tutti, avrei un dubbio riguardo il seguente esercizio:
Data una particella in 2d di spin 1/2, essa è soggetta a un potenziale del tipo $ V(vecr) = 1/2mw^2(vecr \cdot vecr) $ e a un termine perturbativo $ H = alphax^2sigma_x $ . Vengono chiesti i livelli energetici del primo eccitato in teoria perturbativa.
Ora, il potenziale è praticamente un potenziale centrale, che posso scrivere come $ V = 1/2mw^2r^2 = 1/2mw^2(x^2 + y^2) $ , analogo a quello dell'oscillatore bidimensionale. Dunque i livelli energetici dell'Hamiltoniana imperturbata sono $ E_n = hw(n_x + n_y +1) $ e il primo eccitato avrà energia $ E_1 = 2hw $ e la base di autovettori degeneri sarà data da $ {| 10>, | 01>} ox {| +> , | - >} $ , questo perchè la particella ha spin 1/2. Per chiarire la notazione, $ | +> = ( (1), (0) ) $ e $ | - > = ( (0), (1) ) $ . Ricordo che $ sigma_x = ( ( 0 , 1 ),( 1, 0 ) ) $ .
La mia nuova base è allora la seguente: $ {| 1,0,+> , | 1,0,- >, |0,1,+> ,| 0,1,- >} $ , la dim=4 si trova dal prodotto tensoriale.
Ora, devo applicare la teoria delle perturbazioni degeneri. La mia matrice di cui poi calcolerò autovettori/valori sarà del tipo:
$ ( ( <1,0,+| , x^2sigma_x| , 1,0,+> , .),( . , . , . , . ),( ., . , . , .),( . , , , <0,1x^2sigma_x| 0,1,- > ) ) $
Provo a calcolare il primo termine:
$ <1,0,+| alphax^2sigma_x| 1,0,+> = alpha h/(2mw)<1,0| (a_(+,x))^2 + (a_(-,x))^2 + a_(-,x)a_(+,x) + a_(+,x)a_(-,x)| 1,0> ox <+| sigma_x| +> $
Ora, se provo a calcolare $ <+| sigma_x| +> $ ottengo:
$ ( (1), (0) ) ^T ( ( 0 , 1),( 1 , 0 ) ) ( (1), (0) ) = ( (1), (0) ) ^T( (0), (1) ) = 0 $ , qui mi sono bloccato perché la soluzione dell'esercizio mi dice " $ sigma_x $ lascia invariato lo spin", cosa che facendo il conto non mi trovo. Dove ho sbagliato?
Data una particella in 2d di spin 1/2, essa è soggetta a un potenziale del tipo $ V(vecr) = 1/2mw^2(vecr \cdot vecr) $ e a un termine perturbativo $ H = alphax^2sigma_x $ . Vengono chiesti i livelli energetici del primo eccitato in teoria perturbativa.
Ora, il potenziale è praticamente un potenziale centrale, che posso scrivere come $ V = 1/2mw^2r^2 = 1/2mw^2(x^2 + y^2) $ , analogo a quello dell'oscillatore bidimensionale. Dunque i livelli energetici dell'Hamiltoniana imperturbata sono $ E_n = hw(n_x + n_y +1) $ e il primo eccitato avrà energia $ E_1 = 2hw $ e la base di autovettori degeneri sarà data da $ {| 10>, | 01>} ox {| +> , | - >} $ , questo perchè la particella ha spin 1/2. Per chiarire la notazione, $ | +> = ( (1), (0) ) $ e $ | - > = ( (0), (1) ) $ . Ricordo che $ sigma_x = ( ( 0 , 1 ),( 1, 0 ) ) $ .
La mia nuova base è allora la seguente: $ {| 1,0,+> , | 1,0,- >, |0,1,+> ,| 0,1,- >} $ , la dim=4 si trova dal prodotto tensoriale.
Ora, devo applicare la teoria delle perturbazioni degeneri. La mia matrice di cui poi calcolerò autovettori/valori sarà del tipo:
$ ( ( <1,0,+| , x^2sigma_x| , 1,0,+> , .),( . , . , . , . ),( ., . , . , .),( . , , , <0,1x^2sigma_x| 0,1,- > ) ) $
Provo a calcolare il primo termine:
$ <1,0,+| alphax^2sigma_x| 1,0,+> = alpha h/(2mw)<1,0| (a_(+,x))^2 + (a_(-,x))^2 + a_(-,x)a_(+,x) + a_(+,x)a_(-,x)| 1,0> ox <+| sigma_x| +> $
Ora, se provo a calcolare $ <+| sigma_x| +> $ ottengo:
$ ( (1), (0) ) ^T ( ( 0 , 1),( 1 , 0 ) ) ( (1), (0) ) = ( (1), (0) ) ^T( (0), (1) ) = 0 $ , qui mi sono bloccato perché la soluzione dell'esercizio mi dice " $ sigma_x $ lascia invariato lo spin", cosa che facendo il conto non mi trovo. Dove ho sbagliato?
Risposte
Ciao, quando scrivi:
intendi dire che ti saresti aspettato una matrice diagonale? se così fosse, direi che non è corretto: vorrebbe dire che la base dello spin che stai usando (che immagino sia la base di Sz) è simultaneamente una base per Sx e Sz, cosa che non può essere vera dato che le due osservabili non commutano e, quindi, una base comune non può esistere.
Se usi come base per lo spin la base di autostati di Sx il problema è molto banale (in questa base gli elementi di matrice della perturbazione sono diagonali sottospazio degenere). Altrimenti si tratta di diagonalizzare la matrice e troverai che gli autostati di ordine 0 dell'energia sono autostati di Sx.
qui mi sono bloccato perché la soluzione dell'esercizio mi dice " σx lascia invariato lo spin"
intendi dire che ti saresti aspettato una matrice diagonale? se così fosse, direi che non è corretto: vorrebbe dire che la base dello spin che stai usando (che immagino sia la base di Sz) è simultaneamente una base per Sx e Sz, cosa che non può essere vera dato che le due osservabili non commutano e, quindi, una base comune non può esistere.
Se usi come base per lo spin la base di autostati di Sx il problema è molto banale (in questa base gli elementi di matrice della perturbazione sono diagonali sottospazio degenere). Altrimenti si tratta di diagonalizzare la matrice e troverai che gli autostati di ordine 0 dell'energia sono autostati di Sx.
ma infatti io sto pensando a un banale refuso, perché nel problema lui calcola la perturbazione "spaziale" poi quella sullo spin e poi ne fa il prodotto tensore(che in questo caso si riduce a semplicemente moltiplicare i due risultati numerici che sono usciti). Infatti, siccome la base è quella che diagonalizza Sz e S^2, immagino che per scrivere nella soluzione "lo spin viene lasciato invariato" penso che si tratti di $ sigma_z $ non $sigma_x$ a dire il vero, anche perché non vedo nella traccia ipotesi iniziali sulla base di $ hatH_(sp) $ in cui è scritta.
Tra l'altro, è giusto agire così su questi problemi? Cioè dopo aver scritto la base del prodotto tensoriale delle due Hamiltoniane, sul singolo elemento di matrice è giusto "separare" la parte di perturbazione spaziale da quella di spin e poi moltplicare i risultati numerici ottenuti? Poi naturalmente diagonalizzare la matrice di perturbazione dopo averla ricavata col metodo a cui faccio riferimento sopra
Tra l'altro, è giusto agire così su questi problemi? Cioè dopo aver scritto la base del prodotto tensoriale delle due Hamiltoniane, sul singolo elemento di matrice è giusto "separare" la parte di perturbazione spaziale da quella di spin e poi moltplicare i risultati numerici ottenuti? Poi naturalmente diagonalizzare la matrice di perturbazione dopo averla ricavata col metodo a cui faccio riferimento sopra
Non vedo errori nel procedimento per il momento, si tratta solo di svolgere i calcoli.
ps nazi mode: on
l'operatore non dipende dalla base. Diverso invece quando lo rappresenti esplicitamente in una base (cioé, ne prendi gli elementi di matrice) come quando scrivi \(\langle +| \sigma_x| +\rangle\) però è - diciamo così - tutto nelle tue mani, puoi decidere tu la base più conveniente da utilizzare.
Non voglio confondere ulteriormente le idee (ma spero che siano cose ben note), quindi diciamo che hai scritto una base in cui S^2 e Sz sono diagonali.
ps nazi mode: on
anche perché non vedo nella traccia ipotesi iniziali sulla base di Hˆsp in cui è scritta.
l'operatore non dipende dalla base. Diverso invece quando lo rappresenti esplicitamente in una base (cioé, ne prendi gli elementi di matrice) come quando scrivi \(\langle +| \sigma_x| +\rangle\) però è - diciamo così - tutto nelle tue mani, puoi decidere tu la base più conveniente da utilizzare.
Non voglio confondere ulteriormente le idee (ma spero che siano cose ben note), quindi diciamo che hai scritto una base in cui S^2 e Sz sono diagonali.
Perdona per l'errore, andavo di fretta e volevo rendere l'idea, ma si sa la fretta è cattiva consigliera. Grazie mille comunque
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