Perplessità sul Principio di Fermat

[m2d]

Salve a tutti, ho un dubbio riguardo al Principio di Fermat per l'ottica geometrica: non mi è chiaro come si giustifica matematicamente l'esistenza di più curve che rendono stazionario il tempo di percorrenza o che, in altri termini, minimizzano il cammino ottico.
Confrontando le definizioni di vari testi, mi sembra di aver capito che ciò è possibile perché il minimo in questione è un "minimo locale", cioè preso tra tutte le curve infinitamente vicine a quella considerata; questo dovrebbe giustificare la presenza di più curve soluzione.
Quello che non mi è chiaro è: queste curve soluzione hanno lo stesso cammino ottico?
Su un libro che sto usando viene detto che : "In particolare, può succedere che la luce vada dall'oggetto A all'osservatore B seguendo più di un percorso, e in tal caso
B vede più immagini distinte di A; questo fenomeno si verifica, per es., guardando un oggetto attraverso una lente
particolarmente spessa".
Su di un altro viene detto invece che se i vari percorsi(paths) hanno stesso cammino ottico, allora si ottiene la formazione dell'immagine;
non mi è chiaro quindi se i percorsi soluzione hanno necessariamente stesso cammino ottico e se e come questo è legato alla formazione dell'immagine.
Grazie a tutti in anticipo.

[mgrau]

"m2d":
Quello che non mi è chiaro è: queste curve soluzione hanno lo stesso cammino ottico?

Se per esempio consideri un punto luminoso che viene visto attraverso una lente convessa, in condizioni tali che si formi un'immagine reale, allora sì, tutti i percorsi dalla sorgente all'immagine che attraversano la lente hanno lo stesso cammino ottico (in termini di tempo di percorrenza).. In questo caso hai una immagine.
Però potresti anche avere due immagini delle stesso punto, per es. se vedi il punto direttamente e anche riflesso in uno specchio. I due percorsi in questo caso sono diversi. In sostanza direi che ad ogni immagine corrisponde un minimo locale di tempo di percorrenza.
Invece non mi è chiaro quel che dice il libro a proposito delle due immagini in una lente spessa.
E anche nel caso di immagini virtuali dovrei pensarci meglio.

[m2d]

Grazie mille; ancora non mi è chiaro però matematicamente come tutto ciò si giustifichi; grazie alla tua delucidazione, mi è parso di capire che le varie curve soluzione, dovendo rendere stazionario il tempo, hanno il cammino ottico uguale tra di loro(credo che questo si possa vedere sia uguagliando le derivate, che devono fare zero, sia ragionando "fisicamente" in termini di velocità e tempi).
Non mi è chiaro come ciò possa conciliarsi con la definizione che tali percorsi rendano minimo il cammino ottico(e anche il tempo) : essendo minimi locali, cosa mi consente di porre uguali i diversi percorsi descritti dalla luce che minimizzano il cammino ottico in un intorno di quel percorso?
Ad esempio, prendiamo il caso di un raggio mandato verso la superficie rifrangente con un certo angolo e uno con angolo zero: entrambi i raggi rendono minimo il cammino ottico( e anche il tempo) in un loro intorno, perché sono minimi locali, ma chi mi dice che questi due raggi sono uguali?

[mgrau]

"m2d":
Ad esempio, prendiamo il caso di un raggio mandato verso la superficie rifrangente con un certo angolo e uno con angolo zero: entrambi i raggi rendono minimo il cammino ottico( e anche il tempo) in un loro intorno, perché sono minimi locali, ma chi mi dice che questi due raggi sono uguali?

Se ho capito quello che intendi, tu pensi ad una sorgente puntiforme, posta sull'asse di una lente convessa, e due raggi, uno che segue l'asse e uno no, che si ricongiungono nel punto immagine al di là della lente.
Ora, la cosa che mi pare importante non è tanto che i due cammini siano minimi, ma che siano di uguale durata. Proprio il fatto che ci siano molti cammini di uguale durata permette che i raggi si focalizzino nel punto immagine. L'uguale durata rende tutti i percorsi ugualmente percorribili per andare da un punto all'altro.

[m2d]

Adesso mi è più chiaro, praticamente mi focalizzavo sul "problema" sbagliato; dall'uguaglianza temporale(senza cui non sarebbe possibile visualizzare una immagine) si può far discendere quella del cammino ottico e viceversa. Grazie mille per la disponibilità.