Periodo piccole oscillazioni intorno equilibrio stabile
salve ragazzi, stavo svolgendo questo esercizio:
"Il sistema rappresentato in figura è costituito da un’asta di lunghezza $l$ e di dimensioni trasversali trascurabili rispetto ad $l$; la densità lineare di massa della sbarretta è data da $λ = kx$, dove $k$ è una costante ed $x$ è la distanza dall'estremo $O$. All'altro estremo della sbarretta è vincolato rigidamente un disco di massa $M$ e raggio $R$. Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per $O$.
Calcolare, in funzione delle quantità date in precedenza:
a) la massa della sbarretta;
b) la distanza del suo centro di massa da $O$;
c) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema intorno alla sua posizione di equilibrio."
Ho problemi con il punto c... Vi scrivo la soluzione, potreste spiegarmela per favore?:
"Seconda equazione cardinale per piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile:
$I\ddot theta \~= -[mgx_(CM) + Mg(l+R)]theta$. Quindi
$\omega = sqrt((2/3mgl + Mg(l+R))/I)$"
grazie...
"Il sistema rappresentato in figura è costituito da un’asta di lunghezza $l$ e di dimensioni trasversali trascurabili rispetto ad $l$; la densità lineare di massa della sbarretta è data da $λ = kx$, dove $k$ è una costante ed $x$ è la distanza dall'estremo $O$. All'altro estremo della sbarretta è vincolato rigidamente un disco di massa $M$ e raggio $R$. Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale passante per $O$.
Calcolare, in funzione delle quantità date in precedenza:
a) la massa della sbarretta;
b) la distanza del suo centro di massa da $O$;
c) il periodo delle piccole oscillazioni del sistema intorno alla sua posizione di equilibrio."
Ho problemi con il punto c... Vi scrivo la soluzione, potreste spiegarmela per favore?:
"Seconda equazione cardinale per piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile:
$I\ddot theta \~= -[mgx_(CM) + Mg(l+R)]theta$. Quindi
$\omega = sqrt((2/3mgl + Mg(l+R))/I)$"
grazie...
Risposte
A dire il vero quel [tex]\frac{2}{3}[/tex] non capisco di dove esce.
Ad ogni modo...
In un moto oscillatorio si ha:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\theta = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) \\
\dot \theta = - \omega Asen\left( {\omega t + \varphi } \right) \\
\ddot \theta = - {\omega ^2}A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - {\omega ^2}\theta \\
\end{array}[/tex]
Nel caso di un corpo rigido il momento delle forze applicate è pari alla derivata del momento angolare.
Se il corpo è sospeso, il momento della forza peso è pari alla forza stessa moltiplicata per il braccio rispetto al polo.
Per piccole oscillazioni il braccio è pari alla distanza del CM dal polo moltiplicata per l'angolo di deflessione.
In questo caso i corpi sono 2 e quindi si ha:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
I\ddot \theta = \tau = - {b_l}mg - {b_M}Mg = - \left( {{b_l}mg + {b_M}Mg} \right) \\
{b_M} \simeq \left( {l + R} \right)\theta \\
{b_l} \simeq \frac{l}{2}\theta \\
\end{array}[/tex]
Ovvero:
[tex]\displaystyle\ddot \theta = - \frac{{\left( {\frac{l}{2}mg + \left( {l + R} \right)Mg} \right)}}{I}\theta[/tex]
Quindi per confronto tra questa espressione e quella trovata più sopra si ha:
[tex]\displaystyle \omega = \sqrt {\frac{{\frac{l}{2}mg + \left( {l + R} \right)Mg}}{I}}[/tex]
Quindi a me pare che quel [tex]\frac{2}{3}[/tex] vada sostituito da [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Ma forse non ho capito qualcosa io, dunque aspetto che altri dicano la loro.
Ad ogni modo...
In un moto oscillatorio si ha:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\theta = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) \\
\dot \theta = - \omega Asen\left( {\omega t + \varphi } \right) \\
\ddot \theta = - {\omega ^2}A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = - {\omega ^2}\theta \\
\end{array}[/tex]
Nel caso di un corpo rigido il momento delle forze applicate è pari alla derivata del momento angolare.
Se il corpo è sospeso, il momento della forza peso è pari alla forza stessa moltiplicata per il braccio rispetto al polo.
Per piccole oscillazioni il braccio è pari alla distanza del CM dal polo moltiplicata per l'angolo di deflessione.
In questo caso i corpi sono 2 e quindi si ha:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
I\ddot \theta = \tau = - {b_l}mg - {b_M}Mg = - \left( {{b_l}mg + {b_M}Mg} \right) \\
{b_M} \simeq \left( {l + R} \right)\theta \\
{b_l} \simeq \frac{l}{2}\theta \\
\end{array}[/tex]
Ovvero:
[tex]\displaystyle\ddot \theta = - \frac{{\left( {\frac{l}{2}mg + \left( {l + R} \right)Mg} \right)}}{I}\theta[/tex]
Quindi per confronto tra questa espressione e quella trovata più sopra si ha:
[tex]\displaystyle \omega = \sqrt {\frac{{\frac{l}{2}mg + \left( {l + R} \right)Mg}}{I}}[/tex]
Quindi a me pare che quel [tex]\frac{2}{3}[/tex] vada sostituito da [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Ma forse non ho capito qualcosa io, dunque aspetto che altri dicano la loro.
Il procedimento di Falco5x è giusto, solo che la barretta non è omogenea, ma ha una densità lineare distribuita secondo una legge che dipende dalla distanza da O, per cui il centro di massa della barretta non è a $l/2$. Questo spiega il $2/3$ invece di $1/2$ nella soluzione data (credo, non ho voglia di controllare i conti).
'azzz.... non avevo letto bene la prima parte, c'hai proprio raggione Fausso' 
ringrazio entrambi, come sempre molto chiari e precisi!
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