Perché spingendo un pedale indietro la bicicletta va avanti
Dunque la dimostrazione di questo fatto, come da titolo, più o meno me la sono ricavata (anche se secondo me è un po' deboluccia in qualche punto).
Una bicicletta, appoggiata con le ruote su un pavimento orizzontale ruvido, viene mantenuta verticale da un meccanismo che gli impedisce di cadere di lato, ma che la lascia libera di muoversi avanti o indietro. La bici è ferma, con i due pedali nelle posizioni rispettivamente più alta e più bassa possibile. Un fisico curioso si avvicina ed applica una leggera forza orizzontale al pedale inferiore, diretta verso il posteriore della bici. In che senso si muove la bici?
Più che la risposta corretta, si esige una dimostrazione rigorosa.
Per prima cosa mi sono disegnato la bicicletta vista lateralmente, immaginandola col manubrio bloccato ed una sorta di ruote più piccole (stile bici per bambini piccoli per intendersi). Dopo di che ho fatto il diagramma di corpo libero del sistema bici durante l'applicazione della detta forza.
Le forze esterne agenti sono: la gravità, le reazioni vincolari sulle due ruote, le due forze d'attrito statico (se si suppone puro rotolamento con il suolo) e la forza applicata al pedale (la presenza dell'aria è trascurata).
Orizzontalmente vi sono solo 3 forze la forza: d'attrito statico agente sulla ruota anteriore diretta verso il posteriore, la forza sul pedale sempre verso il posteriore, e la forza d'attrito statico agente sulla ruota posteriore diretta verso l'anteriore.
Ora, tutta la fatica è far vedere che la forza d'attrito statico "batte" le altre 2, in modo da affermare per la II legge di Newton che la bici accelera in avanti (di questo fatto ne è prova l'esperienza comune).
Sono riuscito a far vedere che la forza d'attrito statico, agente sulla ruota posteriore, batte la forza fatta sul pedale: La bici è una macchina amplificatrice di forze. In pratica applicando la seconda legge di Newton per il moto rotatorio prima al rocchetto e poi alla corona sui pedali, ci si rende conto che il momento generato dalla tensione superiore agente su un rocchetto viene annullato da quello generato dalla tensione inferiore equiversa ma applicata nel punto diametralmente opposto al rocchetto.
E quindi in linea intuitiva, vi è questa spinta risultante generata dalla somma delle due forze suddette che agisce sul mozzo della ruota anteriore, spingendo il perno in avanti e lasciando ruotare la ruota anteriore grazie alla forza d'attrito anteriore.
I miei dubbi sono sostanzialmente due:
1) Se qualcuno dovesse tagliare la catena, con un taglio operato nella parte di catena più vicina al suolo, l'effetto di macchina amplificatrice di forze svanirebbe, giusto? e quindi la bici dovrebbe andare indietro?
2)La parte finale della mia dimostrazione mi sembra un po' debole. Perché, va bene che è esperienza comune che se spingo un mozzo in avanti la ruota in esso imperniata rotola ecc, ma applicando la seconda legge di Newton come faccio a dire che la forza d'attrito statico posteriore vince sia la forza applicata al pedale più questa d'attrito anteriore? questo però implicherebbe che l'attrito sul posteriore sia maggiore di quello sull'anteriore..
Ringrazio a priori chiunque mi dia una mano!
Una bicicletta, appoggiata con le ruote su un pavimento orizzontale ruvido, viene mantenuta verticale da un meccanismo che gli impedisce di cadere di lato, ma che la lascia libera di muoversi avanti o indietro. La bici è ferma, con i due pedali nelle posizioni rispettivamente più alta e più bassa possibile. Un fisico curioso si avvicina ed applica una leggera forza orizzontale al pedale inferiore, diretta verso il posteriore della bici. In che senso si muove la bici?
Più che la risposta corretta, si esige una dimostrazione rigorosa.
Per prima cosa mi sono disegnato la bicicletta vista lateralmente, immaginandola col manubrio bloccato ed una sorta di ruote più piccole (stile bici per bambini piccoli per intendersi). Dopo di che ho fatto il diagramma di corpo libero del sistema bici durante l'applicazione della detta forza.
Le forze esterne agenti sono: la gravità, le reazioni vincolari sulle due ruote, le due forze d'attrito statico (se si suppone puro rotolamento con il suolo) e la forza applicata al pedale (la presenza dell'aria è trascurata).
Orizzontalmente vi sono solo 3 forze la forza: d'attrito statico agente sulla ruota anteriore diretta verso il posteriore, la forza sul pedale sempre verso il posteriore, e la forza d'attrito statico agente sulla ruota posteriore diretta verso l'anteriore.
Ora, tutta la fatica è far vedere che la forza d'attrito statico "batte" le altre 2, in modo da affermare per la II legge di Newton che la bici accelera in avanti (di questo fatto ne è prova l'esperienza comune).
Sono riuscito a far vedere che la forza d'attrito statico, agente sulla ruota posteriore, batte la forza fatta sul pedale: La bici è una macchina amplificatrice di forze. In pratica applicando la seconda legge di Newton per il moto rotatorio prima al rocchetto e poi alla corona sui pedali, ci si rende conto che il momento generato dalla tensione superiore agente su un rocchetto viene annullato da quello generato dalla tensione inferiore equiversa ma applicata nel punto diametralmente opposto al rocchetto.
E quindi in linea intuitiva, vi è questa spinta risultante generata dalla somma delle due forze suddette che agisce sul mozzo della ruota anteriore, spingendo il perno in avanti e lasciando ruotare la ruota anteriore grazie alla forza d'attrito anteriore.
I miei dubbi sono sostanzialmente due:
1) Se qualcuno dovesse tagliare la catena, con un taglio operato nella parte di catena più vicina al suolo, l'effetto di macchina amplificatrice di forze svanirebbe, giusto? e quindi la bici dovrebbe andare indietro?
2)La parte finale della mia dimostrazione mi sembra un po' debole. Perché, va bene che è esperienza comune che se spingo un mozzo in avanti la ruota in esso imperniata rotola ecc, ma applicando la seconda legge di Newton come faccio a dire che la forza d'attrito statico posteriore vince sia la forza applicata al pedale più questa d'attrito anteriore? questo però implicherebbe che l'attrito sul posteriore sia maggiore di quello sull'anteriore..
Ringrazio a priori chiunque mi dia una mano!
Risposte
Il problema andrebbe risolto scomponendo il sistema in 4 componenti.
(1) Pignonem incluso pedale
(2) Ruota posteriore + rocchetto (assunti solidali l'uno con l'altro)
(3) Telaio
(4) Ruota anteriore.
Se risolvi il diagramma delle forze, tenendo conto dei vincoli cinematici, e' un bel problemino.
Fai attenzione ai seguenti punti. Se supponi che applicando la forza al pedale l'accelerazione sia nel verso opposto alla forza (e alla fine dei calcoli, ti verra negativa, quindi diretta all'indietro), gli attriti delle ruote sono discordi. Sulla ruota posteriore e' diretto in avanti, su quella anteriore all'indietro.
Per quanto riguarda il punto (1) se tagli la catena, non cessa il momento dovuto alla catena nella parte posteriore (almeno fino a che la catena esce dalle ruote dentate. Il tuo ragionamento e' valido peruna cinghia, ma non per una catena.
Tra l'altro, la catena trasmette un momento (negativo) sul pignone pari a $TR_1$ ($T$ tensione della catena , $R_1$ raggio del pignone. La parte inferiore non trasmette momento apprezzabile (la parte inferiore e' imbando).
(1) Pignonem incluso pedale
(2) Ruota posteriore + rocchetto (assunti solidali l'uno con l'altro)
(3) Telaio
(4) Ruota anteriore.
Se risolvi il diagramma delle forze, tenendo conto dei vincoli cinematici, e' un bel problemino.
Fai attenzione ai seguenti punti. Se supponi che applicando la forza al pedale l'accelerazione sia nel verso opposto alla forza (e alla fine dei calcoli, ti verra negativa, quindi diretta all'indietro), gli attriti delle ruote sono discordi. Sulla ruota posteriore e' diretto in avanti, su quella anteriore all'indietro.
Per quanto riguarda il punto (1) se tagli la catena, non cessa il momento dovuto alla catena nella parte posteriore (almeno fino a che la catena esce dalle ruote dentate. Il tuo ragionamento e' valido peruna cinghia, ma non per una catena.
Tra l'altro, la catena trasmette un momento (negativo) sul pignone pari a $TR_1$ ($T$ tensione della catena , $R_1$ raggio del pignone. La parte inferiore non trasmette momento apprezzabile (la parte inferiore e' imbando).
Per caso il problema è di Triggiani?
Comunque non sono per niente d'accordo. Lo stesso problema fu proposto a me, e ti assicuro che se ripeti l'esperimento vedrai la bici andare indietro. Questo avviene in realtà solo per alcuni rapporti del cambio, ma si può dire che in sostanza avvenga in ogni caso "normale", cioè i rapporti in cui non avviene sono anomali.
My two cents:
Le forze sulla verticale sono un sistema autoequilibrato, quindi si possono trascurare almeno per quanto interessa a noi.
Sull'orizzontale hai gli attriti statici e la forza applicata da te. L'attrito statico non fa lavoro.
Usando il teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro è positivo (se prima e fermo e poi si muove la variazione di energia cinetica è positiva). Dunque $F*s>0$ e visto che la forza è negativa deve essere negativo anche lo spostamento
Comunque non sono per niente d'accordo. Lo stesso problema fu proposto a me, e ti assicuro che se ripeti l'esperimento vedrai la bici andare indietro. Questo avviene in realtà solo per alcuni rapporti del cambio, ma si può dire che in sostanza avvenga in ogni caso "normale", cioè i rapporti in cui non avviene sono anomali.
My two cents:
Le forze sulla verticale sono un sistema autoequilibrato, quindi si possono trascurare almeno per quanto interessa a noi.
Sull'orizzontale hai gli attriti statici e la forza applicata da te. L'attrito statico non fa lavoro.
Usando il teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro è positivo (se prima e fermo e poi si muove la variazione di energia cinetica è positiva). Dunque $F*s>0$ e visto che la forza è negativa deve essere negativo anche lo spostamento
"DiegoDiego":
Per caso il problema è di Triggiani?
Comunque non sono per niente d'accordo. Lo stesso problema fu proposto a me, e ti assicuro che se ripeti l'esperimento vedrai la bici andare indietro. Questo avviene in realtà solo per alcuni rapporti del cambio, ma si può dire che in sostanza avvenga in ogni caso "normale", cioè i rapporti in cui non avviene sono anomali.
My two cents:
Le forze sulla verticale sono un sistema autoequilibrato, quindi si possono trascurare almeno per quanto interessa a noi.
Sull'orizzontale hai gli attriti statici e la forza applicata da te. L'attrito statico non fa lavoro.
Usando il teorema delle forze vive sappiamo che il lavoro è positivo (se prima e fermo e poi si muove la variazione di energia cinetica è positiva). Dunque $F*s>0$ e visto che la forza è negativa deve essere negativo anche lo spostamento
Infatti secondo me dipende dal rapporto del cambio dal raggio della ruota posteriore e dalla lunghezza del pedale. Fissato il cambio e il raggio della ruota, al di sotto di un certo valore di lunghezza L del pedale, la bici va all indietro (prevale la forza sul momento). Superato un valore critico di L, la bici va avanti (il momento applicato dalla forza, che tende a far andare avanti la bici grazie alla catena, "vince" la forza che tende a spingerla indietro).
Fissato il rapporto di cambio e L, il raggio R della ruota posteriore determina se va avanti o meno. Al decrescere di R si arriva a un R critico tale che l'attrito vince il momento dell'attrito sulla ruota e la bici cominica ad andare avanti.
Sarebbe interessante tradurlo in formule, non mi da l'idea di un esercizio troppo complicato, ma e' sicuramente un bell'esercizio.
Attacco di insonnia:
Verso di percorrenza "normale" della bici: da sinistra a destra.
Trascuriamo la ruota anteriore per semplicita (basta che il baricentro si sulla verticale della ruota posteriore e non esiste atrito sulla ruota anteriore).
Sulla bici agisce la forza F, diretta verso sinistra e la fora di attrito $F_a$ sulla ruota posteriore, diretta veros dx.
Vale
$F_a-F=m\ddotx$, con m massa totale del velocipede.
Sulla ruota posteriore agisce la tensione T della catena. Detto $R_r$ il raggio del rocchetto e $R$ quello della ruota.
Equazione di momento, supposto che la ruota ruoti in senso orario, concorde con il moto positivo della bici:
$T\cdotR_r-F_a\cdotR=I_r\ddot\theta$.
Sul pignone, detta $L$ la lunghezza del pedale, e $R_p$ il raggio del pignone, sussiste l'equazione di momento:
$-T\cdotR_p+F\cdotL=I_p\ddot\varphi$.
Ora, $\ddot\theta=\ddotx/R$
$\R_p\ddot\varphi=R_r\ddot\theta$.
Sostituendo nelle equzioni sopra, in modo da avere tutto in funzione di $\theta$, le 3 equazioni si scrivono:
$F_a-F=mR\ddot\theta$
$T\cdotR_r-F_a\cdotR=I_r\ddot\theta$.
$-T\cdotR_p+F\cdotL=I_p{R_r}/{R_p}\ddot\theta$.
Dividiamo la seconda per $R_r$ e la terza per $R_p$ e sommiamo m.a.m
$-F_a{R}/{R_r}+F{L}/{R_p}=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}]\cdot\ddot\theta$
Ricavando la $F_a$ dalla prima equazione e sostituendola nell'ultima trovata
$ -(F+mR\ddot\theta){R}/{R_r}+F{L}/{R_p}=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}]\cdot\ddot\theta $
Cioe':
$ F(L/R_p-R/R_r)=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}+{mR^2}/{R_r}]\ddot\theta $
Il termine tra parentesi quadra e' sempre positivo. Ne consegue che. per avere un avanzamento ($\ddot\theta>0$) deve essere:
$ (L/R_p-R/R_r)>0 $ ovvero
$ L/R>R_p/R_r $
Ora basta giocare con questa formulina.
Se $R_p/R_r=1$ per esempio (non c'e' moltiplica), dato che $L/R$ e' sicuramente minore di 1 (una bici con un pedale piu' lungo della ruota sarebbe poco pratica), la relazione non e' verificata. Quindi la bici va indietro.
Ma se aumentiamo la moltiplica, diminuendo $R_r$ si arriva a un punto in cui la bici va avanti. L'effetto moltiplicatore "vince" la spinta all'indietro della forza F.
Verso di percorrenza "normale" della bici: da sinistra a destra.
Trascuriamo la ruota anteriore per semplicita (basta che il baricentro si sulla verticale della ruota posteriore e non esiste atrito sulla ruota anteriore).
Sulla bici agisce la forza F, diretta verso sinistra e la fora di attrito $F_a$ sulla ruota posteriore, diretta veros dx.
Vale
$F_a-F=m\ddotx$, con m massa totale del velocipede.
Sulla ruota posteriore agisce la tensione T della catena. Detto $R_r$ il raggio del rocchetto e $R$ quello della ruota.
Equazione di momento, supposto che la ruota ruoti in senso orario, concorde con il moto positivo della bici:
$T\cdotR_r-F_a\cdotR=I_r\ddot\theta$.
Sul pignone, detta $L$ la lunghezza del pedale, e $R_p$ il raggio del pignone, sussiste l'equazione di momento:
$-T\cdotR_p+F\cdotL=I_p\ddot\varphi$.
Ora, $\ddot\theta=\ddotx/R$
$\R_p\ddot\varphi=R_r\ddot\theta$.
Sostituendo nelle equzioni sopra, in modo da avere tutto in funzione di $\theta$, le 3 equazioni si scrivono:
$F_a-F=mR\ddot\theta$
$T\cdotR_r-F_a\cdotR=I_r\ddot\theta$.
$-T\cdotR_p+F\cdotL=I_p{R_r}/{R_p}\ddot\theta$.
Dividiamo la seconda per $R_r$ e la terza per $R_p$ e sommiamo m.a.m
$-F_a{R}/{R_r}+F{L}/{R_p}=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}]\cdot\ddot\theta$
Ricavando la $F_a$ dalla prima equazione e sostituendola nell'ultima trovata
$ -(F+mR\ddot\theta){R}/{R_r}+F{L}/{R_p}=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}]\cdot\ddot\theta $
Cioe':
$ F(L/R_p-R/R_r)=[{I_r}/{R_r}+I_p{R_r}/{R_p^2}+{mR^2}/{R_r}]\ddot\theta $
Il termine tra parentesi quadra e' sempre positivo. Ne consegue che. per avere un avanzamento ($\ddot\theta>0$) deve essere:
$ (L/R_p-R/R_r)>0 $ ovvero
$ L/R>R_p/R_r $
Ora basta giocare con questa formulina.
Se $R_p/R_r=1$ per esempio (non c'e' moltiplica), dato che $L/R$ e' sicuramente minore di 1 (una bici con un pedale piu' lungo della ruota sarebbe poco pratica), la relazione non e' verificata. Quindi la bici va indietro.
Ma se aumentiamo la moltiplica, diminuendo $R_r$ si arriva a un punto in cui la bici va avanti. L'effetto moltiplicatore "vince" la spinta all'indietro della forza F.
Grazie mille come sempre ragazzi!
Si si confermo, è un problema del Triggiani (per chi non lo sapesse è l'insegnante di Fisica generale I di ingegneria meccanica a Pisa).
Si si confermo, è un problema del Triggiani (per chi non lo sapesse è l'insegnante di Fisica generale I di ingegneria meccanica a Pisa).
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