Pendolo semplice e problema della scelta del sistema di rif.
Siccome è un caso che non capita anche per altri moti, pongo solo adesso una domanda la cui risposta mi appariva scontata, ad una prima analisi.
Mi trovo di fronte al moto del pendolo descritto dinamicamente dalle equazioni:
$\{(m*a_x = -m g sin (\theta)), (0 = \tau + m g cos (\theta)):}$
Il riferimento scelto è un riferimento solidale con il corpo che oscilla, avente come asse $y$ il filo che lega il corpo al polo della rotazione, come verso positivo di questo quello che va verso il basso, come asse $x$ la tangente alla traiettoria descritta dal corpo nella posizione che occupa, e come verso positivo di questo quello opposto alla forza di modulo $mgsin (\theta)$.
E' proprio questa che mi lascia qualche dubbio: precisamente il fatto che ad ogni istante è come se si cambiasse il sistema di riferimento. Solo così, infatti, mi posso spiegare il fatto che in tale sistema il valore della componente orizzontale di $\tau$ sia nulla.
Evidentemente, questo non è corretto, se poi si imposta l'equazione differenziale con degli angoli che sono funzione del tempo, e che per essere descritti hanno comunque bisogno di un riferimento fisso che individui le due semirette atte a descriverlo.
In sostanza, il discorso che poi si sviluppa impostando le equazioni differenziali per funzioni $\theta (t)$ e per le sue derivate contrasta con questa scelta del sistema di riferimento.
Ovviamente, il problema può essere risolto trovando le coordinate polari conoscendo quelle cartesiane. Su wikipedia non è scritto nello specifico quale sistema di riferimento viene scelto.
Chiedo: come affrontate voi il problema del determinare le equazioni del moto del pendolo partendo dal secondo principio della dinamica? Qual è il modo più semplice che voi usate per far vedere che il moto del pendolo per piccole oscillazioni non è altro che un moto armonico, o meglio, quanti sistemi di riferimento conoscete per inquadrare nel piano tale moto, da utilizzare magari a rotazione per risolvere problemi di diversa natura?
100 punti a chiunque volesse aiutarmi:-D
P.S.- Per il momento preferisco non "linearizzare" nulla. A suo tempo lo farò, preferisco davvero adesso vedere la genesi di tutto ciò che riguarda il pendolo.
Mi trovo di fronte al moto del pendolo descritto dinamicamente dalle equazioni:
$\{(m*a_x = -m g sin (\theta)), (0 = \tau + m g cos (\theta)):}$
Il riferimento scelto è un riferimento solidale con il corpo che oscilla, avente come asse $y$ il filo che lega il corpo al polo della rotazione, come verso positivo di questo quello che va verso il basso, come asse $x$ la tangente alla traiettoria descritta dal corpo nella posizione che occupa, e come verso positivo di questo quello opposto alla forza di modulo $mgsin (\theta)$.
E' proprio questa che mi lascia qualche dubbio: precisamente il fatto che ad ogni istante è come se si cambiasse il sistema di riferimento. Solo così, infatti, mi posso spiegare il fatto che in tale sistema il valore della componente orizzontale di $\tau$ sia nulla.
Evidentemente, questo non è corretto, se poi si imposta l'equazione differenziale con degli angoli che sono funzione del tempo, e che per essere descritti hanno comunque bisogno di un riferimento fisso che individui le due semirette atte a descriverlo.
In sostanza, il discorso che poi si sviluppa impostando le equazioni differenziali per funzioni $\theta (t)$ e per le sue derivate contrasta con questa scelta del sistema di riferimento.
Ovviamente, il problema può essere risolto trovando le coordinate polari conoscendo quelle cartesiane. Su wikipedia non è scritto nello specifico quale sistema di riferimento viene scelto.
Chiedo: come affrontate voi il problema del determinare le equazioni del moto del pendolo partendo dal secondo principio della dinamica? Qual è il modo più semplice che voi usate per far vedere che il moto del pendolo per piccole oscillazioni non è altro che un moto armonico, o meglio, quanti sistemi di riferimento conoscete per inquadrare nel piano tale moto, da utilizzare magari a rotazione per risolvere problemi di diversa natura?
100 punti a chiunque volesse aiutarmi:-D
P.S.- Per il momento preferisco non "linearizzare" nulla. A suo tempo lo farò, preferisco davvero adesso vedere la genesi di tutto ciò che riguarda il pendolo.
Risposte
Capisco cosa intendi.
Per scrivere la prima equazione che riporti, quella "lungo $x$", in modo formalmente ineccepibile potresti usare l'equazione di momento di quantità di moto. In quel caso è tutto molto semplice e ottieni direttamente l'equazione finale.
Un'alternativa è quella di scrivere l'equazione di Newton ragionando in un sistema assoluto ad ascissa curvilinea $s$ che segue la traiettoria della massa, quindi lungo l'arco di circonferenza. Hai che
$m(d^2s)/(dt^2)=mgsin \theta$. Dove
$s=R \theta$
e quindi
$(d^2s)/(dt^2)=R(d^2 \theta)/(dt^2)$
sostituendo ottieni l'equazione del pendolo in cui hai come unica variabile $\theta$.
Per l'altra direzione, scegli appunto il sistema di riferimento $xy$ solidale con la massa. Quindi la massa è sempre ferma in quel riferimento ed è la forza peso che ruota. Se scrivi l'equazione di Newton lungo $y$ tenendo conto anche delle forze apparenti (cioè della forza centrifuga) ottieni
$(d^2y)/(dt^2)=0 \equiv mgcos \theta + m V^2/R-T$
da cui puoi ricavare la tensione del filo.
Ovviamente qui la $V$ è la velocità assoluta tangenziale della massa che puoi calcolare dall'equazione precedente. Se sei un tipo temerario e ti va di complicarti la vita puoi provare a scrivere nel medesimo sistema di riferimento solidale anche l'equazione lungo $x$ ma devi considerare una forza di inerzia apparente $m(d^2X)/(dt^2)$ dove la $X$ è riferita ad un sistema di riferimento fisso inerziale che poi devi scrivere in funzione di $\theta$.... insomma devi tirar fuori le coordinate polari ma è come usare un cannone per sparare ad una mosca...
Per scrivere la prima equazione che riporti, quella "lungo $x$", in modo formalmente ineccepibile potresti usare l'equazione di momento di quantità di moto. In quel caso è tutto molto semplice e ottieni direttamente l'equazione finale.
Un'alternativa è quella di scrivere l'equazione di Newton ragionando in un sistema assoluto ad ascissa curvilinea $s$ che segue la traiettoria della massa, quindi lungo l'arco di circonferenza. Hai che
$m(d^2s)/(dt^2)=mgsin \theta$. Dove
$s=R \theta$
e quindi
$(d^2s)/(dt^2)=R(d^2 \theta)/(dt^2)$
sostituendo ottieni l'equazione del pendolo in cui hai come unica variabile $\theta$.
Per l'altra direzione, scegli appunto il sistema di riferimento $xy$ solidale con la massa. Quindi la massa è sempre ferma in quel riferimento ed è la forza peso che ruota. Se scrivi l'equazione di Newton lungo $y$ tenendo conto anche delle forze apparenti (cioè della forza centrifuga) ottieni
$(d^2y)/(dt^2)=0 \equiv mgcos \theta + m V^2/R-T$
da cui puoi ricavare la tensione del filo.
Ovviamente qui la $V$ è la velocità assoluta tangenziale della massa che puoi calcolare dall'equazione precedente. Se sei un tipo temerario e ti va di complicarti la vita puoi provare a scrivere nel medesimo sistema di riferimento solidale anche l'equazione lungo $x$ ma devi considerare una forza di inerzia apparente $m(d^2X)/(dt^2)$ dove la $X$ è riferita ad un sistema di riferimento fisso inerziale che poi devi scrivere in funzione di $\theta$.... insomma devi tirar fuori le coordinate polari ma è come usare un cannone per sparare ad una mosca...
Per scrivere la prima equazione che riporti, quella "lungo ", in modo formalmente ineccepibile potresti usare l'equazione di momento di quantità di moto. In quel caso è tutto molto semplice e ottieni direttamente l'equazione finale.
Ho affrontato oggi, dopo il tuo chiarimento di ieri sul fatto della componente $z$, unica componente del momento angolare, lo studio e l’impostazione dell’equazione differenziale le cui soluzioni sono leggi orarie che indicano la variazione dell’angolo rispetto al tempo.
Ovviamente ho visto per la prima volta la formulazione del moto armonico fatta dal mio testo, moto sul quale mi sono sorti dei dubbi che non so quanto sia il caso di analizzare adesso.
Magari ricreo un’ altra discussione in cui inserisco il solo i problemi legati al moto armonico.
Un'alternativa è quella di scrivere l'equazione di Newton ragionando in un sistema assoluto ad ascissa curvilinea che segue la traiettoria della massa, quindi lungo l'arco di circonferenza.
Il ragionamento matematico che hai fatto tu l'ho seguito ed è molto comodo.
Tuttavia, essendo ancora povero di strumenti metodologici, vorrei capire un po' meglio delle cose:
1) Se non ho capito male utilizzando un siffatto sistema di riferimento curvilineo, non serve più ragionare su un'altra componente, visto che il moto, fissato un simile sistema di riferimento, è unidimensionale.
Perchè dopo allora ti si ripresenta l'esigenza, quando dici
Per l'altra direzione, scegli appunto il sistema di riferimento solidale con la massa
di analizzare ciò che avviene su un' "altra direzione"? Forse per risolvere i problemi legati alla tensione del filo, che evidentemente (ma di questo discuteremo al punto 2) non possono essere risolti considerando un'ascissa curvilinea come quella vista prima?
Del resto, sembri dirlo:
da cui puoi ricavare la tensione del filo.
2) La tensione del filo su questa ascissa curvilinea.
Analizzo la questione in maniera puramente geometrica, poichè è intuitivo che il compito di tale forza, che devo ancora approfondire nel dettaglio, sia quello di tenere la palla in contatto perenne con il filo e nulla più, almeno in un sistema in cui il filo è inestensibile, e che quindi non contribuisce alla variazione di velocità che denota la presenza di forze, di cui, proprio per questo non fa parte.
Quando mi è capitato di vedere esercizi in cui era consigliato l'utilizzo di un sistema di riferimento avente l'asse sull'asse della posizione di equilibrio del pendolo, e l'asse x ortogonale ad esso nel punto di equilibrio stesso, allora ho visto che veniva proiettata su entrambi gli assi e contribuiva al moto: anzi, nel caso dell'asse , la componente era l' unica forza in grado di contribuire al moto, visto che la forza peso non veniva più scomposta in un siffatto sistema di riferimento
Come si studia ora la componente in relazione a questo riferimento curvilineo? Come la si potrebbe "proiettare" (metto il termine tra virgolette perchè non si può parlare in questo caso di "proiezione", almeno credo) sull'ascissa curvilinea per analizzarne il contributo che essa dà al moto dell'oggetto?
3)
Per l'altra direzione, scegli appunto il sistema di riferimento solidale con la massa. Quindi la massa è sempre ferma in quel riferimento ed è la forza peso che ruota.
La forza peso non è sempre applicata ad un punto fermo del sistema di riferimento solidale con la massa?
Se scrivi l'equazione di Newton lungo tenendo conto anche delle forze apparenti (cioè della forza centrifuga) ottieni
$d^2 \theta / dt^2 = 0 = mgcos\theta + m * v^2 / \omega – T $
da cui puoi ricavare la tensione del filo.
Penso di aver capito pure questa, analizzando le varie componenti soprattutto del “terzo membro”. Ovviamente tu consideri positivo il verso che va dal corpo al centro della Terra, e da questo deriva il verso della componente $\tau$ e della forza centrifuga, che dovrebbe essere la componente del vettore $-m \omega ^^ (\omega ^^ r_R)$ lungo y.
Però io ricordo che istituii un sistema con due equazioni, le cui incognite fossero proprio $a$ e $\tau$, e che esse fossero riferite ad un unico sistema di riferimento. In sostanza, presi un sistema di riferimento solidale con il corpo, ma non considerai i contributi delle forze fittizie agenti sul sistema. Ora, di preciso non so come si fece per raggiungere tale scopo. Sarà che forse fu utilizzato un sistema di riferimento avente come asse $y$ la posizione iniziale del filo?
In sostanza, io dovrei in un certo senso vedere le due equazioni che mi sono state presentate come equazioni descrittive di un moto per due componenti, che a questo punto non so più individuare, di un un sistema di riferimento, che non so più individuare, ma che sia univocamente determinato.
Da quanto evinco dalle tue parole, non è possibile fissare quel sistema di equazioni da me riportato all'inizio, nel primo post della discussione, come composto da due equazioni che descrivano un certo moto in un fissato e UNICO sistema di riferimento. Era questo che volevo verificare, la domanda di fondo posta dall'inizio, e cioè se il sistema che mi era stato dato potesse fare riferimento ad un unico sistema di riferimento.
Riprendo questa discussione poichè mi interessa capire una cosa. L'argomento è sempre lo stesso: sistemi di riferimento.
Dunque, considero il sistema di riferimento ad ascissa curvilinea caratterizzato dalla traiettoria seguita dal pendolo in oscillazione. Ovviamente, si tratta sempre di un pendolo semplice. E' la corrispondenza biunivoca tra gli archi di circonferenza e gli angoli al centro (che sono gli angoli dell' equazione $\theta = \theta_0 sen (\omega*t + \phi)$) che mi permette, per analizzare la "cinematica del pendolo" (e semmai solo le forze che la producono- scusate il linguaggio, ma è per farmi capire), di scegliere un sistema di riferimento certamente non "convenzionale", e monodimensionale?
Questo mi serve anche per capire un' altra cosa. Se è vero quello che dico sopra, allora mi riesco a spiegare come praticamente, una volta scelto il sistema di riferimento (ascissa curvilinea, appunto), consideri come forza attiva del pendolo solo la componente della forza peso tangente alla traiettoria-sistema di riferimento, ossia $mgsen\theta$ (o l'opposto, a seconda del verso di percorrenza scelto).
Il sistema di riferimento sarebbe allora solo una conseguenza, una scelta suscettibile anche di cambiamenti "in corsa" (durante l'analisi del moto e di tutte le grandezze che vi intervengono, cinematiche e dinamiche), fatta (è questo il punto importante di questo mio vaniloquio, che vorrei fosse analizzato per vedere se va bene quanto abbia pensato) per cercare di riportare tutte le analisi che si fanno su un moto ad una legge quanto più generale possibile, che in meccanica è quasi sempre la legge oraria, collegata direttamente ai principi. Così la scelta del sistema di riferimento è solo un "mezzo", uno strumento per cercare di far dipendere tutte le grandezze da variabili cinematiche. Infatti, ciò non toglie che il moto possa essere analizzato quasi altrettanto semplicemente scegliendo altri sistemi di riferimento. Solo, si preferisce scegliere quello con meno gradi di libertà.
Ecco perchè allora, se per analizzare la cinematica del moto si utilizza ovviamente il minimo numero di gradi di libertà necessari a determinare univocamente (senza ambiguità) la posizione del corpo ad un preciso istante di tempo (e quindi nella fattispecie si utilizza un sistema di riferimento che oserei definire "non convenzionale"), per analizzare le grandezze dinamiche si utilizzano invece sistemi di riferimento atti ad associare quanto più possibile tali grandezze dinamiche a quelle cinematiche. E' il caso, nella fattispecie del pendolo, della tensione del filo, per la cui analisi si sceglie un sistema di riferimento diverso dal primo, in modo da ricavare la legge ($\tau = mgl (3cos\theta - 2 cos\theta_0)$, mi pare sia questa, dopo correggo se ricordo male), ed associarla quanto più possibile a grandezze "elementari", cioè legate alla legge generale.
Se per pura ipotesi ci fossero altre grandezze strane, per collegarle quanto più possibile alla legge più generale che governa il moto (alle variabili cinematiche, sviluppate "direttamente" da quella legge che a sua volta deriva dal generalissimo secondo principio), potrei anche scegliere sistemi di riferimento a cinque, dieci, quindici dimensioni (è una pura ipotesi, quindi mi permetto di scherzare
).
Chiedo: è questa la prima necessità di chi sviluppa la fisica? Cioè cercare di semplificare grandezze "complicate", scegliendo i sistemi di riferimento quasi come "lenti privilegiate" usate per tale processo di semplificazione? E' questo quindi il ruolo dei sistemi di riferimento in chiave più prettamente "teorica"?
P.S.- Questa è una domanda che secondo me sarebbe potuta finire anche nella sezione "filosofia della scienza", in quanto mi serve per scoprire un metodo, per cercare di capire una possibile strada di lavoro. Mi scuso con Faussone se tali conclusioni potevano essere evinte dal suo discorso in risposta. Tuttavia ho provato a ripartire da considerazioni più semplici, sperando che andasse meglio.
Dunque, considero il sistema di riferimento ad ascissa curvilinea caratterizzato dalla traiettoria seguita dal pendolo in oscillazione. Ovviamente, si tratta sempre di un pendolo semplice. E' la corrispondenza biunivoca tra gli archi di circonferenza e gli angoli al centro (che sono gli angoli dell' equazione $\theta = \theta_0 sen (\omega*t + \phi)$) che mi permette, per analizzare la "cinematica del pendolo" (e semmai solo le forze che la producono- scusate il linguaggio, ma è per farmi capire), di scegliere un sistema di riferimento certamente non "convenzionale", e monodimensionale?
Questo mi serve anche per capire un' altra cosa. Se è vero quello che dico sopra, allora mi riesco a spiegare come praticamente, una volta scelto il sistema di riferimento (ascissa curvilinea, appunto), consideri come forza attiva del pendolo solo la componente della forza peso tangente alla traiettoria-sistema di riferimento, ossia $mgsen\theta$ (o l'opposto, a seconda del verso di percorrenza scelto).
Il sistema di riferimento sarebbe allora solo una conseguenza, una scelta suscettibile anche di cambiamenti "in corsa" (durante l'analisi del moto e di tutte le grandezze che vi intervengono, cinematiche e dinamiche), fatta (è questo il punto importante di questo mio vaniloquio, che vorrei fosse analizzato per vedere se va bene quanto abbia pensato) per cercare di riportare tutte le analisi che si fanno su un moto ad una legge quanto più generale possibile, che in meccanica è quasi sempre la legge oraria, collegata direttamente ai principi. Così la scelta del sistema di riferimento è solo un "mezzo", uno strumento per cercare di far dipendere tutte le grandezze da variabili cinematiche. Infatti, ciò non toglie che il moto possa essere analizzato quasi altrettanto semplicemente scegliendo altri sistemi di riferimento. Solo, si preferisce scegliere quello con meno gradi di libertà.
Ecco perchè allora, se per analizzare la cinematica del moto si utilizza ovviamente il minimo numero di gradi di libertà necessari a determinare univocamente (senza ambiguità) la posizione del corpo ad un preciso istante di tempo (e quindi nella fattispecie si utilizza un sistema di riferimento che oserei definire "non convenzionale"), per analizzare le grandezze dinamiche si utilizzano invece sistemi di riferimento atti ad associare quanto più possibile tali grandezze dinamiche a quelle cinematiche. E' il caso, nella fattispecie del pendolo, della tensione del filo, per la cui analisi si sceglie un sistema di riferimento diverso dal primo, in modo da ricavare la legge ($\tau = mgl (3cos\theta - 2 cos\theta_0)$, mi pare sia questa, dopo correggo se ricordo male), ed associarla quanto più possibile a grandezze "elementari", cioè legate alla legge generale.
Se per pura ipotesi ci fossero altre grandezze strane, per collegarle quanto più possibile alla legge più generale che governa il moto (alle variabili cinematiche, sviluppate "direttamente" da quella legge che a sua volta deriva dal generalissimo secondo principio), potrei anche scegliere sistemi di riferimento a cinque, dieci, quindici dimensioni (è una pura ipotesi, quindi mi permetto di scherzare
). Chiedo: è questa la prima necessità di chi sviluppa la fisica? Cioè cercare di semplificare grandezze "complicate", scegliendo i sistemi di riferimento quasi come "lenti privilegiate" usate per tale processo di semplificazione? E' questo quindi il ruolo dei sistemi di riferimento in chiave più prettamente "teorica"?
P.S.- Questa è una domanda che secondo me sarebbe potuta finire anche nella sezione "filosofia della scienza", in quanto mi serve per scoprire un metodo, per cercare di capire una possibile strada di lavoro. Mi scuso con Faussone se tali conclusioni potevano essere evinte dal suo discorso in risposta. Tuttavia ho provato a ripartire da considerazioni più semplici, sperando che andasse meglio.
Ti rispondo dicendoti forse cose banali....
Puoi scegliere qualunque sistema di riferimento vuoi per scrivere le tue equazioni, l'importante è che rimani sempre congruente col sistema di riferimento scelto (non puoi mescolare forze e accelerazioni relative a diversi sistemi di riferimento) e che tieni conto delle forze apparenti se il sistema di riferimento scelto è non inerziale.
E' certo che la scelta di un opportuno sistema di riferimento possa semplificare notevolmente le cose, mentre la scelta di un altro possa rendere le equazioni molto più complesse (per esempio dai un'occhiata a un problema di pochi giorni fa su questo forum su un piano inclinato mobile con una massetta sopra e vedi come la scelta di un sistema di riferimento solidale al piano inclinato è molto più conveniente rispetto a quella di un sistema fisso, benché nel fisso non ci siano forze apparenti).
Nell'esempio del pendolo a me sembra comodo per calcolare la tensione del filo scegliere quel sistema di riferimento solidale che ti ho detto, ma altre scelte sono possibili, a patto di non fare confusione con componenti relative a diversi sistemi di riferimento.
Come vedrai forse più avanti nei tuoi studi è molto utile, specie se hai problemi in cui hai vincoli, l'approccio con le coordinate lagrangiane che ti consente in maniera forse più semplice di scegliere il sistema di riferimento migliore e soprattutto le variabili più comode per scrivere le equazioni.
Puoi scegliere qualunque sistema di riferimento vuoi per scrivere le tue equazioni, l'importante è che rimani sempre congruente col sistema di riferimento scelto (non puoi mescolare forze e accelerazioni relative a diversi sistemi di riferimento) e che tieni conto delle forze apparenti se il sistema di riferimento scelto è non inerziale.
E' certo che la scelta di un opportuno sistema di riferimento possa semplificare notevolmente le cose, mentre la scelta di un altro possa rendere le equazioni molto più complesse (per esempio dai un'occhiata a un problema di pochi giorni fa su questo forum su un piano inclinato mobile con una massetta sopra e vedi come la scelta di un sistema di riferimento solidale al piano inclinato è molto più conveniente rispetto a quella di un sistema fisso, benché nel fisso non ci siano forze apparenti).
Nell'esempio del pendolo a me sembra comodo per calcolare la tensione del filo scegliere quel sistema di riferimento solidale che ti ho detto, ma altre scelte sono possibili, a patto di non fare confusione con componenti relative a diversi sistemi di riferimento.
Come vedrai forse più avanti nei tuoi studi è molto utile, specie se hai problemi in cui hai vincoli, l'approccio con le coordinate lagrangiane che ti consente in maniera forse più semplice di scegliere il sistema di riferimento migliore e soprattutto le variabili più comode per scrivere le equazioni.
Ma comunque lo scopo finale del fisico è quello da me esposto nel precedente post?
In ogni caso, a breve ritornerò sui calcoli per chiarire bene il pendolo. Spero di riuscirci, vivamente.
In ogni caso, a breve ritornerò sui calcoli per chiarire bene il pendolo. Spero di riuscirci, vivamente.
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