Pendolo semplice
Un carrello sostiene un pendolo semplice che ha un periodo per le piccole oscillazioni di T = 4.0 s, , parte da quiete (con il pendolo in condizioni di equilibrio) ed accelera orizzontalmente con accelerazione a =0.10 m s^-2, per un intervallo di tempo Deltat = 2.0 s, per poi proseguire a velocita' costante.
Determinare lo spostamento angolare del pendolo dalla verticale, alla fine della fase di accelerazione
Determinare lo spostamento angolare del pendolo dalla verticale, alla fine della fase di accelerazione
Risposte
Non so se può aiutarti, ma ricordo da Fisica 1 che quando hai un'accelerazione costante è come se agisse una forza di modulo $m*a$ (dove $m$ è la massa e $a$ l'accelerazione), diretta nel tuo caso orizzontalmente in verso opposto al moto.
c'è nessuno in grado di risolvere questo esercizio?
guarda mi sto un po impiccando con i conti ma appena trovo il risultato lo posto! cmq non devi far altro che metterti nel sistema di riferimento non inerziale del carrello e quindi considerare la forza d'inerzia data dall'accelerazione e poi ti calcoli il moto!
no come ve lo devo dire? l'esercizio che ho scritto non è completo io ho tralasciato il punto 1 che si risolve come dite voi, ma qua bisogna tenere conto del semiperiodo e del fatto che poi il moto diventa a velocità costante, cmq grazie lo stesso a chi sta cercando di risolvermelo
non ho mica capito quello che dici!il fatto che dopo continua di moto rettilineo uniforme non te importa niente perche tu devi calcolare l'angolo che forma con la verticale dopo 2 secondi dall'applicazione dell' accelerazione!se dopo il carrello esplode non tene importa niente!
Devi fare i calcoli normali per un pendolo semplice, contando anche che sulla massa agisce una forza m*a diretta in verso opposto al moto!Quando ti sei trovato l'equazione del moto (equazione differenziale) ti calcoli lo spostamento angolare dopo 2 secondi, e il gioco è fatto!"
In ogni caso ho quasi finito di fare i conti che non trovavo la calcolatrice!
Devi fare i calcoli normali per un pendolo semplice, contando anche che sulla massa agisce una forza m*a diretta in verso opposto al moto!Quando ti sei trovato l'equazione del moto (equazione differenziale) ti calcoli lo spostamento angolare dopo 2 secondi, e il gioco è fatto!"
In ogni caso ho quasi finito di fare i conti che non trovavo la calcolatrice!
in ogni caso dal periodo delle oscillazioni ti ricavi la lunghezza del pendolo!poi fai un equilibrio a rotazione intorno al punto dove è attaccato il pendolo, considerando che sulla massa agiscono sia la forza peso sia la forza d'inerzia m*a!
A quel punto con gli sviluppi di taylor approssimi il seno e il coseno e ottieni un'equazione differenziale non omogenea che si risolve facilmente con una sostituzione.
Dopo di che imponi le condizioni iniziali per determinare l'ampiezza e la fase iniziale, imponendo che l'angolo iniziale e la velocità angolare iniziale siano nulli. A quel punto hai trovato esattamente l'equazione che governa il moto e tiene conto dell'accelerazione del carrello. non devi far altro che vedere cosa accade al pendolo dopo 2 secondi!
Io ho fatto al volo i calcoli ma credo di aver fatto un errore da qualche parte perche l'angolo mi viene un po troppo piccolo secondo me, mi viene 1,5 x 10alla meno5
A quel punto con gli sviluppi di taylor approssimi il seno e il coseno e ottieni un'equazione differenziale non omogenea che si risolve facilmente con una sostituzione.
Dopo di che imponi le condizioni iniziali per determinare l'ampiezza e la fase iniziale, imponendo che l'angolo iniziale e la velocità angolare iniziale siano nulli. A quel punto hai trovato esattamente l'equazione che governa il moto e tiene conto dell'accelerazione del carrello. non devi far altro che vedere cosa accade al pendolo dopo 2 secondi!
Io ho fatto al volo i calcoli ma credo di aver fatto un errore da qualche parte perche l'angolo mi viene un po troppo piccolo secondo me, mi viene 1,5 x 10alla meno5
una precisazione, questo è fisica1 e quindi non lo posso risolvere con le equazioni differenziali, poi se percaso mi faresti vedere tutti i passaggi è cosa gradita.
L'esercizio può essere risolto senza equazioni differenziali se si conoscono i sistemi di riferimento non inerziali e se si fa l'ipotesi di piccole oscillazioni (moto armonico). Tratteggio il procedimento:
1) la lunghezza del pendolo si ricava dal periodo a carrello fermo
2) quando il carrello è accelerato, nel sistema non inerziale del carrello l'accelerazione di gravità percepita aumenta un po' rispetto a $g$ e si inclina (diciamo di $\theta_0$) rispetto alla verticale
3) in tali condizioni l'oscillazione del pendolo rispetto al carrello avrebbe una frequenza leggermente superiore e, soprattutto, avverrebbe attorno alla direzione inclinata di $\theta_0$
4) di questo moto armonico relativo calcolo la nuova frequenza e conosco le condizioni iniziali: il pendolo risulta fermo all'inizio e spostato dell'angolo $\theta_0$
5) posso quindi valutare la posizione e la velocità dell'estremo del pendolo relative al carrello dopo 2 sec.
6) se voglio la posizione e il moto dell'estremo del pendolo rispetto al terreno, considero posizione e velocità del carrello allo stesso istante e combino vettorialmente.
ciao
1) la lunghezza del pendolo si ricava dal periodo a carrello fermo
2) quando il carrello è accelerato, nel sistema non inerziale del carrello l'accelerazione di gravità percepita aumenta un po' rispetto a $g$ e si inclina (diciamo di $\theta_0$) rispetto alla verticale
3) in tali condizioni l'oscillazione del pendolo rispetto al carrello avrebbe una frequenza leggermente superiore e, soprattutto, avverrebbe attorno alla direzione inclinata di $\theta_0$
4) di questo moto armonico relativo calcolo la nuova frequenza e conosco le condizioni iniziali: il pendolo risulta fermo all'inizio e spostato dell'angolo $\theta_0$
5) posso quindi valutare la posizione e la velocità dell'estremo del pendolo relative al carrello dopo 2 sec.
6) se voglio la posizione e il moto dell'estremo del pendolo rispetto al terreno, considero posizione e velocità del carrello allo stesso istante e combino vettorialmente.
ciao
"nick3000":
una precisazione, questo è fisica1 e quindi non lo posso risolvere con le equazioni differenziali, poi se percaso mi faresti vedere tutti i passaggi è cosa gradita.
APPUNTO PERCHE è FISICA1
Ma scusa il pendolo semplice lo hai studiato?e come arrivi all'equazione del moto?con una equazione differenziale forse?!
Cmq devi solamente risolvere un problema di un pendolo semplice con l'aggiunta della forza d'inerzia che agisce sulla massa!Se sai appena impostare un'equazione differenziale bene sennò sinceramente non saprei come fare!
Che indirizzo frequenti?ingegneria?Allora l'hai fatta per forza analisi.
$a cos(phi) - g sin(phi) = L ddot(phi)$
non so usare il linguaggio ci sto provando ora per la prima volta!
non so usare il linguaggio ci sto provando ora per la prima volta!
$a - g (phi) = L ddot (phi)$
risolvi questa equazione differenziale e ottieni:
$phi(t)= (a/g )+ Asin(omega t + theta)$
imponi le condizioni iniziali di velocità zero e angolo con la verticale zero per t=0 e attieni:
$phi(t) = (a/g) - (a/g)cos(omega t)$
dove:
$omega=square (g/L)$ radice quadrata
risolvi questa equazione differenziale e ottieni:
$phi(t)= (a/g )+ Asin(omega t + theta)$
imponi le condizioni iniziali di velocità zero e angolo con la verticale zero per t=0 e attieni:
$phi(t) = (a/g) - (a/g)cos(omega t)$
dove:
$omega=square (g/L)$ radice quadrata
no valentino ti stai sbagliando io studio matematica e fisica1 si fa al primo anno e al primo anno non ci sono le equazioni differenziali
cmq sia è giusto il metodo di mircoFN e gradirei se mi facesse vedere tutti i passaggi
il pendolo semplice l'ho studiato ma sono arrivato direttamente alla soluzione dell'equazione differenziale del moto armonico
cmq sia è giusto il metodo di mircoFN e gradirei se mi facesse vedere tutti i passaggi
il pendolo semplice l'ho studiato ma sono arrivato direttamente alla soluzione dell'equazione differenziale del moto armonico
ragazzi qualcuno mi può dire se il ragionamento che ho fatto io è giusto?
cmq non ci credo che non hai fatto prima analisi, e anche io a ingegneria fisica l'ho fatta al primo anno!cmq anche se non la sai svolgere analiticamente ma sai arrivare direttamente alla soluzione dell'equazione del moto va bene lo stesso, perche per moti armonici la soluzione è sempre quella!Guarda che questo problema è identico ad avere una molla con una massa attaccata appesa verticalmente su una parete dove hai una forza costante, che è quella gravitazionale e una forza armonica che è quella elastica!
anche in quel caso la soluzione è speculare in quanto la posizione di equilibrio della molla( nel tuo caso del pendolo) non è più nella solita posizione se fosse messa orizzontalmente sul pavimento ( nel tuo caso se non ci fosse l'accelerazione del carrello la posizione di equilibrio sarebbe esattamente sulla verticale, mentre se il carrello accelera la posizione di equilibrio è indicata da $ tan^(-1)(a/g)$)
Ma il tuo pendolo non è partito dalla posizione di equilibrio con il carrello accelerato ma è partito dalla posizione di equilibrio con il carrello in quiete. Questo significa che se il carrello fosse fermo non avresti nessun moto, mentre se il carrello si muovesse di accelerazione a allora avresti un moto armonico attorno alla nuova posizione di equilibrio!capito??
cmq non ci credo che non hai fatto prima analisi, e anche io a ingegneria fisica l'ho fatta al primo anno!cmq anche se non la sai svolgere analiticamente ma sai arrivare direttamente alla soluzione dell'equazione del moto va bene lo stesso, perche per moti armonici la soluzione è sempre quella!Guarda che questo problema è identico ad avere una molla con una massa attaccata appesa verticalmente su una parete dove hai una forza costante, che è quella gravitazionale e una forza armonica che è quella elastica!
anche in quel caso la soluzione è speculare in quanto la posizione di equilibrio della molla( nel tuo caso del pendolo) non è più nella solita posizione se fosse messa orizzontalmente sul pavimento ( nel tuo caso se non ci fosse l'accelerazione del carrello la posizione di equilibrio sarebbe esattamente sulla verticale, mentre se il carrello accelera la posizione di equilibrio è indicata da $ tan^(-1)(a/g)$)
Ma il tuo pendolo non è partito dalla posizione di equilibrio con il carrello accelerato ma è partito dalla posizione di equilibrio con il carrello in quiete. Questo significa che se il carrello fosse fermo non avresti nessun moto, mentre se il carrello si muovesse di accelerazione a allora avresti un moto armonico attorno alla nuova posizione di equilibrio!capito??
perfavore c'è qualcuno che mi farebbe vedere tutti i passaggi?, tan^-1(a/g) è la prima parte del quesito, che io non ho scritto appositamente perchè so svolgere, basta determinare le condizioni di equilibrio, ma a me interessa la parte dell'esercizio che ho scritto, perfavore c'è qualcuno disposto a farmi vedere tutti i passaggi?
che dal periodo arrivi alla lunghezza del pendolo ci stai??
$Gamma = 2xpi*sqrt(L/g)$
$L=g*(Gamma/(2*pi))^2$
poi immagini il pendolo in una posizione generica, ovviamente spostato dalla verticale e sulla massa agisce la forza d'inerzia m*a, sempre ortogonale al terreno, e la forza peso m*g , sempre ortogonale al terreno!
A quel punto, usando la seconda equazione cardinale della dinamica ti calcoli i momenti rispetto al punto in cui il pendolo è attaccato al carrello e ottieni:
$L*m*a*cos(phi) - L*m*g*sin(phi) = m* L^2 * ddot (phi)$
e usando le approssimazioni di Taylor, il coseno lo approssimi a 1 e il seno a $phi$.
A questo punto ottieni:
$a- g*phi =L*ddot(phi)$
e usando una sostituzione fai:
$ddot(epsilon) + omega^2 * epsilon= 0 $
dove $epsilon=phi - (a/g)$ e $omega=sqrt (g/L)$
il risultato di quella equazione differenziale è : $epsilon=Asin(omega*t + delta)$
A è l'ampiezza delle oscillazioni e delta è la fase iniziale, valori che ricavi dalle condizioni iniziali, ma prima di tutto ritorni alla tua variabile di interessa che sarebbe $phi$:
$phi= (a/g) + Asin (omega*t + delta)$
a questo punto imponile condizioni iniziali!Sai che all'istante $t=0$ la velocità della massa è nulla la posizione coincide con la verticale (che è la posizione di equilibrio se il carrello fosse fermo) e quindi $phi= 0$
ottieni : $phi(t=0)= (a/g) +A sin (phi) = 0$
$dot(phi(t=0))= omegaAcos(phi)=0$
che significa avere $phi= 90@$ e $A=(-a/g)$
quindi l'equazione complessiv che descrive il moto è:
$phi(t)= (a/g) - (a/g)sin(omega*t + 90@)$
fine dl problema!!!
Se qualcuno nota un errore mi avvisa non vorrei fare figuracce ma in complessivo il ragionamento è esatto!
$Gamma = 2xpi*sqrt(L/g)$
$L=g*(Gamma/(2*pi))^2$
poi immagini il pendolo in una posizione generica, ovviamente spostato dalla verticale e sulla massa agisce la forza d'inerzia m*a, sempre ortogonale al terreno, e la forza peso m*g , sempre ortogonale al terreno!
A quel punto, usando la seconda equazione cardinale della dinamica ti calcoli i momenti rispetto al punto in cui il pendolo è attaccato al carrello e ottieni:
$L*m*a*cos(phi) - L*m*g*sin(phi) = m* L^2 * ddot (phi)$
e usando le approssimazioni di Taylor, il coseno lo approssimi a 1 e il seno a $phi$.
A questo punto ottieni:
$a- g*phi =L*ddot(phi)$
e usando una sostituzione fai:
$ddot(epsilon) + omega^2 * epsilon= 0 $
dove $epsilon=phi - (a/g)$ e $omega=sqrt (g/L)$
il risultato di quella equazione differenziale è : $epsilon=Asin(omega*t + delta)$
A è l'ampiezza delle oscillazioni e delta è la fase iniziale, valori che ricavi dalle condizioni iniziali, ma prima di tutto ritorni alla tua variabile di interessa che sarebbe $phi$:
$phi= (a/g) + Asin (omega*t + delta)$
a questo punto imponile condizioni iniziali!Sai che all'istante $t=0$ la velocità della massa è nulla la posizione coincide con la verticale (che è la posizione di equilibrio se il carrello fosse fermo) e quindi $phi= 0$
ottieni : $phi(t=0)= (a/g) +A sin (phi) = 0$
$dot(phi(t=0))= omegaAcos(phi)=0$
che significa avere $phi= 90@$ e $A=(-a/g)$
quindi l'equazione complessiv che descrive il moto è:
$phi(t)= (a/g) - (a/g)sin(omega*t + 90@)$
fine dl problema!!!
Se qualcuno nota un errore mi avvisa non vorrei fare figuracce ma in complessivo il ragionamento è esatto!
allora non mi sono spiegato il programma di analisi del primo anno arriva fino agli integrali e le approssimazioni di taylor non vanno bene, ma possibile che non lo riesci a capire?
"nick3000":
no valentino ti stai sbagliando io studio matematica e fisica1 si fa al primo anno e al primo anno non ci sono le equazioni differenziali
cmq sia è giusto il metodo di mircoFN e gradirei se mi facesse vedere tutti i passaggi
.....
Allora:
Assumo $g=9.81 m/s^2$
la lunghezza del pendolo è quasi 4 metri (per la precisione $L=3.976 m$). L'accelerazione laterale è veramente debole, per cui la differenza tra il modulo dell'accelerazione di gravità percepita stando sul carrello $\sqrt(g^2+a^2)$ e $g$ può essere trascurata. Possiamo quindi prevedere che il moto del pendolo rispetto al carrello sia armonico con lo stesso periodo di quando il carrello è fermo $T= 4 s$ (si commette un errore relativo sul periodo di oscillazione di $2.5*10^-5$).
A causa della non inerzialità, la posizione di equilibrio del pendolo risulta inclinata sulla verticale di un angolo dato da : $tan\theta_0=(a/g)=0.01$ (possiamo certamente approssimare $\theta_0=0.01$).
All'inizio del moto, il pendolo si trova fermo sulla verticale e quindi a $\theta_0$ dalla sua posizione di equilibrio, dopo $2 s$ (ovvero dopo 1/2 periodo) si troverà all'estremo opposto della traiettoria e quindi l'angolo del filo rispetto alla verticale sarà $2\theta_0$ (1.17°) che è la richiesta del problema.
ciao
mirco ma i miei passaggi sono corretti???
il risultato mi viene come te avevo impostato la calcolatrice sui gradi invece che sui radianti!
Cmq nick3000 scusami ma una soluzione più semplice di quella cheti ho postato non mi veniva in mente.....sono andato per la strada più difficile!
Ma ti consiglio, quando avrai più manualità con analisi e fisica di rivederteli questi problemi!
il risultato mi viene come te avevo impostato la calcolatrice sui gradi invece che sui radianti!
Cmq nick3000 scusami ma una soluzione più semplice di quella cheti ho postato non mi veniva in mente.....sono andato per la strada più difficile!
Ma ti consiglio, quando avrai più manualità con analisi e fisica di rivederteli questi problemi!
"valentino86":
mirco ma i miei passaggi sono corretti???
Solo se $|a| < < g$.
ciao
per le ipotei di piccole oscillazioni?
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