Pendolo lungo un piano inclinato
Qual'è il periodo (per piccole oscillazioni) di un pendolo solidale
ad un carrello che scivola lungo un piano inclinato (con angolo alfa) senza attrito?
Sul corpo di massa m appeso al filo di lunghezza L agiscono tre forze:
il peso, la tensione del filo e la forza di inerzia - m at
dove con at indico l'acc. di trascinamento, ossia l'acc. con cui il carrello scivola lungo il piano inclinato.
T + mg - mat = ma
espressione vettoriale.
Come si scive scalarmente?
ad un carrello che scivola lungo un piano inclinato (con angolo alfa) senza attrito?
Sul corpo di massa m appeso al filo di lunghezza L agiscono tre forze:
il peso, la tensione del filo e la forza di inerzia - m at
dove con at indico l'acc. di trascinamento, ossia l'acc. con cui il carrello scivola lungo il piano inclinato.
T + mg - mat = ma
espressione vettoriale.
Come si scive scalarmente?
Risposte
Ciao, inizia col disegnare su un foglio il disegno e fissa un sistema dì riferimento, magari alla base del carrello, disegna le forze agenti ,e dopo,disegna le loro proiezioni sugli assi x e y avvalendoti del seno e coseno,cosi avrai un equazione per l asse x e una per l asse y.
otterrai una equazione non troppo diversa da quella del pendolo in piano...
se quella del pendolo in piano è qualcosa del tipo $ddot \theta =-g/L \theta$ e il periodo è la radice dell'inverso del fattore che moltiplica $\theta$ nell'altra equazione sarà...
se quella del pendolo in piano è qualcosa del tipo $ddot \theta =-g/L \theta$ e il periodo è la radice dell'inverso del fattore che moltiplica $\theta$ nell'altra equazione sarà...
ecco il disegno
dove l'asse x è preso tangente ad un istante generico della oscillazione
dove l'asse x è preso tangente ad un istante generico della oscillazione
Il problema non mi sembra risolvibile per via analitica.
L'equazione del moto relativo alle oscillazioni della massa 2 influenza l'equazione del moto del carrello. L'accelerazione del carrello non e' dunque costante. Le due equazioni differenziali del moto (una per il baricentro del carrello, l'altra per il moto del pendolo) non sono disaccoppiate, quindi in generale non si puo' risolvere il sistema. Senza fare conti, credo che questo sia uno di quei casi.
L'unico modo per risolverlo analiticamente e' (1) considerare le piccole oscillazioni e (2) assumere la massa del pendolo molto minore di quella del carrello, in modo che gli effetti delle oscillazioni siano trascurabili e il carrello scenda di moto uniformemente accelerato.
Molto probabilmente e' meglio usare la conservazione dell'energia meccanica, poiche' ti permette di arrivare all'equazione del moto direttamente e senza dover introdurre la tensione del filo che poi devi eliminare comunque dalle equazioni.
L'equazione del moto relativo alle oscillazioni della massa 2 influenza l'equazione del moto del carrello. L'accelerazione del carrello non e' dunque costante. Le due equazioni differenziali del moto (una per il baricentro del carrello, l'altra per il moto del pendolo) non sono disaccoppiate, quindi in generale non si puo' risolvere il sistema. Senza fare conti, credo che questo sia uno di quei casi.
L'unico modo per risolverlo analiticamente e' (1) considerare le piccole oscillazioni e (2) assumere la massa del pendolo molto minore di quella del carrello, in modo che gli effetti delle oscillazioni siano trascurabili e il carrello scenda di moto uniformemente accelerato.
Molto probabilmente e' meglio usare la conservazione dell'energia meccanica, poiche' ti permette di arrivare all'equazione del moto direttamente e senza dover introdurre la tensione del filo che poi devi eliminare comunque dalle equazioni.
ecco la mia soluzione per il carrelo che si nuove in un piano orizzontale
e poi ho affrornato il caso del piano inclinato di cui gradirei avere una risposta sulla correttezza del suo svolgimento.
Per inciso il Rosati da come soluzione
e poi ho affrornato il caso del piano inclinato di cui gradirei avere una risposta sulla correttezza del suo svolgimento.
Per inciso il Rosati da come soluzione
Mah.
Mi sembra un po difficile come soluzione, la tua.
Se scgeli il SRNI come dici tu, chiamo $\alpha$, l'angolo tra la verticale del filo a piombo e l'asse ortogonale al piano del cuneo; tu lo chiami n in figura).
$\theta$ sara l'angolo formato dal filo con l'asse n
La forza apparente e' parallela al piano inclinato e diretta "a salire" e di modulo $mgsin\alpha$
Calcolo del punto di equilibrio:
Il lavoro (variazione dell'energia potenziale) delle forze esterne e':
$ {dU}/{d\theta}=mgLsin\alphacos\theta-mgLsin(\alpha+\theta) = mgLsin\alphacos\theta-mgLsin(\alpha+\theta)$
Semplificando e sviluppando:
$ {dU}/{d\theta} = mgL(sin\alphacos\theta-sin\alphacostheta-cos\alphasin\theta)= -mgL(cos\alphasin\theta)$
Annullandola, si trova l'equilibrio: risulta $\theta=0$, il pendolo si dispone lungo l'asse n ortogonale al carrello.
$ {d^2U}/{d\theta^2}=-mglcos\alpha cos\theta $
Per $\theta=0$, $ {d^2U}/{d\theta^2}<0 $ ci assicura che l'equilibrio e' stabile.
Il potenziale in un intorno di $\theta=0$ si puo scrivere come
$ U ~~ 1/2 ({d^2U}/{d\theta^2})_\theta* \theta^2=-1/2mglcos\alpha*\theta^2 $
Dalla conservazione de;;'energia meccanica ${dE}/{dt} = {dU}/{dt}$:
$ I\ddot\theta=-mglcos\alpha*\theta $
Che riarrangiata da
$ \ddot\theta+{gcos\alpha}/{L}*\theta=0 $
da cui $ \omega^2= {L}/{gcos\alpha} $ e il periodo di conseguenza.
Questo nell ipotesi, come ti dicevo, che l'accelerazione del carrello si mantenga costante, cosa non vera perche in realta' pulsa.
Usare sempre la conservazione dell'energia quando non sono richieste le reazioni vincolari. Ho fatto piu fatica a scrivere che a ragionarci, emntre a seguire il tuo ragionamento con le forze diventa complicatissimo, soprattutto se ci sono piu corpi in gioco (2 o piu')
Mi sembra un po difficile come soluzione, la tua.
Se scgeli il SRNI come dici tu, chiamo $\alpha$, l'angolo tra la verticale del filo a piombo e l'asse ortogonale al piano del cuneo; tu lo chiami n in figura).
$\theta$ sara l'angolo formato dal filo con l'asse n
La forza apparente e' parallela al piano inclinato e diretta "a salire" e di modulo $mgsin\alpha$
Calcolo del punto di equilibrio:
Il lavoro (variazione dell'energia potenziale) delle forze esterne e':
$ {dU}/{d\theta}=mgLsin\alphacos\theta-mgLsin(\alpha+\theta) = mgLsin\alphacos\theta-mgLsin(\alpha+\theta)$
Semplificando e sviluppando:
$ {dU}/{d\theta} = mgL(sin\alphacos\theta-sin\alphacostheta-cos\alphasin\theta)= -mgL(cos\alphasin\theta)$
Annullandola, si trova l'equilibrio: risulta $\theta=0$, il pendolo si dispone lungo l'asse n ortogonale al carrello.
$ {d^2U}/{d\theta^2}=-mglcos\alpha cos\theta $
Per $\theta=0$, $ {d^2U}/{d\theta^2}<0 $ ci assicura che l'equilibrio e' stabile.
Il potenziale in un intorno di $\theta=0$ si puo scrivere come
$ U ~~ 1/2 ({d^2U}/{d\theta^2})_\theta* \theta^2=-1/2mglcos\alpha*\theta^2 $
Dalla conservazione de;;'energia meccanica ${dE}/{dt} = {dU}/{dt}$:
$ I\ddot\theta=-mglcos\alpha*\theta $
Che riarrangiata da
$ \ddot\theta+{gcos\alpha}/{L}*\theta=0 $
da cui $ \omega^2= {L}/{gcos\alpha} $ e il periodo di conseguenza.
Questo nell ipotesi, come ti dicevo, che l'accelerazione del carrello si mantenga costante, cosa non vera perche in realta' pulsa.
Usare sempre la conservazione dell'energia quando non sono richieste le reazioni vincolari. Ho fatto piu fatica a scrivere che a ragionarci, emntre a seguire il tuo ragionamento con le forze diventa complicatissimo, soprattutto se ci sono piu corpi in gioco (2 o piu')
Grazie tanto.
In effetti è meglio usare la conservaz. dell'enegia.
Ecco comunque per pura pignoleria come l'ho risolto con le eq. del moto.
Sempre per pignoleria segnalo un piccolissimo errore nell'espressione dello sviluppo del potenziale: la derivata seconda va calcolata in 0 e non in teta.
Grazie ancora.
In effetti è meglio usare la conservaz. dell'enegia.
Ecco comunque per pura pignoleria come l'ho risolto con le eq. del moto.
Sempre per pignoleria segnalo un piccolissimo errore nell'espressione dello sviluppo del potenziale: la derivata seconda va calcolata in 0 e non in teta.
Grazie ancora.
Di nulla.
Si, doveva essere $ bar(theta) $ per segnare la posizione di equilibrio, ma mi sono tralasciato la barretta.
Comunque' e' evidente che il calcolo andava fatto in 0, tanto e' vero che ho scritto "in un intorno di 0".
Grazie per la segnalazione
Si, doveva essere $ bar(theta) $ per segnare la posizione di equilibrio, ma mi sono tralasciato la barretta.
Comunque' e' evidente che il calcolo andava fatto in 0, tanto e' vero che ho scritto "in un intorno di 0".
Grazie per la segnalazione
Ultimo chiarimento.
Se la derivata dell'energia spaziale potenziale è quella scritta, l'energia potenziale dovrebbe essere
$U=mgLsinalpha sintheta + mgLcos(alpha+theta)$
non capisco da dove viene.
Se la derivata dell'energia spaziale potenziale è quella scritta, l'energia potenziale dovrebbe essere
$U=mgLsinalpha sintheta + mgLcos(alpha+theta)$
non capisco da dove viene.
No, in realta' ho scritto una stupidaggine.
Non intendevo scrivere la variazione, intendevo scrivere "l'opposto" dell'energia potenziale. Da ora in avanti, ascanso di equivoci chiamero' V il potenziale e $U=-V$ l'energia. potenziale.
Ci sono forze per le quali il potenziale (o l'energia potenziale) e' facilmente determinabile. Tipico caso la forza peso (U=mgy oppure V=-mgy), o la forza elastica (U=$1/2k\Deltax^2$)
Altre forze (la forza di inerzia, per esempio) non hanno una determinazione immediata del potenziale.
In quel caso io mi vado a cercare il potenziale dV calcolando il dL (inteso proprio come Fdq in funzione della variabile).
In genere questo e' sufficiente, poiche' gli esercizi richiedono il punto di equilibrio, che come sai, si trova annullano dU/dq. Quindi non ti interessa stabilire qual e' il punto U=0.
Trovato quindi $dL=F(q)*dq$ (la F(q) si chiama componente lagrangiana) mi basta applicare il teorema di Lagrange:
$ {d}/{dt}((partial E_k)/(partial \dotq))- (partial E_k)/(partial \q)=(partial U)/(partial \q)=f(q) $
Inc asi particolari (quando l'energia cinetica e' funzione solo di $\dotq$), Lagrange si puo semplificare, derivando subito rispetto al tempo (come ho fatto per il tuo esercizio). Mi pare (ma la memoria mi falla a volte, che quello sia l'unico caso per il quale si parla di esistenza di integrale primo dell'energia)
Non intendevo scrivere la variazione, intendevo scrivere "l'opposto" dell'energia potenziale. Da ora in avanti, ascanso di equivoci chiamero' V il potenziale e $U=-V$ l'energia. potenziale.
Ci sono forze per le quali il potenziale (o l'energia potenziale) e' facilmente determinabile. Tipico caso la forza peso (U=mgy oppure V=-mgy), o la forza elastica (U=$1/2k\Deltax^2$)
Altre forze (la forza di inerzia, per esempio) non hanno una determinazione immediata del potenziale.
In quel caso io mi vado a cercare il potenziale dV calcolando il dL (inteso proprio come Fdq in funzione della variabile).
In genere questo e' sufficiente, poiche' gli esercizi richiedono il punto di equilibrio, che come sai, si trova annullano dU/dq. Quindi non ti interessa stabilire qual e' il punto U=0.
Trovato quindi $dL=F(q)*dq$ (la F(q) si chiama componente lagrangiana) mi basta applicare il teorema di Lagrange:
$ {d}/{dt}((partial E_k)/(partial \dotq))- (partial E_k)/(partial \q)=(partial U)/(partial \q)=f(q) $
Inc asi particolari (quando l'energia cinetica e' funzione solo di $\dotq$), Lagrange si puo semplificare, derivando subito rispetto al tempo (come ho fatto per il tuo esercizio). Mi pare (ma la memoria mi falla a volte, che quello sia l'unico caso per il quale si parla di esistenza di integrale primo dell'energia)
Ora è un pochino più chiaro il ragionamento fatto,
quello che non vedo è come l'equazione di Lagrange "si concretizza" nel nostro esercizio.
dV = F dx ??? la forza su m è m g sin$alpha$ ?? e d x??
l'energia cinetica di m è 1/2 m v^2 + 1/2 I $\omega$^2 come si fa la derivata rispetto alla velocità??
quello che non vedo è come l'equazione di Lagrange "si concretizza" nel nostro esercizio.
dV = F dx ??? la forza su m è m g sin$alpha$ ?? e d x??
l'energia cinetica di m è 1/2 m v^2 + 1/2 I $\omega$^2 come si fa la derivata rispetto alla velocità??
L'equazione di Lagrange, in froma generale, nel SDRNI, usando l'angolo come coordinata e':
$ {d}/{dt}*({partialE}/{partial\dot\theta})-{partialE}/{partial\theta}={partialV}/{partial\theta} $
$ E=1/2I\dot\theta^2 $
Esegui le derivate (usando l'espressione approssimata di V trovata all'inizio nell intorno di $\theta=0$ e ti viene l'equazione del moto
$ {d}/{dt}*({partialE}/{partial\dot\theta})-{partialE}/{partial\theta}={partialV}/{partial\theta} $
$ E=1/2I\dot\theta^2 $
Esegui le derivate (usando l'espressione approssimata di V trovata all'inizio nell intorno di $\theta=0$ e ti viene l'equazione del moto
Mi è chiaro quasi tutto... mi rimane da capire solo la da dove esce l'espressione
$(dU)/(dθ)=mgLsinαcosθ−mgLsin(α+θ)$
che implica che l'energia potenziale sia (a meno di costanti additive)
$U = mgLsinalphasintheta+mgLcos(alpha+theta)$
dove L uno spazio generico percorso dalla massa m del pendolo lungo il piano?
Dovrebbe essere da L=-U= F L = mgsin$alpha$ L
Il pendolo lo si deve intendere "congelato" o in movimento?
Nel SRNI ci sono tre forze su m. La tensione T non fa lavoro (perché sempre perpendicolare alla velocità)
la forza peso e la forza apparente si?
$(dU)/(dθ)=mgLsinαcosθ−mgLsin(α+θ)$
che implica che l'energia potenziale sia (a meno di costanti additive)
$U = mgLsinalphasintheta+mgLcos(alpha+theta)$
dove L uno spazio generico percorso dalla massa m del pendolo lungo il piano?
Dovrebbe essere da L=-U= F L = mgsin$alpha$ L
Il pendolo lo si deve intendere "congelato" o in movimento?
Nel SRNI ci sono tre forze su m. La tensione T non fa lavoro (perché sempre perpendicolare alla velocità)
la forza peso e la forza apparente si?
la situazione ricapitolando è la seguente:(manca qualche "dettaglio" da sistemare.....help
se invece poniamo al secondo membro dell'equazione di Lagrange la forza anziché la derivata dell'energia potenziale si arriva all'eq. finale con un altro tipo di errore
mi rendo conto che "ho scocciato" forse un po troppo,
ma arrivati a questo punto vorrei chiarirmi definitivamente il discorso.
ma arrivati a questo punto vorrei chiarirmi definitivamente il discorso.
Ora sono in aeroporto. L ultima espressione manca L, lunghezza del pendolo. Sei in un sistema di riferimento solidale col pendolo, quindi ignorance lo spostamento del blocco
Finalmente ecco la soluzione - Grazie tanto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo