Pendolo in auto
In un’auto viene posto un pendolo semplice di massa $m = 100 g$. Supponendo che l’auto percorra una curva di raggio $ r = 20 m $ ad una velocità (costante in modulo) di $72$$(km)/h$, quanto vale la tensione del filo quando il pendolo si trova nella sua posizione di equilibrio?
Mi aiutate? Non riesco nemmeno ad impostarlo...
Mi aiutate? Non riesco nemmeno ad impostarlo...
Risposte
Che succede , in un'auto in curva ? Un oggetto poggiato sul sedile ,che fa ? Scivola verso l'esterno. Un passeggero, in questo sistema rotante e quindi non inerziale , si sente spinto verso l'esterno della curva. Il passeggero giustifica questo fatto dicendo che nasce , nel sistema rotante , una forza centrifuga , agente su una massa $m$ , diretta radialmente verso l'esterno , di modulo : $m\omega^2r$ . Naturalmente la formula si dimostra.
La forza centrifuga è apparente, perchè in realtà non esiste . È l'auto che curva, la causa dello spinta verso l'esterno.
La massa di un pendolo sospeso nell'auto , pertanto, è spinta in fuori dalla forza centrifuga. Però sulla massa agisce anche la forza peso $mg$ .
Adesso vai avanti tu .
La forza centrifuga è apparente, perchè in realtà non esiste . È l'auto che curva, la causa dello spinta verso l'esterno.
La massa di un pendolo sospeso nell'auto , pertanto, è spinta in fuori dalla forza centrifuga. Però sulla massa agisce anche la forza peso $mg$ .
Adesso vai avanti tu .
Ciao. Dato che non devo utilizzare le forza apparenti, ho usato la forza centripeta e l'ho impostato così:
$T-mg = m*(v^2)/r$
E mi viene $T=3N$
$T-mg = m*(v^2)/r$
E mi viene $T=3N$
Puoi usare la 2º equazione cardinale della dinamica, scritta per un osservatore inerziale esterno all'automobile.
Ma allora devi scrivere :
$vecT + mvecg = m\omega^2r \hatu_r$
la tensione nel filo è un vettore , come è un vettore la forza peso $mvecg$ . Il loro risultante è la forza centripeta, che imprime alla massa l'accelerazione centripeta, diretta radialmente verso il centro ( $hatu_r$ è il versore radiale orientato dalla massa verso l'asse di rotazione ) . LA situazione è come nella figura seguente :
lascia perdere la scritta "pendolo conico" in basso, ho utilizzato la stessa figura per un altro caso .
Dunque , quello che hai scritto tu non è esatto. Ti rendi conto del perchè ?
Ma allora devi scrivere :
$vecT + mvecg = m\omega^2r \hatu_r$
la tensione nel filo è un vettore , come è un vettore la forza peso $mvecg$ . Il loro risultante è la forza centripeta, che imprime alla massa l'accelerazione centripeta, diretta radialmente verso il centro ( $hatu_r$ è il versore radiale orientato dalla massa verso l'asse di rotazione ) . LA situazione è come nella figura seguente :
lascia perdere la scritta "pendolo conico" in basso, ho utilizzato la stessa figura per un altro caso .
Dunque , quello che hai scritto tu non è esatto. Ti rendi conto del perchè ?
"Shackle":
Puoi usare la 2º equazione cardinale della dinamica, scritta per un osservatore inerziale esterno all'automobile.
Ma allora devi scrivere :
$vecT + mvecg = m\omega^2r \hatu_r$
la tensione nel filo è un vettore , come è un vettore la forza peso $mvecg$ . Il loro risultante è la forza centripeta, che imprime alla massa l'accelerazione centripeta, diretta radialmente verso il centro ( $hatu_r$ è il versore radiale orientato dalla massa verso l'asse di rotazione ) . LA situazione è come nella figura seguente :
lascia perdere la scritta "pendolo conico" in basso, ho utilizzato la stessa figura per un altro caso .
Dunque , quello che hai scritto tu non è esatto. Ti rendi conto del perchè ?
Non devo utilizzare forze apparenti, quindi non posso prendere in considerazione un sistema inerziale...
Devo risolverlo senza...
Le due cose che hai detto fanno proprio a botte tra loro!
Proprio perché non devi usare forze apparenti, devi guardare la faccenda da un riferimento inerziale.
Hai chiaro il concetto di riferimento inerziale, e della seconda legge della dinamica? Le forze che ho scritto sono reali, l’accelreazione è centripeta, dunque devi solo determinare la tensione, in modulo e direzione.
C’è un triangolo...
Proprio perché non devi usare forze apparenti, devi guardare la faccenda da un riferimento inerziale.
Hai chiaro il concetto di riferimento inerziale, e della seconda legge della dinamica? Le forze che ho scritto sono reali, l’accelreazione è centripeta, dunque devi solo determinare la tensione, in modulo e direzione.
C’è un triangolo...
"Shackle":
Le due cose che hai detto fanno proprio a botte tra loro!
Proprio perché non devi usare forze apparenti, devi guardare la faccenda da un riferimento inerziale.
Hai chiaro il concetto di riferimento inerziale, e della seconda legge della dinamica? Le forze che ho scritto sono reali, l’accelreazione è centripeta, dunque devi solo determinare la tensione, in modulo e direzione.
C’è un triangolo...
Così avrei però incognita la velocità angolare, e la lunghezza del pendolo che mi servirebbe per calcolarla non ce l'ho...
Il testo ti dà la velocità dell'auto in curva , e il raggio. Non bastano ?
"Shackle":
Il testo ti dà la velocità dell'auto in curva , e il raggio. Non bastano ?
Potrei fare $w = v/r$, ma poi?
Lo faccio io, visto che hai difficoltà.
Nell'auto in curva , vista da un OI esterno, la massa pendolare si sposta in fuori, perchè vorrebbe proseguire diritta ( per il principio di inerzia ) ma l'auto percorre una curva; e, siccome la massa è appesa ad un filo, questo filo non può far altro che disporsi con una certa inclinazione di equilibrio rispetto alla verticale; l'inclinazione , cioè l'angolo $theta$ che il filo forma con la verticale in condizioni di equilibrio , è data, in prima approssimazione (vedere la spiegazione dopo) da :
$tg\theta = F_c/P = a_c/g = (\omega^2r)/g = v^2/(rg) $
Il modulo della tensione nel filo si trova considerando che la tensione è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo , i cui cateti sono la forza centripeta e la forza peso . In formule :
$T = msqrt(\omega^4r^2 +g^2) $
ovvero, noto l'angolo $theta$ che il filo forma con la verticale : $ T = F_c/(sen\theta)$
Ma questa soluzione è approssimata . Il raggio $r'$ a cui si trova la massa appesa, quando la macchina è in curva , è maggiore del raggio $r$ della traiettoria descritta dalla macchina . Si ha :
$r' = r + lsentheta$
e l'angolo $theta$ è a sua volta funzione della velocità angolare :
$tg \theta = \omega^2/g* (r + lsentheta) $ ........(1)
dove $l$ è la lunghezza del filo. A chiarimento di quanto sopra metto questo disegno :
Osserva la fig.2 , dove ho indicato l'automobile in sezione. Solo se la quantità $lsentheta$ , dove $l$ è la lunghezza del filo, è trascurabile rispetto a $r$ la si può ignorare , e quindi dire che la tangente dell'angolo che il filo forma con la verticale è data da :
$tg\theta = (omega^2r)/g$
altrimenti viene fuori l'espressione (1) un po' più complicata, che si può risolvere per successive approssimazioni .
Ma , per farlo, devi avere la lunghezza del filo, che non hai . Perciò penso che chi ha dato l'esercizio si accontenti della prima approssimazione .
In passato abbiamo discusso molto con professorkappa di questa storia , qui ; nella discussione linkata è presente anche un esercizio analogo di B. Finzi , a cui ti consiglio di dare un'occhiata.
Comunque , ripeto : in prima approssimazione , puoi assumere $r'=r$ = raggio della traiettoria circolare seguita dall'auto. Questo è importante per te, ora . Spero sia chiaro .
Nell'auto in curva , vista da un OI esterno, la massa pendolare si sposta in fuori, perchè vorrebbe proseguire diritta ( per il principio di inerzia ) ma l'auto percorre una curva; e, siccome la massa è appesa ad un filo, questo filo non può far altro che disporsi con una certa inclinazione di equilibrio rispetto alla verticale; l'inclinazione , cioè l'angolo $theta$ che il filo forma con la verticale in condizioni di equilibrio , è data, in prima approssimazione (vedere la spiegazione dopo) da :
$tg\theta = F_c/P = a_c/g = (\omega^2r)/g = v^2/(rg) $
Il modulo della tensione nel filo si trova considerando che la tensione è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo , i cui cateti sono la forza centripeta e la forza peso . In formule :
$T = msqrt(\omega^4r^2 +g^2) $
ovvero, noto l'angolo $theta$ che il filo forma con la verticale : $ T = F_c/(sen\theta)$
Ma questa soluzione è approssimata . Il raggio $r'$ a cui si trova la massa appesa, quando la macchina è in curva , è maggiore del raggio $r$ della traiettoria descritta dalla macchina . Si ha :
$r' = r + lsentheta$
e l'angolo $theta$ è a sua volta funzione della velocità angolare :
$tg \theta = \omega^2/g* (r + lsentheta) $ ........(1)
dove $l$ è la lunghezza del filo. A chiarimento di quanto sopra metto questo disegno :
Osserva la fig.2 , dove ho indicato l'automobile in sezione. Solo se la quantità $lsentheta$ , dove $l$ è la lunghezza del filo, è trascurabile rispetto a $r$ la si può ignorare , e quindi dire che la tangente dell'angolo che il filo forma con la verticale è data da :
$tg\theta = (omega^2r)/g$
altrimenti viene fuori l'espressione (1) un po' più complicata, che si può risolvere per successive approssimazioni .
Ma , per farlo, devi avere la lunghezza del filo, che non hai . Perciò penso che chi ha dato l'esercizio si accontenti della prima approssimazione .
In passato abbiamo discusso molto con professorkappa di questa storia , qui ; nella discussione linkata è presente anche un esercizio analogo di B. Finzi , a cui ti consiglio di dare un'occhiata.
Comunque , ripeto : in prima approssimazione , puoi assumere $r'=r$ = raggio della traiettoria circolare seguita dall'auto. Questo è importante per te, ora . Spero sia chiaro .
Tutto chiaro, grazie.
Non capisco se nessuno ha letto l'esercizio, o se provate a spaventare le persone con spiegazioni inutili
Visto che un mio studente mi ha portato questa pagina dicendomi che non capisce come risolvere l'esercizio nonostante le spiegazioni , mi sento in dovere di scrivere
Semplicemente per impostare l'esercizio dovete considerare che il filo è colui che deve fornire l'accelerazione centripeta al pendolo oltre che ad equilibrare la forza peso forze che andranno a formare un triangolo rettangolo di cui la tensione del filo sarà semplicemente l'ipotenusa.
L'accelerazione centripeta sarà semplicemente $ ac= v^2/R = 20 m/s^2 $
la forza centripeta (ricordate $ F=m*a $) di conseguenza $ Fc= ac * m = 2 N $
La Tensione sarà quindi (usando Pitagora) $ T= sqrt( Fp^2 + Fc^2) ~= sqrt(5) $
Fine.
Visto che un mio studente mi ha portato questa pagina dicendomi che non capisce come risolvere l'esercizio nonostante le spiegazioni , mi sento in dovere di scrivere
Semplicemente per impostare l'esercizio dovete considerare che il filo è colui che deve fornire l'accelerazione centripeta al pendolo oltre che ad equilibrare la forza peso forze che andranno a formare un triangolo rettangolo di cui la tensione del filo sarà semplicemente l'ipotenusa.
L'accelerazione centripeta sarà semplicemente $ ac= v^2/R = 20 m/s^2 $
la forza centripeta (ricordate $ F=m*a $) di conseguenza $ Fc= ac * m = 2 N $
La Tensione sarà quindi (usando Pitagora) $ T= sqrt( Fp^2 + Fc^2) ~= sqrt(5) $
Fine.
"Lionar":
Non capisco se nessuno ha letto l'esercizio, o se provate a spaventare le persone con spiegazioni inutili
[....]
Egregio professore,
non ho scritto io la risposta a questo problema, ma sono un frequentatore di questo forum da diversi anni e mi sento in dovere di precisare alcune cose.
Breve premessa.
Questo è un forum in cui chi risponde è soprattutto un dilettante, ma dilettante nel senso originario del termine: cioè chi si diletta. Quindi chi interviene in aiuto di qualcuno lo fa per puro piacere personale, non ha nessuno a cui dover render conto, se non la propria coscienza. Tuttavia questo non invalida il buon funzionamento del forum, visto che nella maggior-parte dei casi, se qualcuno dà una risposta sbagliata o fuorviante viene corretto da altri. Chi poi fornisce risposte "esotiche" viene spesso redarguito e in casi estremi persino bannato dai moderatori.
Comunque questo è un luogo in cui chiunque può partecipare per puro diletto, ripeto.
Detto questo, che già dovrebbe farle capire che il suo intervento sia nei termini che nei toni è del tutto fuori luogo, anche nel merito non capisco cosa ci sia da rimproverare.
Shackle (colui che ha risposto principalmente qui) ha provato, invece di risolvere l'esercizietto, cosa che non si dovrebbe fare qui in prima battuta almeno, a far riflettere un po' di più.
Ha infine fornito la soluzione e ha dato un ulteriore spunto di riflessione sul fatto che se il raggio di curvatura non fosse grande rispetto alla lunghezza del pendolo le cose sarebbero un po' più complicate.
Non ho verificato ogni singolo passaggio, ma l'intento e lo spirito è chiarissimo, non capisco come lei non l'abbia colto e come possa dire che qui ci si diverte "a spaventare con spiegazioni inutili".
Fornire qualche elemento in più di riflessione non guasta mai, soprattutto in un forum come questo. Strano che non lo capisca proprio lei che è un insegnante.
Spero che possa riconsiderare quanto ha ingiustamente scritto.
Il background di questo facile esercizio peraltro è uno degli argomenti più fraintesi dagli studenti: soprattutto la distinzione tra sistema inerziale e sistema non inerziale e conseguenti forze apparenti (la confusione tra forza centrifuga e centripeta è un classico), quindi ogni approfondimento in tal senso non guasta.
A scanso di equivoci le dico che Shackle ed io non siamo assolutamente la stessa persona, ci conosciamo da anni ma solo attraverso questo forum e peraltro abbiamo avuto nel passato anche occasioni per non essere d'accordo nel modo di rispondere ad alcuni temi qui; conosco quindi la sua conoscenza e serietà, anche per questo, ma non soprattutto per questo, mi sono sentito in dovere di intervenire.
Saluti.
"Faussone":
... ma sono un frequentatore di questo forum da diversi anni ...
sfioriamo il decennio caro amico
[ot]le decadi passano in un attimo, sono certi pomeriggi che non finiscono mai...[/ot]
Ciao Faussone! Quante “frecce virtuali “ ci siamo lanciate io e te, quando non eravamo d’accordo su certi argomenti !
"Lionar":
Semplicemente per impostare l'esercizio dovete considerare che il filo è colui che deve fornire l'accelerazione centripeta al pendolo oltre che ad equilibrare la forza peso forze che andranno a formare un triangolo rettangolo di cui la tensione del filo sarà semplicemente l'ipotenusa.
Questa frase non mi torna nuova...dove l'ho sentita? Vediamo, vediamo...Ah si, fa parte della "spiegazione inutile" che ha dato quell'orco di Shackle per spaventare il povero studente.....Cito testuale: "Il modulo della tensione nel filo si trova considerando che la tensione è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo , i cui cateti sono la forza centripeta e la forza peso"
"Lionar":
la forza centripeta (ricordate $ F=m*a $) di conseguenza $ Fc= ac * m = 2 N $
Fine.
Shackle, mi raccomando, segnati sul taccuino $F=ma$, cosi te la ricordi. Pare che sia una relazione molto importante, nel caso non la conoscessi
"segnati sul taccuino".....si vede che comincio ad essere in la' con l'eta' Intendevo, ovviamente, prendi nota sull'Ipad
Intendevo, ovviamente, prendi nota sull'Ipad
Questa frase non mi torna nuova...dove l'ho sentita? Vediamo, vediamo...Ah si, fa parte della "spiegazione inutile" che ha dato quell'orco di Shackle per spaventare il povero studente.....Cito testuale: "Il modulo della tensione nel filo si trova considerando che la tensione è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo , i cui cateti sono la forza centripeta e la forza peso"
Si peccato che abbia rovinato tutto scrivendo
$T = msqrt(\omega^4r^2 +g^2) $ perché passare ad omega?
un conto è stimolare, magari facendo ragionare sulle esperienze quotidiane o su altri casi particolari, un altro è fare copia incolla di formule e situazioni non attinenti alla domanda del problema, cosi uno che cercava di capire la risoluzione di un problema da fare in circa 5 min si trova spiazzato perché pensa di dover considerare cose che il testo non chiede o di dover fare passaggi inutili che allungano il tempo di risoluzione
Gli spunti di ampliamento vanno benissimo, ma devono essere tali e non mascherati da risposta
Si peccato che abbia rovinato tutto scrivendo
$T = msqrt(\omega^4r^2 +g^2) $ perché passare ad omega?
un conto è stimolare, magari facendo ragionare sulle esperienze quotidiane o su altri casi particolari, un altro è fare copia incolla di formule e situazioni non attinenti alla domanda del problema, cosi uno che cercava di capire la risoluzione di un problema da fare in circa 5 min si trova spiazzato perché pensa di dover considerare cose che il testo non chiede o di dover fare passaggi inutili che allungano il tempo di risoluzione
Gli spunti di ampliamento vanno benissimo, ma devono essere tali e non mascherati da risposta
Ciao professorKappa!
Anche con te ci siamo talvolta tirati “pietre virtuali “ , in particolare su un problema simile, che ho anche citato, non abbiamo trovato accordo!
Non intendo replicare al professore, che pensa di essere in aula a far lezione, anziché in un forum, dove c’è gentarella che fa “copia e incolla “ ; e che, senti senti, si permette di calcolare la forza centripeta come $m\omega^2r$ , addirittura introducendo $omega$ !!
Queste novità spaventano i ragazzi! E che maniere!
Mi sembra però che l’ OP alla fine abbia detto “tutto chiaro, grazie “ , e in fondo questo è ciò che ognuno di noi si aspetta: che “sia chiaro “ , anche se non è accompagnato da “grazie “.
Sul motivo per cui la soluzione è approssimata, poiché la distanza della massa dall’asse dipende da $\omega$ , come vedemmo a suo tempo, non desidero dilungarmi, altrimenti “si spaventa “ qualcun altro. Ma se pensiamo a una giostra, dove i sediolini sono appesi con catene a un disco di un certo raggio, paragonabile alla lunghezza delle catene, la questione diventa evidente; ricordi l’esercizio del Finzi, che ho “copiato e incollato “ ?
Io uso ancora fogli di carta e penna, sono nell’ ottava decade!
Anche con te ci siamo talvolta tirati “pietre virtuali “ , in particolare su un problema simile, che ho anche citato, non abbiamo trovato accordo!
Non intendo replicare al professore, che pensa di essere in aula a far lezione, anziché in un forum, dove c’è gentarella che fa “copia e incolla “ ; e che, senti senti, si permette di calcolare la forza centripeta come $m\omega^2r$ , addirittura introducendo $omega$ !!
Queste novità spaventano i ragazzi! E che maniere!
Mi sembra però che l’ OP alla fine abbia detto “tutto chiaro, grazie “ , e in fondo questo è ciò che ognuno di noi si aspetta: che “sia chiaro “ , anche se non è accompagnato da “grazie “.
Sul motivo per cui la soluzione è approssimata, poiché la distanza della massa dall’asse dipende da $\omega$ , come vedemmo a suo tempo, non desidero dilungarmi, altrimenti “si spaventa “ qualcun altro. Ma se pensiamo a una giostra, dove i sediolini sono appesi con catene a un disco di un certo raggio, paragonabile alla lunghezza delle catene, la questione diventa evidente; ricordi l’esercizio del Finzi, che ho “copiato e incollato “ ?
Io uso ancora fogli di carta e penna, sono nell’ ottava decade!
"Lionar":
Si peccato che abbia rovinato tutto scrivendo
$T = msqrt(\omega^4r^2 +g^2) $ perché passare ad omega?
...cioè in pratica stai sostenendo (passo al tu, nonostante prima abbia usato il lei, in un forum si usa darsi del tu) che lo spavento e la non chiarezza sarebbero dovuti al non aver scritto esplicitamente $omega=v/r$?
Capisco che il tuo studente possa pensare questo ma che lo pensi tu mi fa letteralmente cadere le braccia.
La spiegazione di Shackle è chiara, basta leggerla, se non si capisce quella formula basta rileggere quanto scritto sopra la formula stessa.
Anzi direi che quella mancata precisazione di Shackle poteva essere involontariamente uno stimolo in più a pensare, molto meglio che dare una soluzione bella e pronta (il passaggio è davvero molto banale, ma per uno studente alle prime armi è comunque una piccola occasione in più per vedere se ha capito quei due concetti).
Ci lamentiamo poi che gli studenti di oggi, vogliono la pappa pronta? Certo se vengono abituati male...
"gio73":
sfioriamo il decennio caro amico
[ot]le decadi passano in un attimo, sono certi pomeriggi che non finiscono mai...[/ot]
Ciao gio73, (visto il tuo anno potevamo essere compagni di scuola
, mi pare lo abbia già osservato in passato)!Sì lo so
Bella la citazione, l'ho già sentita, ma non ricordo dove.
Un saluto anche agli altri amici di qui intervenuti, ciao Shackle e professorkappa!
If you can't explain it simply, you don't understand it well enough.
Uncertain attribution (A. EInstein ?; R. P. Feynman?)
Uncertain attribution (A. EInstein ?; R. P. Feynman?)
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo