Pendolo Fisico Composto

[lockheed]

Ciao a tutti!
Ho questo esercizioin cui mi sono bloccata:
"è dato un pendolo fisico composto da un'asta di massa $ m $ e di lunghezza $ l $ incernierata ad un'estremità O e da un disco fisso di massa $ M $ e raggio $ R $ il cui centro di massa è incernierato all'altra estremità dell'asta.
Il sistema viene spostato di un angolo $ vartheta {::}_(0) $ e viene lasciato oscilare da fermo.
Raggiunta la posizione verticale (cioè per $ vartheta=0 $ ) il disco viene lasciato libero di ruotare attorno al suo centro di massa. Descrivere il moto."

Ho difficoltà a capire cosa succede una volta che il disco è lasciato libero di ruotare...ma partiamo dall'inizio.
Per il primo pezzo posso trattare tutto come un unico sistema che ruota attorno al vincolo O ed ho conservazione dell'Energia meccanica perchè non intervengono forze dissipative:
$ U{::}_( f)+ K{::}_( f)=U{::}_( i)+K{::}_( i) $ ma $ K{::}_( i)=0 $ ,
quindi mi rimane: $ U{::}_( i)= Mgl(1-cosvartheta {::}_( 0))+mgl(1-(cosvartheta{::}_( 0))/2) $ , $ U{::}_( f)=mgl/2 $
e $ K{::}_( f)=(1/2MR^2+ml^2+1/3ml^2)*1/2w{::}_( 1)^2 $ dove $ w{::}_( 1) $ è la velocità angolare del sistema nella posizione verticale. Risolvo e mi ricavo $ w{::}_( 1) $ .
Ora ho difficoltà nel continuare. Intuitivamente capisco che togliendo il vincolo al disco questo comincierà a ruotare. Quindi il disco non ruoterà più rispetto al vincolo O, ma solo rispetto al proprio centro di massa. Il problema è: questa velocità angolare è costante? Come la ricavo?
Inoltre per un generico angolo $ vartheta {::}_( 2) $ successivo alla liberazione del disco come descrivo il moto?
Io ho fatto così, ma penso sia sbagliato: il disco non ruotando più rispetto ad O posso trattarlo come un punto materiale di massa M a distanza $ l $ da O.
L'energia meccanica si conserva sempre perchè non intervengono forze dissipative. Prendo come fase iniziale quella in posizione verticale ed ho:
$ U {::}_( i) =mgl/2 $
$ U{::}_( f)=mgl(1-(cosvartheta {::}_( 2))/2)+Mgl(1-cosvartheta {::}_( 2)) $
$ K{::}_( i)=(1/3ml^2+Ml^2)1/2w{::}_( 1)^2 $
$ K{::}_( f)=(1/3ml^2+Ml^2)1/2w{::}_( 2)^2+1/2(1/2MR^2)w{::}_( r)^2 $
dove $ w{::}_( r) $ è la velocità angolare del disco rispetto al suo centro di massa che però non so come ricavarmi.
Come si risolve? Grazie in anticipo per le risposte!

[anonymous_0b37e9]

"lockheed":
... questa velocità angolare è costante?

Certamente. Una volta lasciato libero di ruotare, le uniche forze esterne che agiscono sul disco, la sua forza peso e la reazione vincolare esercitata dall'asta, sono applicate nel centro di massa. Condizione sufficiente per concludere che la sua velocità angolare sarà costante.

"lockheed":
Come la ricavo?

Coincide con la velocità angolare $\omega_1$ del sistema rigido quando l'asta è diretta lungo la verticale.

[lockheed]

[/quote]
Coincide con la velocità angolare $\omega_1$ del sistema rigido quando l'asta è diretta lungo la verticale.[/quote]
Ma come faccio a dimostrarlo in formule?

[piovrik314]

Se non ho capito male, quando il pendolo raggiunge la posizione verticale si "sgancia" dalla cerniera in O e si "aggancia" ad un'altra cerniera in corrispondenza del centro di massa. Se è così penso che la seconda parte del problema vada risolta applicando la conservazione del momento angolare.

[anonymous_0b37e9]

Prima che il disco sia lasciato libero di ruotare, la reazione vincolare esercitata dall'asta sul disco è equivalente a una forza variabile applicata nel suo centro di massa (come la forza peso, di momento nullo rispetto al medesimo) e a una coppia di momento variabile $[M ne 0]$:

$[(dK_G)/(dt)=M] rarr [I_G(d\omega)/(dt)=M] rarr [(d\omega)/(dt)=M/I_G ne 0]$

Tuttavia, quando il disco è lasciato libero di ruotare, poichè l'incastro diventa una cerniera:

$[M=0] rarr [(d\omega)/(dt)=0]$

[lockheed]

Capito! Grazie mille!
Invece i ragionamenti fatti per il moto dopo la liberazione del disco sono giusti?

[anonymous_0b37e9]

Intanto, nel corso della prima fase, devi aver commesso una svista. Nel calcolare un termine del momento d'inerzia hai scambiato le masse: non $[1/3ml^2+1/2MR^2+ml^2]$ ma $[1/3ml^2+1/2MR^2+Ml^2]$.

Fase 1. Conservazione energia meccanica

$mgl(1-1/2cos\theta_0)+Mgl(1-cos\theta_0)=1/2(1/3ml^2+1/2MR^2+Ml^2)\omega_1^2+1/2mgl$

$\omega_1=...$

Inoltre, quando il disco è lasciato libero di ruotare, il sistema si comporta come un pendolo rigido, al netto del disco che ruota a velocità angolare costante $\omega_1$. Tuttavia, l'ampiezza delle oscillazioni $\theta_1$ deve essere necessariamente minore:

Fase 2. Conservazione energia meccanica

$mgl(1-1/2cos\theta_0)+Mgl(1-cos\theta_0)=mgl(1-1/2cos\theta_1)+Mgl(1-cos\theta_1)+1/4MR^2\omega_1^2$

$\theta_1=...$

Decidi tu se è sufficiente per soddisfare la consegna di descrivere il moto.

[lockheed]

Sì scusami è stata una svista!
Grazie mille per l'aiuto, ho capito tutto.