Pendolo ed energia
Un pendolo semplice oscilla attorno alla posizione di equilibrio, eseguendo un moto armonico semplice di ampiezza $A=0,02 m$ e periodo $T=0,50 s$. La massa $m$ del pendolo è di $0,1 kg$.
Calcola l'energia cinetica e l'energia potenziale massima del pendolo
[$U_max=K_max=(2pi^2mA^2)/T^2]
Calcola l'energia cinetica e l'energia potenziale massima del pendolo
[$U_max=K_max=(2pi^2mA^2)/T^2]
Risposte
il problema dov'è? non l'ho capito 
Non capisco come arrivare a quella soluzione, che formule dell'energia o del moto armonico devo utilizzare per arrivare alla soluzione tra parentesi.
"elios":
Non capisco come arrivare a quella soluzione, che formule dell'energia o del moto armonico devo utilizzare per arrivare alla soluzione tra parentesi.
sicuramente l'energia cinetica massima si ha quando il pendolo passa per la verticale passante per il punto di sospensione e la potenziale ai suoi estremi (punti di massima ampiezza)
Vedi se va bene questa soluzione.
Trattandosi di un pendolo semplice, la lunghezza L del pendolo la puoi trovare con la formula $T=2pi sqrt(L/g)$ da cui ti ricavi $L=(T^2g)/(4pi^2)$ Chiamando ora $alpha$ l'ampiezza ( in radianti) della semioscillazione semplice ,sarà $alpha=A/L$ per la formula angolo =arco/raggio [nel nostro caso il raggio è L e l'arco è l'ampiezza A).Nel punto più alto della traiettoria l'altezza raggiunta dal pendolo è data dalla formula ( facilmente ricavabile) $h=L(1-cos alpha)$ e approssimando cosx con 1-x^2/2 si ottiene che:$h=L(alpha^2)/2$.Pertanto l'energia potenziale massima sarà $U_(max)=mgh=mg*L(alpha^2)/2=mgL*(A^2)/(2L^2)=(mgA^2)*1/(2L)=mgA^2*(2pi^2)/(T^2g)=(2pi^2mA^2)/(T^2)
Nel punto più alto l'energia totale è solo potenziale mentre nel punto più basso è solo cinetica e quindi ,per la conservazione dell'energia ,l'energia cinetica massima $K_(max)$ avrà il medesimo valore $(2pi^2mA^2)/(T^2)
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Ciao
Trattandosi di un pendolo semplice, la lunghezza L del pendolo la puoi trovare con la formula $T=2pi sqrt(L/g)$ da cui ti ricavi $L=(T^2g)/(4pi^2)$ Chiamando ora $alpha$ l'ampiezza ( in radianti) della semioscillazione semplice ,sarà $alpha=A/L$ per la formula angolo =arco/raggio [nel nostro caso il raggio è L e l'arco è l'ampiezza A).Nel punto più alto della traiettoria l'altezza raggiunta dal pendolo è data dalla formula ( facilmente ricavabile) $h=L(1-cos alpha)$ e approssimando cosx con 1-x^2/2 si ottiene che:$h=L(alpha^2)/2$.Pertanto l'energia potenziale massima sarà $U_(max)=mgh=mg*L(alpha^2)/2=mgL*(A^2)/(2L^2)=(mgA^2)*1/(2L)=mgA^2*(2pi^2)/(T^2g)=(2pi^2mA^2)/(T^2)
Nel punto più alto l'energia totale è solo potenziale mentre nel punto più basso è solo cinetica e quindi ,per la conservazione dell'energia ,l'energia cinetica massima $K_(max)$ avrà il medesimo valore $(2pi^2mA^2)/(T^2)
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Ciao
Grazie mille. Nel frattempo ero arrivata ad una soluzione anche io:
Essendo un moto armonico semplice la velocità sarà data da $v=Aomegacosomegat$. Il valore massimo della velocità sarà quando $cosomegat=1$, quindi $v=Aomega$. La velocità angolare, o pulsazione, è anche data da $omega=(2pi)/T$.
Se inserisco questa formula nella formula dell'energia cinetica:
$K=1/2mv^2=1/2m(A2pi/T)^2=1/2mA^24(pi)^2/T^2=(2mA^2pi^2)/T^2$
Da qui ricavo anche l'energia potenziale, che, come hai detto tu, sarà uguale..
Essendo un moto armonico semplice la velocità sarà data da $v=Aomegacosomegat$. Il valore massimo della velocità sarà quando $cosomegat=1$, quindi $v=Aomega$. La velocità angolare, o pulsazione, è anche data da $omega=(2pi)/T$.
Se inserisco questa formula nella formula dell'energia cinetica:
$K=1/2mv^2=1/2m(A2pi/T)^2=1/2mA^24(pi)^2/T^2=(2mA^2pi^2)/T^2$
Da qui ricavo anche l'energia potenziale, che, come hai detto tu, sarà uguale..
Era: $1/2mA^(2)4pi^2/T^2=(2mA^2pi^2)/T^2
Non ho capito il tuo passaggio: da $cosx$ a $1-x^2/2$, se questo intendevi..
Si tratta dello sviluppo di McLaurin di cosx,arrestato al 2° termine.Questa approssimazione è lecita dal momento che il pendolo e' semplice e siamo quindi nel campo delle piccole oscillazioni .
Ottima la tua soluzione.
ciao.
Ottima la tua soluzione.
ciao.
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