Pendolo conico
Salve,
ho qualche dubbio sul pendolo conico.
Se considero un sistema di riferimento inerziale e considero la tensione del filo e la forza peso, allora l unica forza risultante è quella centripeta.
Se considero però il momento rispetto al punto O dove è attaccato il filo si ha un momento risultante che tenderebbe a farmi scendere il pesetto.
Se considero le forze il moto è corretto, se invece considero il momento rispetto ad O allora non torna.
Dov' è l' errore ??
ho qualche dubbio sul pendolo conico.
Se considero un sistema di riferimento inerziale e considero la tensione del filo e la forza peso, allora l unica forza risultante è quella centripeta.
Se considero però il momento rispetto al punto O dove è attaccato il filo si ha un momento risultante che tenderebbe a farmi scendere il pesetto.
Se considero le forze il moto è corretto, se invece considero il momento rispetto ad O allora non torna.
Dov' è l' errore ??
Risposte
Scusa la domanda, il pendolo conico di cui parli è il pendolo sferico? In tal caso la trattazione completa la trovi facilmente in letteratura.
Immagino che il pendolo conico a cui ti riferisci sia una pallina $P$ di massa $m$ , attaccata a un filo, il quale è legato con l'altro capo in un punto $O$ di un asse $z$ verticale. Il piano $xy$ è orizzontale. LA pallina pesa $mvecg$ , e si suppone in rotazione su traiettoria circolare, con una certa velocità tangenziale $vecv$ , quindi $vecv$ è parallelo al piano orizzontale.
Tutto giusto ?
Adesso devi ragionare sulla seconda equazione cardinale della dinamica.
Innanzitutto , il momento angolare rispetto al polo $O$ è dato da : $vecL = m*vec((P-O))xxvecv$ , quindi è perpendicolare al piano determinato dai due vettori detti, che cambia in ogni istante. Lo hai visualizzato? Hai disegnato il vettore $vecL$ ?
Questo vettore ruota , evidentemente. Ma come ruota?
La seconda eq. cardinale dice che : $ vecM_e = (dvecL)/(dt) $ : la variazione elementare del momento angolare $dvecL$ deve avere la stessa direzione del vettore $vecM_e$ . Il vettore momento della forza peso, che è l'unica forza esterna capace di far variare il momento angolare , è uguale a :
$vecM_e = vec((P-O)) xxmvecg$
Percio questo vettore momento di forza è orizzontale, la componente sull'asse $z$ è zero. Ma ruota nel piano orizzontale perché la pallina ruota, no ?
Allora, la componente del momento angolare sull'asse $z$ resta costante. Perciò la velocità angolare con cui ruota il filo resta costante.
Se dai un impulso iniziale alla pallina, cioè una certa accelerazione che porta la velocità tangenziale ad un certo valore, il moto rotatorio prosegue con quella velocità angolare costante, raggiunta alla fine del transitorio, secondo la relazione :
$L_z = I_z\omega$ .
Dal punto di viste delle forze, certamente in un riferimento inerziale : $mveca = vecT + mvecg$ , oppure nel riferimento rotante :
$mvecg + vecT + vecF_c = 0$
dove $vecF_c $ è la forza centrifuga.
Tutto giusto ?
Adesso devi ragionare sulla seconda equazione cardinale della dinamica.
Innanzitutto , il momento angolare rispetto al polo $O$ è dato da : $vecL = m*vec((P-O))xxvecv$ , quindi è perpendicolare al piano determinato dai due vettori detti, che cambia in ogni istante. Lo hai visualizzato? Hai disegnato il vettore $vecL$ ?
Questo vettore ruota , evidentemente. Ma come ruota?
La seconda eq. cardinale dice che : $ vecM_e = (dvecL)/(dt) $ : la variazione elementare del momento angolare $dvecL$ deve avere la stessa direzione del vettore $vecM_e$ . Il vettore momento della forza peso, che è l'unica forza esterna capace di far variare il momento angolare , è uguale a :
$vecM_e = vec((P-O)) xxmvecg$
Percio questo vettore momento di forza è orizzontale, la componente sull'asse $z$ è zero. Ma ruota nel piano orizzontale perché la pallina ruota, no ?
Allora, la componente del momento angolare sull'asse $z$ resta costante. Perciò la velocità angolare con cui ruota il filo resta costante.
Se dai un impulso iniziale alla pallina, cioè una certa accelerazione che porta la velocità tangenziale ad un certo valore, il moto rotatorio prosegue con quella velocità angolare costante, raggiunta alla fine del transitorio, secondo la relazione :
$L_z = I_z\omega$ .
Dal punto di viste delle forze, certamente in un riferimento inerziale : $mveca = vecT + mvecg$ , oppure nel riferimento rotante :
$mvecg + vecT + vecF_c = 0$
dove $vecF_c $ è la forza centrifuga.
Chiedo scusa, ma un pendolo del genere non l'avevo mai incontrato ... 
Se ho capito bene, si tratterebbe allora di un pendolo che scivola su di un cono circolare retto rigido posto in giù, con il vertice nel punto di applicazione del pendolo. Allora cosa si chiederebbe? La velocità limite oltre la quale la pallina lascia il cono?
Oppure, mi sembra più interessante, si tratta di un pendolo sferico, che ammette orbite molto più "fantasiose"?
Se ho capito bene, si tratterebbe allora di un pendolo che scivola su di un cono circolare retto rigido posto in giù, con il vertice nel punto di applicazione del pendolo. Allora cosa si chiederebbe? La velocità limite oltre la quale la pallina lascia il cono?Oppure, mi sembra più interessante, si tratta di un pendolo sferico, che ammette orbite molto più "fantasiose"?
Grazie molte. In un sistema di riferimento non inerziale lo studio del sistema è molto più intuitivo, mentre se non si considera la forza centrifuga e devo quindi considerare la variazione del momento angolare, la situazione ( almeno per me ) è molto meno intuitiva, ma applicando le giuste equazione si descrive molto facilmente.
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