Pendolo con molla
Due aste di lunghezza L e massa trascurabile sono incernierate ad un punto fisso; alle altre estremità sono collegate due masse uguali m e una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo l... Determinare le equazioni di moto del sistema approssimando a piccole oscillazioni.
Risposte
c'è un campo gravitazionale, I guess??
Si giusto , mi sono dimenticato di specificarlo ma c'è anche la gravità... I capi della molla sono collegati alle due masse all'estremità delle aste.
Ci provo al volo (considerando simmetrie e antisimmetrie):
$\omega_1=\sqrt(g/L)$ (parte antisimmetrica)
$\omega_2=\sqrt(g/L+2k/m)$ (parte simmetrica)
moti delle due masse (A e B)
$x_A=C_1*\sin(\omega_1t+\phi_1)+C_2*\sin(\omega_2t+\phi_2)$
$x_B=C_1*\sin(\omega_1t+\phi_1)-C_2*\sin(\omega_2t+\phi_2)$
OK?
ciao
$\omega_1=\sqrt(g/L)$ (parte antisimmetrica)
$\omega_2=\sqrt(g/L+2k/m)$ (parte simmetrica)
moti delle due masse (A e B)
$x_A=C_1*\sin(\omega_1t+\phi_1)+C_2*\sin(\omega_2t+\phi_2)$
$x_B=C_1*\sin(\omega_1t+\phi_1)-C_2*\sin(\omega_2t+\phi_2)$
OK?
ciao
Parte simmetrica e asimmetrica non so cosa significa 
Mi risulta una espressione di questo tipo:
alfa=c1 cos(wt) + c2 sin(wt) + a t^2 + c3 t + c4
con quattro costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.
alfa è l'angolo che forma con la verticale una delle due aste... per l'altra asta viene una espressione simile.
C'è qualcosa che non torna eppure mi risulta così.
PS: a non è una vera e propria costante
Mi risulta una espressione di questo tipo:
alfa=c1 cos(wt) + c2 sin(wt) + a t^2 + c3 t + c4
con quattro costanti che dipendono dalle condizioni iniziali.
alfa è l'angolo che forma con la verticale una delle due aste... per l'altra asta viene una espressione simile.
C'è qualcosa che non torna eppure mi risulta così.
PS: a non è una vera e propria costante
Si tratta di un sistema vibrante non smorzato a due gradi di libertà. Nel caso di piccole ampiezze, il moto proprio delle due masse è la sovrapposizione di due funzioni armoniche (con ampiezze e fasi da determinarsi con le 4 condizioni iniziali).
Devi rivedere qualcosa nella teoria della soluzione delle equazioni differenziali armoniche penso!
ciao
Devi rivedere qualcosa nella teoria della soluzione delle equazioni differenziali armoniche penso!
ciao
Bè avendo alle spalle un po' di teoria il procedimento diventa quasi meccanico (quasi!!)
prendi due parametri lagrangiani $\phi$ e $\theta$ che sono gli angoli che formano le aste con la verticale
Ti ricavi l'energia cinetica del sistema che sarà semplicemente $1/2 m dot P_(1)^(2)+1/2 m dot P_(2)^(2)$, poi ricavi l'energia potenziale (e questa ho idea che è un po'più noiosa da calcolare) somma della gravitazionale più quella della molla
Cerchi i punti di equilibrio stabile come saprai sicuramente e ora viene il bello!!
Considerando lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine dell'energia cinetica e dell'energia potenziale nella configurazione di equilibrio stabile ti accorgi che ti rimangono solo la matrice essiana dell'energia potenziale (in quanto le derivate prime sono nulle nella configurazione di equilibrio) mentre l'energia cinetica rimane quella che è in quanto è già di per se una forma quadratica
Scrivi la lagrangiana delle piccole oscillazioni
trovi le equazioni di lagrange di seconda specie che possono essere scritte come segue:
dette $q_(k)$ le coordinate lagrangiane e $q_(k)^(0)$ le posizioni di equilibrio, si definisce $\eta_(k)=q_(k)-q_(k)^(0)$ lo spostamento dalla posizione di equilibrio stabile e le equazioni del moto diventano allora:
$\sum_(h=1)^(l)(M_(hk)ddot (\eta)_(h)+V_(kh)\eta_(h))=0$
ove $M_(hk)=(\partial^2 T)/(\partial dot q_(h) \partial dot q_(k))(q^(0),0)=a_(hk)(q^0)$ e $V_(hk)=(\partial^2 V)/(\partial q_(h) \partial q_(k))(q^(0))$
con $T(q,dot q)=1/2 \sum_(h,k=1)^(l)a_(hk) dot q_(h) dot q_(k) $
Ti prego dimmi che non sono da risolvere altrimenti c'è da scrivere una vagonata di teoria in più^^
prendi due parametri lagrangiani $\phi$ e $\theta$ che sono gli angoli che formano le aste con la verticale
Ti ricavi l'energia cinetica del sistema che sarà semplicemente $1/2 m dot P_(1)^(2)+1/2 m dot P_(2)^(2)$, poi ricavi l'energia potenziale (e questa ho idea che è un po'più noiosa da calcolare) somma della gravitazionale più quella della molla
Cerchi i punti di equilibrio stabile come saprai sicuramente e ora viene il bello!!
Considerando lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine dell'energia cinetica e dell'energia potenziale nella configurazione di equilibrio stabile ti accorgi che ti rimangono solo la matrice essiana dell'energia potenziale (in quanto le derivate prime sono nulle nella configurazione di equilibrio) mentre l'energia cinetica rimane quella che è in quanto è già di per se una forma quadratica
Scrivi la lagrangiana delle piccole oscillazioni
trovi le equazioni di lagrange di seconda specie che possono essere scritte come segue:
dette $q_(k)$ le coordinate lagrangiane e $q_(k)^(0)$ le posizioni di equilibrio, si definisce $\eta_(k)=q_(k)-q_(k)^(0)$ lo spostamento dalla posizione di equilibrio stabile e le equazioni del moto diventano allora:
$\sum_(h=1)^(l)(M_(hk)ddot (\eta)_(h)+V_(kh)\eta_(h))=0$
ove $M_(hk)=(\partial^2 T)/(\partial dot q_(h) \partial dot q_(k))(q^(0),0)=a_(hk)(q^0)$ e $V_(hk)=(\partial^2 V)/(\partial q_(h) \partial q_(k))(q^(0))$
con $T(q,dot q)=1/2 \sum_(h,k=1)^(l)a_(hk) dot q_(h) dot q_(k) $
Ti prego dimmi che non sono da risolvere altrimenti c'è da scrivere una vagonata di teoria in più^^
Per quanto riguarda la prima parte ok.
Partendo da T+Ve+Vg=costante (T energia cinetica, Ve energia potenziale elastica, Vg energia potenziale della forza peso)
ed ho derivato rispetto al tempo.
Prendendo in considerazione solo l'energia elastica:
Ve=1/2 K { sqrt[ 2L^2 + 2L^2 cos (a+b)] -l }^2
(a e b sono gli angoli che formano le aste rispetto alla verticale)
derivando mi viene d/dt (a+b) * f(a+b)
A questo punto per sfruttare la condizione di piccole oscillazioni si può approssimare al primo ordine la f(a+b) rispetto ad (a+b), partendo dalla condizione di equilibrio? Cioè si può scrivere f(a+b)= f(a0+b0)+ f'(a0+b0)* (a+b) ? (la derivata è rispetto ad (a+b))
Cerchi i punti di equilibrio stabile come saprai sicuramente e ora viene il bello!!
Considerando lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine dell'energia cinetica e dell'energia potenziale nella configurazione di equilibrio stabile ti accorgi che ti rimangono solo la matrice essiana dell'energia potenziale (in quanto le derivate prime sono nulle nella configurazione di equilibrio) mentre l'energia cinetica rimane quella che è in quanto è già di per se una forma quadratica
Partendo da T+Ve+Vg=costante (T energia cinetica, Ve energia potenziale elastica, Vg energia potenziale della forza peso)
ed ho derivato rispetto al tempo.
Prendendo in considerazione solo l'energia elastica:
Ve=1/2 K { sqrt[ 2L^2 + 2L^2 cos (a+b)] -l }^2
(a e b sono gli angoli che formano le aste rispetto alla verticale)
derivando mi viene d/dt (a+b) * f(a+b)
A questo punto per sfruttare la condizione di piccole oscillazioni si può approssimare al primo ordine la f(a+b) rispetto ad (a+b), partendo dalla condizione di equilibrio? Cioè si può scrivere f(a+b)= f(a0+b0)+ f'(a0+b0)* (a+b) ? (la derivata è rispetto ad (a+b))
mm...ma non studiate le piccole oscillazioni con la lagrangiana?
da quanto mi pare di capire è la prima volta che vedi queste cose (correggimi se mi sbaglio) ed in effetti all'inizio si fanno le approssimazioni al primo ordine ma sappi che non è poi così corretto, ti posto l'inizio del procedimento anche se è un paio di annetti che non lo fo speriamo bene^^
vediamo $T=1/2 mL^2 (dot \phi^2 + dot \theta^2)$
$V_(g)=mgL(\sin\phi + \sin\theta)$
$V_(m)=1/2 k(Lsqrt(2)sqrt(1-cos(\phi - \theta))-l)^2$
poi $L(dot \theta,dot \phi, \theta, \phi)=T-V$
Le equazioni del moto sono 2 essendo due i gradi di libertà del sistema!!
$d/dt (\partial L )/(\partial dot \phi)-(\partial L)/(\partial \phi)=0$ e $d/dt (\partial L) /(\partial dot \theta)-(\partial L)/(\partial \theta)=0$
comunque indipendentemente da come trovi le equazioni del moto ti devi trovare i punti di equilibrio facendo $(\partial V)/( \partial \phi) =0$ e $(\partial V) /( \partial \theta) =0$ e per vedere quali sono quelli di equilibrio stabile, prendi quelli per cui gli autovalori della matrice Hessiana di $V$ sono entrambi maggiori di zero, poi fai lo sviluppo di taylor centrato nella configurazione di equilibrio..Non sono sicurissimo che il tuo sviluppo sia corretto magari qualcuno più esperto di me potrà dire la sua, cmq se vuoi andare sul sicuro il procedimento che ti ho scritto nell'altro post è corretto
da quanto mi pare di capire è la prima volta che vedi queste cose (correggimi se mi sbaglio) ed in effetti all'inizio si fanno le approssimazioni al primo ordine ma sappi che non è poi così corretto, ti posto l'inizio del procedimento anche se è un paio di annetti che non lo fo speriamo bene^^
vediamo $T=1/2 mL^2 (dot \phi^2 + dot \theta^2)$
$V_(g)=mgL(\sin\phi + \sin\theta)$
$V_(m)=1/2 k(Lsqrt(2)sqrt(1-cos(\phi - \theta))-l)^2$
poi $L(dot \theta,dot \phi, \theta, \phi)=T-V$
Le equazioni del moto sono 2 essendo due i gradi di libertà del sistema!!
$d/dt (\partial L )/(\partial dot \phi)-(\partial L)/(\partial \phi)=0$ e $d/dt (\partial L) /(\partial dot \theta)-(\partial L)/(\partial \theta)=0$
comunque indipendentemente da come trovi le equazioni del moto ti devi trovare i punti di equilibrio facendo $(\partial V)/( \partial \phi) =0$ e $(\partial V) /( \partial \theta) =0$ e per vedere quali sono quelli di equilibrio stabile, prendi quelli per cui gli autovalori della matrice Hessiana di $V$ sono entrambi maggiori di zero, poi fai lo sviluppo di taylor centrato nella configurazione di equilibrio..Non sono sicurissimo che il tuo sviluppo sia corretto magari qualcuno più esperto di me potrà dire la sua, cmq se vuoi andare sul sicuro il procedimento che ti ho scritto nell'altro post è corretto
Premetto che c'erano evidentemente degli errori di calcolo nell'equazione che ho trovato.
Considerando che derivo prima rispetto al tempo i due metodi dovrebbero essere equivalenti.
Prendendo come esempio un caso più semplice : pendolo semplice di massa m e lunghezza L.
T+V = 1/2 mL^2 a'^2 - mgL cosa = costante
derivando rispetto al tempo:
mL^2 a' a'' + mgL a' sina =0
Questa equazione deve valere per ogni a' (se ci fossero state più coordinate indipendenti a,b,c ecc , per ogni a' b' c' ...) quindi si ottiene il sistema di equazioni differenziali.
mL^2 a'' + mgL sina =0
Approssimando a piccole oscillazioni si approssima sina al primo ordine :
mL^2 a'' + mgL a =0
Comunque con la lagrangiana si dovrebbe arrivare allo stesso risultato.
Considerando che derivo prima rispetto al tempo i due metodi dovrebbero essere equivalenti.
Prendendo come esempio un caso più semplice : pendolo semplice di massa m e lunghezza L.
T+V = 1/2 mL^2 a'^2 - mgL cosa = costante
derivando rispetto al tempo:
mL^2 a' a'' + mgL a' sina =0
Questa equazione deve valere per ogni a' (se ci fossero state più coordinate indipendenti a,b,c ecc , per ogni a' b' c' ...) quindi si ottiene il sistema di equazioni differenziali.
mL^2 a'' + mgL sina =0
Approssimando a piccole oscillazioni si approssima sina al primo ordine :
mL^2 a'' + mgL a =0
Comunque con la lagrangiana si dovrebbe arrivare allo stesso risultato.
si si per quanto riguarda la costruzione delle equazioni del moto penso vada bene anche ricavarsele dalla conservazione dell'energia, se poi fai taylor centrato nella configurazione di equilibrio dovrebbe risultare la stessa cosa, l'unica cosa che mi turba è lo sviluppo al primo ordine..domani provo anche io farlo così son curioso di sapere cosa esce..
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