Pendolo con molla
salve a tutti vorrei proporvi un esercizio che non riesco a risolvere
si tratta del problema del pendolo con l'unica differenza che invece di considerare un filo inestensibile si ha una molla di costante elastica $k$ (si considerano sempre piccole oscillazioni)
grazie a tutti per l'attenzione
io pensavo di calcolare il moto della massa con la prima cardinale :
$kvec x+m vec g =m vec a$
solo che poi non riesco a scomporre lungo gli assi e tener conto che la massa cambia posizione e non segue quindi un arco di cerchio
si tratta del problema del pendolo con l'unica differenza che invece di considerare un filo inestensibile si ha una molla di costante elastica $k$ (si considerano sempre piccole oscillazioni)
grazie a tutti per l'attenzione
io pensavo di calcolare il moto della massa con la prima cardinale :
$kvec x+m vec g =m vec a$
solo che poi non riesco a scomporre lungo gli assi e tener conto che la massa cambia posizione e non segue quindi un arco di cerchio
Risposte
Io penserei di ricavare la Lagrangiana e da qui derivare le equazioni del moto.
Nota intanto che le coordinate libere sono due: l'angolo che il pendolo forma con un asse e l'estensione della molla, quindi la diretta conseguenza è che dovrai trovare due equazioni del moto.
Supponi che il pendolo sia vincolato all'origine di un sistema di assi cartesiani $(x,y)$, che l'angolo che forma con l'asse $y$ sia $\theta:\theta\in[-\pi,\pi]$ e che $s$ sia l'estensione della molla.
E' immediato che:
Da cui ricavi che $1/2m||\bb(v)_m||^2=m/2\dot(s)^2+m/2s^2\dot(\theta)^2$.
La velocità angolare della massa puntiforme sarà data evidentemente da $\bb\omega=-\dot\theta\bbe_3$ ed essendo il momento di inerzia uguale a $ms^2$ ottieni l'energia cinetica del punto:
La Lagrangiana è definita come energia cinetica meno quella potenziale, quindi:
Da qui ricavi le tue due belle equazioni del moto, una per la coordinata $s$ e l'altra per la coordinata $\theta$.
Nota intanto che le coordinate libere sono due: l'angolo che il pendolo forma con un asse e l'estensione della molla, quindi la diretta conseguenza è che dovrai trovare due equazioni del moto.
Supponi che il pendolo sia vincolato all'origine di un sistema di assi cartesiani $(x,y)$, che l'angolo che forma con l'asse $y$ sia $\theta:\theta\in[-\pi,\pi]$ e che $s$ sia l'estensione della molla.
E' immediato che:
$\bb(x)_m=ssin\theta\bbe_1-scos\theta\bbe_2->\bb(v)_m=(\dot(s)sin\theta+scostheta\dot(\theta))\bbe_1+(ssin\theta\dot(\theta)-\dot(s)cos\theta)\bbe_2$
Da cui ricavi che $1/2m||\bb(v)_m||^2=m/2\dot(s)^2+m/2s^2\dot(\theta)^2$.
La velocità angolare della massa puntiforme sarà data evidentemente da $\bb\omega=-\dot\theta\bbe_3$ ed essendo il momento di inerzia uguale a $ms^2$ ottieni l'energia cinetica del punto:
$T=m/2\dot(s)^2+m/2s^2\dot(\theta)^2+m/2s^2\dot\theta^2=m/2\dot(s)^2+ms^2\dot\theta^2$.
La Lagrangiana è definita come energia cinetica meno quella potenziale, quindi:
$\mathcal(L)=T-V=m/2\dot(s)^2+ms^2\dot\theta^2-k/2s^2+mgscos\theta$.
Da qui ricavi le tue due belle equazioni del moto, una per la coordinata $s$ e l'altra per la coordinata $\theta$.
non c'e un altro metodo? per il semplice fatto che nel nostro corso non abbiamo mai usato le Langriane 
Ah se non hai visto la Lagrangiana, allora puoi tranquillamente fornirti della prima equazione cardinale della dinamica.
Tieni presente comunque che il termine elastico è negativo, cioè:
Ora, considerando che $m\bbg=-mg\bbe_3$ e che $\bba=(d^2\bbx)/(dt^2)$, puoi servirti della posizione $\bbx$ che ti ho detto nel post precedente e procedere
Tieni presente comunque che il termine elastico è negativo, cioè:
$m\bbg-k\bbx=m\bba$.
Ora, considerando che $m\bbg=-mg\bbe_3$ e che $\bba=(d^2\bbx)/(dt^2)$, puoi servirti della posizione $\bbx$ che ti ho detto nel post precedente e procedere
salve, riapro questa veccha discussione, piuttosto che aprire una nuova.
Leggendo le rispsote mi è rimasto ancora un dubbio sul pendolo semplice: perchè si mette quel dannato meno?
mi spiego.
consideriamo il caso semplice del pendolo + filo inestensibile.
allora descrivo il moto lungo i versori tangenziale (uT) e radiale (uR) in coordinate intrinseche. pertanto risulterà che la legge di newton è scritta come:
$T + Fp = ma$
la quale, proiettata lungo i versori, diventa:
$mgsin \theta = ma$(=acc. tangeziale) ;
se osservo che siamo nel caso di piccole oscillazioni, quindi il seno è approssimabile al primo ordine dello viluppoi di taylor, allora l'eq. differenziale mi diventa :
$ (d^2s(t))/dt^2 = g/l s(t) $
che non è l'equazione diff. corretta! perchè non mi esce il meno davanti a $ g/l s(t) $ ? dove sbaglio? ho letto su internet che il meno salta fuori dall'osservazione che la forza peso è una foza di richiamo, allora è diretta in verso opposto alla velocità, ma io vorrei una spiegazione analitica del perchè è giusto mettere il meno!
Leggendo le rispsote mi è rimasto ancora un dubbio sul pendolo semplice: perchè si mette quel dannato meno?
mi spiego.
consideriamo il caso semplice del pendolo + filo inestensibile.
allora descrivo il moto lungo i versori tangenziale (uT) e radiale (uR) in coordinate intrinseche. pertanto risulterà che la legge di newton è scritta come:
$T + Fp = ma$
la quale, proiettata lungo i versori, diventa:
$mgsin \theta = ma$(=acc. tangeziale) ;
se osservo che siamo nel caso di piccole oscillazioni, quindi il seno è approssimabile al primo ordine dello viluppoi di taylor, allora l'eq. differenziale mi diventa :
$ (d^2s(t))/dt^2 = g/l s(t) $
che non è l'equazione diff. corretta! perchè non mi esce il meno davanti a $ g/l s(t) $ ? dove sbaglio? ho letto su internet che il meno salta fuori dall'osservazione che la forza peso è una foza di richiamo, allora è diretta in verso opposto alla velocità, ma io vorrei una spiegazione analitica del perchè è giusto mettere il meno!
Io scriverei $ ma_t=ml ((d theta^2)/(dt^2))=mg sin (theta)~ mg theta $ da cui ottieni $ l/g* ((d theta^2)/(dt^2)) - theta =0 $ che dovrebbe risolvere il problema.
"Skylarry":
Io scriverei $ ma_t=ml ((d theta^2)/(dt^2))=mg sin (theta)~ mg theta $ da cui ottieni $ l/g* ((d theta^2)/(dt^2)) - theta =0 $ che dovrebbe risolvere il problema.
Ho dimenticato di notare che considerando l'origine nel punto di quota minima, per valori di theta negativi l'accelerazione è positiva e viceversa.
rispondo un po' in ritardo (anche se non sono sicuro della mia risposta), non ti so dare una spiegazione analitica del segno, quando vai a scrivere le formule devi controllare la direzione delle forze se il segno è sbagliato te ne accorgi dai risultati perche ti dara un risultato negativo il che significa che il verso è sbagliato.
spero di essere stato chiaro:)
spero di essere stato chiaro:)
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