Pendolo composto e reazione vincolare normale ad esso
Come da titolo, non riesco a risolvere problema di Fisica 1 riguardante un pendolo composto e le "sue reazioni vincolari".
Riporto il testo:
Sono ad un punto morto. E mi sorge il dubbio che forse la mia analisi non è corretta:
1. Siamo in presenza di un vincolo scabro altrimenti la reazione dovrebbe avere esclusivamente componente radiale.
2. Il secondo punto del problema si risolve facilmente a patto di considerare nullo il momento della forza vincolare incognita perchè quest'ultima è applicata su di un punto dell'asse di rotazione.
3. Supponendo le mie congetture esatte, si potrebbe giungere ad una soluzione del primo quesito risolvendo il moto del centro di massa come segue..
[tex]R-mg\sin{\theta}=ma_\theta=-\frac{3m^2r^2g}{4mr^2}\sin{\theta}[/tex]
[tex]a_\theta=r\ddot{\theta}[/tex]
[tex]M_z=I\ddot{\theta}=-mgr\sin{\theta}[/tex]
Con r distanza del centro di massa dal'asse di rotazione, I momento di inerzia [tex]I=\frac{1}{3}mr^2[/tex].
Risolvendo mi trovo il valore di R, la forza vincolare che cercavo.
[tex]R=\frac{1}{4}mg\sin{\theta}[/tex]
Che ha quindi valore massimo per [tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex] come si ci poteva aspettare.
Il ragionamento sembra filare, tuttavia non sono sicuro che quanto fatto sia corretto.
Grazie anticipatamente per il tempo dedicatomi
Saluti
Riporto il testo:
Una sottile asta rigida e omogenea, di massa m e lunghezza l, è sospesa ad una sua estremità e può oscillare intorno all'asse orizzontale per il suo punto di sospensione. Essa viene lasciata da ferma da un angolo [tex]\theta_0[/tex] rispetto alla verticale.
1. Si verifichi che la reazione vincolare nel punto di sospensione ha la sua componente perpendicolare alla direzione radiale rappresentata dall'asta stessa, se ne trovi l'espressione in funzione del tempo e se ne calcoli il valore massimo.
2. Si calcoli il periodo delle oscillazioni dell'asta.
Sono ad un punto morto. E mi sorge il dubbio che forse la mia analisi non è corretta:
1. Siamo in presenza di un vincolo scabro altrimenti la reazione dovrebbe avere esclusivamente componente radiale.
2. Il secondo punto del problema si risolve facilmente a patto di considerare nullo il momento della forza vincolare incognita perchè quest'ultima è applicata su di un punto dell'asse di rotazione.
3. Supponendo le mie congetture esatte, si potrebbe giungere ad una soluzione del primo quesito risolvendo il moto del centro di massa come segue..
[tex]R-mg\sin{\theta}=ma_\theta=-\frac{3m^2r^2g}{4mr^2}\sin{\theta}[/tex]
[tex]a_\theta=r\ddot{\theta}[/tex]
[tex]M_z=I\ddot{\theta}=-mgr\sin{\theta}[/tex]
Con r distanza del centro di massa dal'asse di rotazione, I momento di inerzia [tex]I=\frac{1}{3}mr^2[/tex].
Risolvendo mi trovo il valore di R, la forza vincolare che cercavo.
[tex]R=\frac{1}{4}mg\sin{\theta}[/tex]
Che ha quindi valore massimo per [tex]\theta=\frac{\pi}{2}[/tex] come si ci poteva aspettare.
Il ragionamento sembra filare, tuttavia non sono sicuro che quanto fatto sia corretto.
Grazie anticipatamente per il tempo dedicatomi
Saluti
Risposte
Le equazioni che scrivi sono corrette.
L'osservazione al punto 1 mi pare superflua, inoltre non mi piace molto l'uso del termine vincolo scabro.
Se scrivi le equazioni osservi che il pendolo composto necessita di una reazione vincolare nel punto di vincolo sia radiale che tangenziale. Basta quello.
Il punto 2 pure mi pare superfluo, se scrivi le equazioni del momento rispetto al punto attorno a cui l'asta oscilla non hai contributo al momento da parte della reazione vincolare. Tutto qui, non direi che lo "consideri nullo" ma che "è nullo".
Il periodo delle oscillazioni lo puoi ricavare solo supponendo le oscillazioni piccole oppure con una formula approssimata che si può ricavare risolvendo numericamente l'integrale che viene fuori (che non è calcolabile in termine di funzioni elementari), credo che qui è stato riportato un problema simile tempo fa, forse sul pendolo semplice, ma il concetto era lo stesso.
EDIT La discussione a cui mi riferisco sopra è questa.
L'osservazione al punto 1 mi pare superflua, inoltre non mi piace molto l'uso del termine vincolo scabro.
Se scrivi le equazioni osservi che il pendolo composto necessita di una reazione vincolare nel punto di vincolo sia radiale che tangenziale. Basta quello.
Il punto 2 pure mi pare superfluo, se scrivi le equazioni del momento rispetto al punto attorno a cui l'asta oscilla non hai contributo al momento da parte della reazione vincolare. Tutto qui, non direi che lo "consideri nullo" ma che "è nullo".
Il periodo delle oscillazioni lo puoi ricavare solo supponendo le oscillazioni piccole oppure con una formula approssimata che si può ricavare risolvendo numericamente l'integrale che viene fuori (che non è calcolabile in termine di funzioni elementari), credo che qui è stato riportato un problema simile tempo fa, forse sul pendolo semplice, ma il concetto era lo stesso.
EDIT La discussione a cui mi riferisco sopra è questa.
"Faussone":
Le equazioni che scrivi sono corrette.
L'osservazione al punto 1 mi pare superflua, inoltre non mi piace molto l'uso del termine vincolo scabro.
Se scrivi le equazioni osservi che il pendolo composto necessita di una reazione vincolare nel punto di vincolo sia radiale che tangenziale. Basta quello.
Scusami, potresti spiegare perché non è corretto parlare di vincolo scabro e perché una tale reazione è necessaria? Fin'ora ho sempre letto che la reazione vincolare è sempre radiale al pendolo?
"Faussone":
Il punto 2 pure mi pare superfluo, se scrivi le equazioni del momento rispetto al punto attorno a cui l'asta oscilla non hai contributo al momento da parte della reazione vincolare. Tutto qui, non direi che lo "consideri nullo" ma che "è nullo".
Eccessiva insicurezza...
Grazie per la riposta!
Vincolo scabro lo associo più ad un attrito, per esempio una scala poggiata tra un muro verticale e il pavimento. Sul pavimento agisce di solito una reazione normale al pavimento e una tangente dovuta all'attrito in quel caso userei il termine vincolo scabro.
Per il pendolo direi si tratta di una cerniera ideale che esercita reazioni sia orizzontali sia verticali.
Come hai visto dalle equazioni che hai scritto la reazione è puramente radiale solo quando il pendolo passa per le verticale (accelerazione tangenziale nulla) altrimenti è presente anche una componente tangenziale.
Per il pendolo direi si tratta di una cerniera ideale che esercita reazioni sia orizzontali sia verticali.
Come hai visto dalle equazioni che hai scritto la reazione è puramente radiale solo quando il pendolo passa per le verticale (accelerazione tangenziale nulla) altrimenti è presente anche una componente tangenziale.
Quindi è errata la mia conoscenza che le reazioni vincolari siano sempre normali al vincolo in assenza di attriti?
Mi sapresti indicare qualche link o testo dove approfondire la questione?
Grazie per l'aiuto
Mi sapresti indicare qualche link o testo dove approfondire la questione?
Grazie per l'aiuto
Qui il vincolo si "materializza" in un punto. In questo caso, che cosa significa perpendicolare al vincolo?
"speculor":
Qui il vincolo si "materializza" in un punto. In questo caso, che cosa significa perpendicolare al vincolo?
Bella domanda! Significa lungo la direzione del pendolo in questo caso... o almeno così io ho capito...
Non è così. Supponi di tirare l'asta all'altezza del vincolo in direzione dell'asse $x$. Il vincolo reagisce? Supponi di tirare l'asta all'altezza del vincolo in direzione dell'asse $y$. Il vincolo reagisce? Quel punto non può spostarsi, è normale che la reazione si opponga indipendentemente dalla direzione della forza applicata. Anche in assenza di attrito. Al limite, l'attrito potrebbe essere introdotto come momento resistente, opponendosi ad un'eventuale rotazione.
Grazie, sei stato chiarissimo! 
Non è essenziale concettualmente (non avevo controllato i conti prima) , ma mi sembra ci sia un errore nelle formule.
[Errore mio era tutto corretto!]
[Errore mio era tutto corretto!]
"Faussone":
Non è essenziale concettualmente (non avevo controllato i conti prima) , ma mi sembra ci sia un errore nelle formule.
E' abbastanza essenziale per me, che forse non ho capito bene... scusami ma sono un po' tardo. -.-
Mi aspettavo che la reazione fosse positiva non negativa...
"Faussone":
$I a_c/L=-mgL/2 sin theta$
E' qui che ho commesso l'errore ma non capisco perchè $L$ e non $\frac{L}{2}$? Il centro di massa si trova a metà lunghezza, cosa mi sfugge?
Grazie per la pazienza
Evidentemente ho sbagliato io! Avevo fatto i conti a mente e ho preso un abbaglio in quella formula dimenticando un fattore 2.
E' corretto il tuo risultato ovviamente, chiedo scusa.
Ho cancellato il precedente messaggio.
Per quanto riguarda i segni deve essere che l'accelerazione tangenziale è opposta all'angolo $theta$ (per questo viene con segno negativo), mentre la reazione tangenziale del vincolo risulta positiva cioè opposta all'accelerazione tangenziale.
E' corretto il tuo risultato ovviamente, chiedo scusa.
Ho cancellato il precedente messaggio.
Per quanto riguarda i segni deve essere che l'accelerazione tangenziale è opposta all'angolo $theta$ (per questo viene con segno negativo), mentre la reazione tangenziale del vincolo risulta positiva cioè opposta all'accelerazione tangenziale.
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