Pendolo.
Il mio libro introduce la trattazione del sistema dinamico pendolo, e fa riferimento al teorema del momento angolare.
Applicandolo al pendolo, per via delle condizioni ideali del filo inestensibile e privo di massa:
$ \vec m = OP ^^ \vec f = OP ^^ (\vec \tau + m\vec g) = OP ^^ m\vec g$
e poichè $OP ^^ \tau = 0$
$ OP ^^ m\vec g = d * ( OP ^^ m\vec v)/ dt (1)$
Sul testo leggo le seguenti righe:
"Se scegliamo un sistema di riferimento che abbia come piano $xy$ il piano che contiene all'istante iniziale il vettore $OP$, notiamo che tutte le forze che agiscono sul punto $P$ giacciono nel piano $xy$: infatti l'accelerazione ha componente $z$ nulla $(a_z=0)$ e quindi $v_z$ resta nulla nel tempo, se essa è nulla all'istante $t=0$."
Poi dopo comincio a non capire.
"Per conseguenza l'unica componente della (1) che è diversa da zero è la componente $z$, e tale componente può essere scritta come:
$- lmg sin \theta = l m dv/dt = l m d/dt (l*d\theta/dt) = l^2 m* (d^2\theta/dt)$
La cosa strana è la seguente: se il moto si trova nel piano $z=0$ e se anche il polo fisso, ovviamente, è nel piano $z=0$, perchè sono nulle le componenti $x$ e $y$ mentre la $z$ non lo è? Mi sembra debba essere il contrario.
Ho anche provato a partire dal secondo principio della dinamica per impostare l'equazione differenziale del pendolo, cioè quella che vale in condizioni ideali e, se non sbaglio, solo per piccole oscillazioni:
$d^2\theta / dt^2 + g/l sin \theta = 0$
Penso, ma spero che mi correggiate in caso di errore, che il miglior modo sia quello di scegliere come sistema di riferimento uno avente come asse $y$ il filo, e come asse $x$ l'asse ad esso ortogonale. Anche se mi interessava capire il discorso che ho fatto all'inizio, che ad oggi mi pare incomprensibile.
Applicandolo al pendolo, per via delle condizioni ideali del filo inestensibile e privo di massa:
$ \vec m = OP ^^ \vec f = OP ^^ (\vec \tau + m\vec g) = OP ^^ m\vec g$
e poichè $OP ^^ \tau = 0$
$ OP ^^ m\vec g = d * ( OP ^^ m\vec v)/ dt (1)$
Sul testo leggo le seguenti righe:
"Se scegliamo un sistema di riferimento che abbia come piano $xy$ il piano che contiene all'istante iniziale il vettore $OP$, notiamo che tutte le forze che agiscono sul punto $P$ giacciono nel piano $xy$: infatti l'accelerazione ha componente $z$ nulla $(a_z=0)$ e quindi $v_z$ resta nulla nel tempo, se essa è nulla all'istante $t=0$."
Poi dopo comincio a non capire.
"Per conseguenza l'unica componente della (1) che è diversa da zero è la componente $z$, e tale componente può essere scritta come:
$- lmg sin \theta = l m dv/dt = l m d/dt (l*d\theta/dt) = l^2 m* (d^2\theta/dt)$
La cosa strana è la seguente: se il moto si trova nel piano $z=0$ e se anche il polo fisso, ovviamente, è nel piano $z=0$, perchè sono nulle le componenti $x$ e $y$ mentre la $z$ non lo è? Mi sembra debba essere il contrario.
Ho anche provato a partire dal secondo principio della dinamica per impostare l'equazione differenziale del pendolo, cioè quella che vale in condizioni ideali e, se non sbaglio, solo per piccole oscillazioni:
$d^2\theta / dt^2 + g/l sin \theta = 0$
Penso, ma spero che mi correggiate in caso di errore, che il miglior modo sia quello di scegliere come sistema di riferimento uno avente come asse $y$ il filo, e come asse $x$ l'asse ad esso ortogonale. Anche se mi interessava capire il discorso che ho fatto all'inizio, che ad oggi mi pare incomprensibile.
Risposte
Occhio che per componente $z$ nella formula $(1)$ del tuo libro credo si intenda la componente del momento non della forza. Proprio perché tutte le forze sono sul piano $xy$ il momento ha solo componente $z$.
Così come l'hai scritta l'equazione del pendolo è quella generale (che troverai identica applicando l'equazione del momento angolare), le piccole oscillazioni entrano in gioco quando si fa l'approssimazione $sin \theta = \theta$ che è l'unico modo per risolvere l'equazione differenziale in forma chiusa solo con funzioni armoniche.
Così come l'hai scritta l'equazione del pendolo è quella generale (che troverai identica applicando l'equazione del momento angolare), le piccole oscillazioni entrano in gioco quando si fa l'approssimazione $sin \theta = \theta$ che è l'unico modo per risolvere l'equazione differenziale in forma chiusa solo con funzioni armoniche.
Occhio che per componente nella formula del tuo libro credo si intenda la componente del momento non della forza. Proprio perché tutte le forze sono sul piano il momento ha solo componente z
Ora che ci penso, il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano... Che sciocco che sono!
Così come l'hai scritta l'equazione del pendolo è quella generale (che troverai identica applicando l'equazione del momento angolare), le piccole oscillazioni entrano in gioco quando si fa l'approssimazione che è l'unico modo per risolvere l'equazione differenziale in forma chiusa solo con funzioni armoniche.
Perchè, l'equazione differenziale "classica" $(d^2\theta)/dt^2 + g/l * \theta(t) = 0$, dà anche altre soluzioni?
Comunque, sciocco io a non averci pensato, grazie!
L'equazione del pendolo classica per piccole oscillazioni dà solo la soluzione armonica ovviamente.
Se invece risolvi numericamente o tramite funzioni "particolari" (ma non entro nel merito di questo) l'equazione generale, valida quindi anche per grandi oscillazioni, ottieni un risultato più generale che approssima la soluzione armonica per piccole oscillazioni. In particolare non vale qui l'isocronia: il periodo del pendolo dipende infatti dall'ampiezza delle oscillazioni in generale.
Se invece risolvi numericamente o tramite funzioni "particolari" (ma non entro nel merito di questo) l'equazione generale, valida quindi anche per grandi oscillazioni, ottieni un risultato più generale che approssima la soluzione armonica per piccole oscillazioni. In particolare non vale qui l'isocronia: il periodo del pendolo dipende infatti dall'ampiezza delle oscillazioni in generale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo