Passaggio oscuro nell'energia generalizzata
Salve devo dimostrare la seguente proposizione non capisco un passaggio.
La proposizione è la seguente se la lagrangiana non dipende dal tempo allora l'energia generalizzata si conserva.
Banalmente basta fare la derivata rispetto al tempo dell'energia generalizzata e verificare che è zero imponendo che
$(d L)/( dt)=0$
Sicuramente non so derivare sotto il simbolo di serie cmq... vi dico il passaggio che non comprendo.
$H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k-L$
Deriviamo l'accrocco in questione:
$d/(dt) H(q, dot q, t)=d/(dt)(sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k-L)$
Il mio proff dice che tale derivata è pari a:
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n d/(dt)(partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-d/(dt)L$
Domanda uno come fa a venire quella quantità.
Domanda due perchè $sum_(k=1)^n d/(dt)(partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k=0$
Grazie.
La proposizione è la seguente se la lagrangiana non dipende dal tempo allora l'energia generalizzata si conserva.
Banalmente basta fare la derivata rispetto al tempo dell'energia generalizzata e verificare che è zero imponendo che
$(d L)/( dt)=0$
Sicuramente non so derivare sotto il simbolo di serie cmq... vi dico il passaggio che non comprendo.
$H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k-L$
Deriviamo l'accrocco in questione:
$d/(dt) H(q, dot q, t)=d/(dt)(sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k-L)$
Il mio proff dice che tale derivata è pari a:
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n d/(dt)(partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-d/(dt)L$
Domanda uno come fa a venire quella quantità.
Domanda due perchè $sum_(k=1)^n d/(dt)(partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k=0$
Grazie.
Risposte
"squalllionheart":
Il mio proff dice che tale derivata è pari a:
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n d/(dt)(partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-sum_(k=1)^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k-d/(dt)L$
In realta' credo che ci sia qualche errore. Dovrebbe essere
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n (d/(dt)(partial L)/(partial dot q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k) -sum_(k=1)^n ( (partial L)/(partial q_k) dot q_k+(partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k) - (partial L)/(partial t)$
Con questo emendamento vedi che due termini si cancellano perche' di segno opposto (il secondo e il quarto), il quinto si annulla in virtu' del fatto che la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, e sopravvivono per il momento solo
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n ( d/(dt)(partial L)/(partial dot q_k) dot q_k - (partial L)/(partial q_k) \dot q_k)$
Qui riconosci le equazioni di Euler-Lagrange, e hai finito.
Per fare le derivate ricordati che la lagrangiana dipende in generale dal tempo, dalle posizioni, e dalle velocita', quindi devi usare la derivazione di funzioni composte:
[tex]\frac{d L}{dt} = \frac{\partial L}{\partial t} + \sum_k \left( \dot q_k \frac{\partial L}{\partial q_k} + \ddot q_k \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)[/tex]
C'è un errore nella definizione di Hamiltoniana...
$ H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n (partial L)/(partial dot q_k) dot q_k-L $
quindi
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n ( d/(dt)(partial L)/(partial dot q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k - (partial L)/(partial q_k) dot q_k - (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k ) $
Il secondo e il quarto sono uguali e opposti mentre il primo e il terzo sono le equazioni di E-L moltiplicate per $ dot q_k $.
Ti torna?
$ H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n (partial L)/(partial dot q_k) dot q_k-L $
quindi
$d/(dt) H(q, dot q, t)=sum_(k=1)^n ( d/(dt)(partial L)/(partial dot q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k - (partial L)/(partial q_k) dot q_k - (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k ) $
Il secondo e il quarto sono uguali e opposti mentre il primo e il terzo sono le equazioni di E-L moltiplicate per $ dot q_k $.
Ti torna?
I primi due si, il terzo e il quarto no.Gli ultimi due termini mi vengono $d^2/dt^2 (partial L)/(partial dot q_k ) + d/dt (partial L)/(partial q_k)$.
Grazie in anticipo.
Non ho capito da dove spunti la derivata seconda...
Se ho capito bene, il pezzo che non ti torna è quello della derivata della lagrangiana, cioè (la somma su $k$ è sottointesa)
$(dL)/(dt) = (partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k + (partial L)/(partial t)$
fin qui ti torna?
Se ho capito bene, il pezzo che non ti torna è quello della derivata della lagrangiana, cioè (la somma su $k$ è sottointesa)
$(dL)/(dt) = (partial L)/(partial q_k) dot q_k + (partial L)/(partial dot q_k) ddot q_k + (partial L)/(partial t)$
fin qui ti torna?
Io mi sono scritta $L=d/dt(partial L)/(partial dot q_k)-(partial L)/(partial q_k)$
Derivando mi viene:
$(dL)/ dt =d^2/dt^2(partial L)/(partial dot q_k)-d/dt(partial L)/(partial q_k)$
Sicuramente c'è qualcosa che sbaglio. Grazie in anticipo.
Derivando mi viene:
$(dL)/ dt =d^2/dt^2(partial L)/(partial dot q_k)-d/dt(partial L)/(partial q_k)$
Sicuramente c'è qualcosa che sbaglio. Grazie in anticipo.
La Lagrangiana dipende da $q_k$, $dotq_k$ e $t$. Quando derivi totalmente rispetto al tempo, devi considerare anche la dipendenza temporale di $q_k$ e $dotq_k$. alle.fabbri ti ha appena mostrato la derivata corretta. Inoltre, $L=d/dt(partial L)/(partial dot q_k)-(partial L)/(partial q_k)$ non ha alcun senso. Stai confondendo la Lagrangiana con le equazioni di Lagrange. La Lagrangiana è una funzione, le equazioni di Lagrange sono equazioni differenziali che si ottengono operando opportunamente sulla Lagrangiana e uguagliando a $0$ il risultato, $d/dt(partial L)/(partial dot q_k)-(partial L)/(partial q_k)=0$.
Wow, ora ho capito.
In pratica io sbagliavo perchè derivavo non L ma le equazioni di lagrange, ed inoltre non capivo la derivazione di L datta da alle.fabri in pratica deriva lungo le tre variabili le prime due dipendono dal tempo e quindi viene quello...
Grazie ad entrambi
In pratica io sbagliavo perchè derivavo non L ma le equazioni di lagrange, ed inoltre non capivo la derivazione di L datta da alle.fabri in pratica deriva lungo le tre variabili le prime due dipendono dal tempo e quindi viene quello...
Grazie ad entrambi
Lo so che state tutti e 3 per insultarmi, cmq io lo chiedo lo stesso...
Riguardando tutto...ho appurato che il secondo e il quarto sono uguali e opposti e che la lagrangiana non dipende dal tempo...Mi rimangono questi due termini
$sum_1^n d/dt (partial L)/(partial dot q_k) dot q_k-sum_1^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k$
cosa mi assicura che si annulla?
Grazie.
Riguardando tutto...ho appurato che il secondo e il quarto sono uguali e opposti e che la lagrangiana non dipende dal tempo...Mi rimangono questi due termini
$sum_1^n d/dt (partial L)/(partial dot q_k) dot q_k-sum_1^n (partial L)/(partial q_k) dot q_k$
cosa mi assicura che si annulla?
Grazie.
Se lo scrivi così
$sum_1^n ( d/dt (partial L)/(partial dot q_k) - (partial L)/(partial q_k) ) dot q_k$
ti viene in mente qualche motivo per cui si potrebbe annullare?
$sum_1^n ( d/dt (partial L)/(partial dot q_k) - (partial L)/(partial q_k) ) dot q_k$
ti viene in mente qualche motivo per cui si potrebbe annullare?
si sono le equazioni di lagrange... grazie per la pazienza infinita 
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